Burkholder's function via Monge--Ampère equation
Vasily Vasyunin, Alexander Volberg
我们将展示如何从\cite{Bu1}通过Monge-Ampére方程得到Burkholder函数。这种方法与Burkholder的系列论文\cite{Bu1} - \cite{Bu7}中的方法有很大的不同。
We will show how to get Burkholder's function from \cite{Bu1} by using Monge-Ampére equation. This method is quite different from those in the series of Burkholder's papers \cite{Bu1}--\cite{Bu7}.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Perturbation of Burkholder's martingale transform and Monge--Ampère equation
设$\{d_k\}_{k \geq 0}$是$L^p[0,1],$中的一个复鞅差，其中$1<p<\infty,$和$\{\e_k\}_{k \geq 0}$是$\{\pm 1\}.$中的一个序列.我们得到了Burkholder著名结果的如下推广.如果$τ\in [-\frac 12, \frac 12]$和$n \in \Z_+$，则$$|\sum_{k=0}^n{(\{c} \e_k τ) d_k}|_{L^p([0,1], \C^2)} \leq ((p^*-1)^2 + τ^2)^{\frac 12}|\sum_{k=0}^n{d_k}|_{L^p([0,1], \C)},$$，其中$((p^*-1)^2 + τ^2)^{\frac 12}$为锐常数，而$p^*-1 = \max\{p-1, \frac 1{p-1}\}.$对于$2\leq p<\infty$，结果也为真，$τ\in \R.$为锐常数
The obstacle problem for a fractional Monge--Ampère equation
研究一类非局部退化椭圆型蒙日-安培方程的障碍问题.证明了该问题唯一的经典解的存在性和正则性以及自由边界的正则性。
Radial Convex Solutions of Boundary Value Problems for Systems of Monge-Ampere equations
在适当选取参数的渐近假设下，建立了两个弱耦合Monge-Ampere方程组非平凡径向凸解的存在性、多解性和不存在性.结果的证明是基于锥上的Krasnoselskii不动点定理。
Harnack inequality for the fractional nonlocal linearized Monge--Ampère equation
引入分数阶非局部线性化的蒙日-安培方程。证明了Monge-Ampère截面上Poisson问题非负解的Harnack不等式.
Smoothness of radial solutions to Monge-Ampere equations
我们刻画了Monge-Ampere方程的径向弱解何时是光滑的。本文推广了以前的部分结果，也包括了广义Monge-Ampere方程和无穷消失右端。
Global $W^{2,p}$ estimates for the Monge-Ampere equation
我们获得了全球$W^{2,p}$估计的自然假设下的域和边界数据的Monge-Ampere方程。
The Monge-Ampère equation and its link to optimal transportation
我们调查（旧的和新的）正则性理论的蒙日-安培方程，显示其连接到最佳运输，并描述了正则性的一般类蒙日-安培型方程在这种情况下产生的。
Interior $C^2$ estimate for Monge-Ampère equation in dimension two
利用部分Legendre变换，得到了二维蒙日-安培方程的一个真正的局部$C^2$估计.
On the Monge-Ampère equation
本文包含作者在2018年6月的布尔巴基研讨会上讨论的材料，关于蒙日-安培方程理论的最新发展。
Boundary regularity for solutions to the linearized Monge-Ampère equations
我们得到边界持有人梯度估计和正则性的解决方案的线性Monge-Ampere方程的自然假设下的域，Monge-Ampere措施和边界数据。我们的结果是仿射不变的类似物的边界持有人梯度估计的Krylov。
On regularity of complex Monge-Ampere equation
我们将考虑复Monge-Ampere方程解的正则性问题。首先，在假设Laplacian u有一定的$L^p$界和右边满足利普希茨条件的条件下，证明了复Monge-Ampere方程解在有界区域上的内$C^2$估计.然后我们将构造一族复Monge-Ampere方程的Pogorelov型例子。这些例子给出了复Monge-Ampere方程$ \det（u_{i\bar j}）=1的广义整体解（以及黏性解）.
Asymptotic expansion at infinity of solutions of Monge-Ampère type equations
得到了一类由Lagrangian图$(x,Du(x))$的中曲率方程导出的Monge-Ampère型方程解在无穷远处的定量展开式，改进了以往关于零中曲率方程和蒙日-安培方程的研究.
The boundary case for complex Monge-Ampère type equations
该研究聚焦复Monge-Ampère型方程的边界情形问题，在特定几何假设下开展相关分析，为该类方程的边界相关理论研究提供参考。
Boundary Harnack inequality for the linearized Monge-Ampère equations and applications
本文在区域、Monge-Ampère测度和边界条件的自然假设下，得到了线性化蒙日-安培方程非负解的边界Harnack估计和比较定理.我们的结果是线性化蒙日-安培方程的Caffarelli和Gutiérrez的内部Harnack不等式的边界形式.作为应用，我们得到了线性化Monge-Ampère算子的Green函数的精确上界和整体$L^p$ -可积性.
The eigenvalue problem for the Monge-Ampère operator on general bounded convex domains
本文研究一般有界凸区域上Monge-Ampère算子的本征值问题.我们证明了Monge-Ampère特征值的存在性、唯一性和变分特征。凸Monge-Ampère特征函数被证明是唯一的，直到正的乘法常数。我们的结果是P-L以前结果的奇异对应。Lions和K. Tso在光滑，均匀凸设置。此外，我们证明了Monge-Ampère特征值关于区域的Hausdorff收敛的稳定性。这种稳定性使得研究Monge-Ampère特征值的Brunn-Minkowski不等式、等周不等式和逆等周不等式成为可能。我们还讨论了一类退化的蒙日-安培方程解的存在性和正则性.
A Liouville's theorem for some Monge-Ampère type equations
本文研究了一类Monge-Ampère型方程，它插值于共形几何中的经典{σ_2} -Yamabe方程和4维空间中的2-Hessian方程.
Pointwise $C^{2,α}$ estimates at the boundary for the Monge-Ampere equation
我们获得逐点$C^{2,α}$估计在边界点的解决方案的蒙赫-安培方程在适当的当地条件下的右手边和边界数据。
Global $W^{2,p}$ estimates for solutions to the linearized Monge--Ampère equations
本文在关于区域、Monge-Ampère测度和边界数据的自然假设下，建立了线性化蒙日-安培方程解的整体$W^{2,p}$估计.我们的估计是仿射不变的类似物的全球$W^{2,p}$估计的冬季完全非线性，一致椭圆型方程，也线性化对应的Savin的全球$W^{2,p}$估计的蒙日-安培方程。
Entire invariant solutions to Monge-Ampere equations
证明了在紧李群的不可约作用下Monge-Ampere方程整体解的存在性和正则性。
A priori estimate for the complex Monge-Ampere equation
本文证明了多元下调和函数在边界上为零的一个Moser-Trudinger型不等式。我们的证明使用下降梯度流的复杂的蒙格-安培功能。
Moser-Trudinger inequality for the complex Monge-Ampere equation
本文证明了多元下调和函数在边界上为零的一个Moser-Trudinger型不等式。我们的证明使用下降梯度流的复杂的蒙格-安培功能。
Non linear elliptic theory and the Monge-Ampere equation
蒙日-安培方程在完全非线性方程理论中起着核心作用。事实上，我们将希望显示如何蒙日安培方程，链接在某种程度上的想法来自变分法和理论的充分非线性方程。
An obstacle problem for a class of Monge-Ampère type functionals
本文研究Monge-Ampère型泛函的障碍问题，其Euler-Lagrange方程是一类四阶方程，包括仿射极大曲面方程和Abreu方程.
Optimisation approach for the Monge-Ampere equation
研究完全非线性Monge-Ampere方程狄利克雷问题解的数值逼近.在这种方法中，我们采取的优势，重新制定的蒙格-安培问题作为一个最优化问题，我们与一个定义良好的功能，其最小值为我们提供了解决方案的蒙格-安培问题后，解决泊松问题的有限元伽辽金法。我们提出了一些数值例子，其中一个很好的近似在68次迭代。
The Monge-Ampère equation in cones and polygonal domains
本文研究锥体中Monge-Ampère方程解的渐近行为，并利用该展开工具分析多边形区域内解的正则性。
On boundary Hölder gradient estimates for solutions to the linearized Monge-Ampère equations
本文在对区域、边界数据和Monge-Ampère测度的自然假设下，建立了线性化的蒙日-安培方程解的边界Hölder梯度估计，其中$L^{p}$（$n<p\leq\infty$）在右端，且具有$C^{1,γ}$边界值.这些估计扩展了我们以前的边界正则性结果的解决方案的线性蒙日-安培方程与有界的右手边和$C^{1, 1}$边界数据。
W^{2,1} estimate for singular solutions to the Monge-Ampere equation
本文证明了Monge-Ampere方程奇异解的$W^{2,1}$内点估计，并构造了一个例子来说明我们的结果是最优的.
Complex Monge-Ampère equations with oblique boundary value
证明了复蒙日-安培方程在Neumann边界条件的C^1扰动下，在C^n中的某个严格拟凸区域上古典多重次调和解的存在性和正则性.
A double large deviation principle for monge-ampere gravitation
Monge-Ampere引力是经典牛顿引力的一种非线性修正，即用Monge-Ampere方程代替泊松方程。我们建立，通过两个应用程序的大偏差原则，MA引力的有限数量的粒子可以减少，通过双重应用程序的大偏差原则，最简单的可能的随机模型：收集独立的布朗运动与消失的噪音。
A localization property at the boundary for the Monge-Ampere equation
本文研究了右端有界的Monge-Ampere方程，并研究了以边界点为中心的截面的几何性质。我们证明了在自然边界条件下，这样的部分是等价的椭球。
Self-similar blow-up in parabolic equations of Monge--Ampère type
本文提出了一类非线性Monge-Ampére（M-A）型抛物型方程，该方程允许区域性、单点性和相似型整体爆破.一个类似的模型推导出一个四阶M-A流。
Asymptotics and convergence for the complex Monge-Ampere equation
研究了C^n中严格伪凸区域上完全Kaehler-Einstein度量的渐近性，并得到了相应Monge-Ampere方程解的收敛定理.如果只有一部分边界是解析的，则解满足切向导数的Gevrey型估计。对模型线性化方程的一个反例表明，复Monge-Ampere方程不存在局部收敛定理
Existence and nonexistence to exterior Dirichlet problem For Monge-Ampère equation
考虑具有给定渐近行为的蒙日-安培方程的Dirichlet外问题.基于Caffarelli和第一作者的工作，我们完成了解的存在性和不存在性的渐近行为的特征。
A non local Monge-Ampere equation
我们引入一个非本地模拟的Monge-Ampere算子，并显示它的一些性质。我们证明了涉及该算子的全局问题在全空间中有C1，1解.
A Variational Approach to Degenerate Monge--Ampère Equations with Mixed Measures and Monotonicity
本文提出一种变分方法研究退化Monge-AMPERE方程，结合混合测度与单调性，通过能量分析、最大原理和比较原理，揭示了特征值问题在能量类外的解存在性及对称性破坏现象。
Boundary Estimates for solutions of the Monge-Ampere equation satisfying Dirichlet-Neumann type conditions in annular domains
本文研究了环形区域上具有混合边界条件的Monge-Schiere方程的光滑解。当区域的边界由两个光滑的严格凸闭超曲面组成时，我们建立了全局$C^2$估计。
The conical complex Monge-Ampère equations on Kähler manifolds
本文通过对一列逼近方程给出一致梯度估计，证明了具有弱初值的锥抛物型复蒙日-安培方程解的存在性、唯一性和正则性.作为应用，我们证明了一个正则性估计，即圆锥复蒙日-安培方程的任何$L^{\infty}$ -解都是$C^{2,α,β}$ -正则的.
Gevrey regularity of subelliptic Monge-Ampère equations in the plane
本文在Hessian方程的主项严格为正且具有适当的有限型退化的条件下，建立了平面上一类退化的蒙日-安培方程解的Gevrey正则性.
Elliptic solutions to nonsymmetric Monge-Ampère type equations I. The $d$-concavity and the comparison principle
引入了所谓的$d$ -凸，$d \geq 0,$，证明了矩阵变量的非对称Monge-Ampère型函数在适当的无界凸集中是凹的.我们还证明了非对称Monge-Ampère型方程的比较原理的情况下，他们是所谓的$δ$ -椭圆的比较功能与$0 \leq δ<1$。
Global $W^{2,1+\varepsilon}$ estimates for Monge-Ampère equation with natural boundary condition
对于蒙日-安培方程的右手边有界远离0和无穷大，我们表明，解决方案，受自然边界条件所产生的最优输运，是在$W^{2,1+\varepsilon}$的边界。
Visualization of the convex integration solutions to the Monge-Ampère equation
在这篇文章中，我们基于[Lewicka-Pakzad Analysis and PDE（2017）]中证明的凸积分结果实现了该算法，并获得了Nash-Kuiper格式的第一次迭代的可视化，近似了二维蒙日-安培方程的反常解。
A note on interior $W^{2,1+\varepsilon}$ estimates for the Monge-Ampere equation
通过[DF]中的前两个作者所介绍的证明Monge-Ampere方程解的二阶导数在$L\log L$中局部存在的技巧的一个变体，我们得到了内部$W^{2,1+\varepsilon}$估计.
Comparison Principles for subelliptic equations of Monge-Ampere type
本文给出了一类向量场的Monge-Ampere型方程的粘性子解和上解的两个比较原理。特别地，我们得到了在卡诺群中具有给定水平高斯曲率的方程的狄利克雷问题的黏性解的唯一性。
New Approach for Interior Regularity of Monge-Ampère Equations
本文发展了一种积分方法，用于研究Monge-Ampère方程$\det D^2 u = 1$严格凸解的内部正则性，提出了新的证明方法。
Solutions to Monge-Ampère Equations with Low Codimensional singularities
本文研究了具有低共 dimension 突变的 Monge-Ampère 方程解的构造及其正则性，探讨了最优传输中潜在函数满足的 Monge-Ampère 方程。
Partial regularity for singular solutions to the Monge-Ampere equation
我们证明了Monge-Ampere不等式$$\det D^2u \geq 1$$在$\mathbb{R}^n$中的解是严格凸的，远离Hausdorff $n-1$维测度为零的奇异集。此外，我们证明这是最优的构造解决方案，$\det D^2u = 1$与奇异集的豪斯多夫维数接近，因为我们喜欢$n-1$。由此得到了具有有界右端的Monge-Ampere方程的$W^{2,1}$正则性和具有充分正则右端的Monge-Ampere方程的唯一延拓性.
Continuity estimates for the gradient of solutions to the Monge-Ampère equation with nature boundary conditions
本文研究 Monge-Ampère 方程解的一阶导数连续模估计，并证明自然边界条件下其梯度具有最优全局 log-Lipschitz 连续性。
Analyticity of the solutions to degenerate Monge-Ampère equations
本文研究了退化的蒙日-安培方程：\begin{eqnarray}\label{ab1} \begin{cases} \det D^2 u=Λ_q (-u)^q \quad \text{in}\quad Ω,\\ u=0 \quad\text{on}\quad \partialΩ\end{cases} \end{eqnarray}，其中$Λ_q$为正常数.设$Ω\subset\subset \mathbb R^n$是一致凸的解析的.然后，在$q\in \mathbb Z^+$的支持下，在$\barΩ$中给出了退化蒙日-安培方程的解析解.
Singular structures in solutions to the Monge-Ampère equation with point masses
我们构造新的例子，蒙格-安培度量多面体奇异结构，由相关的问题，最优输运的点质量和镜像对称性的动机。我们还分析了在考虑中的问题中给出的数据的小扰动下的奇异结构的稳定性。
Interior $C^{1,α}$ regularity on the linearized Monge-Amp$\grave{e}$re equation with $\mathrm{VMO}$ type coefficients
本文建立了线性化Monge-可积$\grave{e}$再方程$$\mathcal{L}_ϕu:=\mathrm{tr}[ΦD^2 u]=f,$$解的内$C^{1,α}$估计，其中Monge-可积$\grave{e}$再测度$g:=\mathrm{det}D^2ϕ$的密度满足$\mathrm{VMO}$ -型条件，$Φ:=(\mathrm{det}D^2ϕ)(D^2ϕ)^{-1}$是$D^2ϕ$的余因子矩阵.
Global $W^{2,p}$ regularity on the linearized Monge-Amp$\grave{e}$re equation with $\mathrm{VMO}$ type coefficients
本文建立了线性化Monge-可积$\grave{e}$再方程$$\mathcal{L}_ϕu:=\mathrm{tr}[ΦD^2 u]=f,$$解的整体$W^{2,p}$估计，其中Monge-可积$\grave{e}$再测度$g:=\mathrm{det}D^2ϕ$的密度满足$\mathrm{VMO}$ -型条件，$Φ:=(\mathrm{det}D^2ϕ)(D^2ϕ)^{-1}$是$D^2ϕ$的余因子矩阵.
Monge--Ampère equation and Bellman optimization of Carleson Embedding Theorems
蒙日-安培方程在解析法中占有重要地位。例如，它在质量运输问题中是有用的。另一方面，最近出现的贝尔曼函数技术，作为一种方法来考虑某些调和分析问题的随机最优控制的问题。这就把我们带到了贝尔曼偏微分方程，在随机环境中，它通常是一个蒙日-安培方程或它的近亲。本文探讨了用一种特征线法求解蒙日-安培方程，求某些经典调和分析问题的Bellman函数，从而求出这些问题的尖常数和极值序列的完整结构的方法.
Convergence of an iterative scheme for the Monge-Ampère eigenvalue problem with general initial data
本文重新考察Abedin与Kitagawa提出的Monge-Ampère特征值问题迭代格式，利用非线性分部积分证明其对满足Rayleigh商条件的凸初值收敛，并给出特征函数的能量刻画。
The Anisotropic Convexity of Domains and the Boundary Estimate for Two Monge-Ampère Equations
本文研究了区域各向异性凸性对两类Monge-Ampère方程边界估计的影响，得到了尖锐边界估计和最优全局Hölder正则性。
Global $C^{2,α}$ estimates for the Monge-Ampère equation on polygonal domains in the plane
本文利用二次边界数据对平面上第一象限上的蒙日-安培方程$\det D^2 u=1 $的整体解进行了分类.作为应用，我们得到了凸多边形区域上非退化蒙日-安培方程在$\mathbb R^2$中的整体$C^{2,α}$估计，条件是存在整体$C^2$，凸严格子解.
Boundary Hölder gradient estimates for the Monge-Ampère equation
本文研究了蒙日-安培方程$$\mathrm{det}\;D^2 u=f\quad\mathrm{in}\;Ω,$$解的全局Hölder梯度估计，其中$f$的右端有界远离$0$和$\infty$ .我们考虑两种主要情况时，a）域$Ω$是一致凸的和b）$Ω$是平坦的。
The interior $C^2$ estimate for Monge-Ampere equation in dimension $n=2$
本文引入一个新的辅助函数，建立了Monge-Ampere方程在$n =2$维上的内$C^2$估计，这是Heinz \cite{H59}首次证明的.
Some multi-valued solutions to Monge-Ampere equations
我们构造了几种类型的多值解决方案的Monge-Ampere方程在更高的维度。
Weak subsolutions to complex Monge-Ampère equations
我们比较了退化复蒙日-安培方程的弱下解的各种概念，表明它们都是一致的。这使我们能够给出另一种证明混合蒙日安培不等式由于Kolodziej和Dinew。
Energy Functionals for the Parabolic Monge-Ampere Equation
本文对具有非齐次边界条件的有界区域上的复Monge-Ampere方程引入了能量泛函，并利用这些泛函证明了抛物型Monge-Ampere方程解的收敛性.
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