Burkholder鞅变换的扰动与蒙日-安培方程
Perturbation of Burkholder's martingale transform and Monge--Ampère equation
摘要：
设$\{d_k\}_{k \geq 0}$是$L^p[0,1],$中的一个复鞅差，其中$1<p<\infty,$和$\{\e_k\}_{k \geq 0}$是$\{\pm 1\}.$中的一个序列.我们得到了Burkholder著名结果的如下推广.如果$τ\in [-\frac 12, \frac 12]$和$n \in \Z_+$，则$$|\sum_{k=0}^n{(\{c} \e_k τ) d_k}|_{L^p([0,1], \C^2)} \leq ((p^*-1)^2 + τ^2)^{\frac 12}|\sum_{k=0}^n{d_k}|_{L^p([0,1], \C)},$$，其中$((p^*-1)^2 + τ^2)^{\frac 12}$为锐常数，而$p^*-1 = \max\{p-1, \frac 1{p-1}\}.$对于$2\leq p<\infty$，结果也为真，$τ\in \R.$为锐常数
英文摘要：
Let $\{d_k\}_{k \geq 0}$ be a complex martingale difference in $L^p[0,1],$ where $1<p<\infty,$ and $\{\e_k\}_{k \geq 0}$ a sequence in $\{\pm 1\}.$ We obtain the following generalization of Burkholder's famous result. If $τ\in [-\frac 12, \frac 12]$ and $n \in \Z_+$ then $$|\sum_{k=0}^n{(\{c} \e_k τ) d_k}|_{L^p([0,1], \C^2)} \leq ((p^*-1)^2 + τ^2)^{\frac 12}|\sum_{k=0}^n{d_k}|_{L^p([0,1], \C)},$$ where $((p^*-1)^2 + τ^2)^{\frac 12}$ is sharp and $p^*-1 = \max\{p-1, \frac 1{p-1}\}.$ For $2\leq p<\infty$ the result is also true with sharp constant for $τ\in \R.$
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