On Lovelock vacuum solution
Naresh Dadhich
我们证明了在$d \geq 2n+1$维中，所有含$Λ$的Lovelock真空和电真空解的渐近大$r$极限总是Einstein解.它是完全免费的顺序$n$的洛夫洛克多项式表示普遍的渐近行为。
We show that the asymptotic large $r$ limit of all Lovelock vacuum and electrovac solutions with $Λ$ is always the Einstein solution in $d \geq 2n+1$ dimensions. It is completely free of the order $n$ of the Lovelock polynomial indicating universal asymptotic behaviour.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Lovelock gravity in the critical spacetime dimension
爱因斯坦引力场中的真空在临界（2+1=3）维上是平凡的，这是因为真空解是平坦的。事实证明，这是正确的，在一般情况下，任何奇数临界$d=2n+1$维，其中$n$是齐次多项式的程度在黎曼定义其高阶类似物的痕迹是n阶洛夫洛克多项式。这是n阶纯洛夫洛克引力的“曲率”，因为它的比安奇导数的迹给出了爱因斯坦张量\cite{bianchi}的相应模拟。因此，在奇临界（2n+1）维中，纯Lovelock引力中的真空总是平凡的，这意味着它是纯Lovelock平坦的，但它不是Riemann平坦的，除非$n=1$，然后它描述了一个整体的场。进一步加上λ，我们得到BTZ黑洞的Lovelock类似物。
Vacuum Degeneracy and Conformal Mass in Lovelock AdS Gravity
结果表明，共形质量的概念可以定义在一个给定的反德西特（AdS）分支的洛夫洛克引力理论，只要相应的真空是不退化。事实上，通过将Kounterterms添加到体作用中获得的守恒电荷与Weyl张量的电部分成比例，当考虑AdS分支中的通用解决方案时。比例因子是在所研究的特定洛夫洛克AdS理论中真空的简并条件。最后一个特征解释了在简并情况下定义共形质量的障碍。
Black Hole Energy in Lovelock Unique Vacuum theories
在这篇论文中，我们探讨了在整个Lovelock-AdS引力理论族中用Weyl张量定义黑洞质量的可能性。相应真空的简并度$k$决定了能量公式中出现的曲率数。因此，电荷表达式，这是一个多项式的最大程度的曲率，可以一贯截断到一个订单$k$的外尔张量。特别是，对于奇维最大简并情形（陈-西蒙斯AdS），该表达式同样为零，质量必须来自于在其他情形下产生真空能的公式。
Mass in Lovelock Unique Vacuum gravity theories
本文导出了具有$k$ -倍简并真空的Lovelock AdS引力中守恒电荷的表达式，表明了给定真空的简并性与能量公式的非线性之间的联系.我们证明了一个黑洞解方案的多重性$k$，它的质量来自一个表达式，其中包含产品的$k$外尔张量的一个分支上的场方程。我们证明了所有的发散贡献的类型（Weyl）$^q$，与$1\le q<k$，被抑制。我们的守恒电荷定义是Ashtekar，Magnon和Das的共形质量的自然推广，当$k>1$。我们的结果提供了洞察退化Lovelock理论的全息性质。
Pure Lovelock Kasner metrics
我们研究了Kasner型度规的纯Lovelock真空和理想流体方程。这些方程对应于$d=2N+1,\,2N+2$维作用量中的一个$N$阶Lovelock项，并且在Lovelock理论族中，当接近大爆炸奇点时，它们捕获了相关的引力动力学。纯洛夫洛克引力也证实了临界奇维$d=2N+1$中的真空是运动学的这一一般特征;也就是说，我们可以定义一个类似的洛夫洛克-黎曼张量，它在$d=2N+1$的真空中消失，但黎曼曲率不为零。我们完全分类各向同性和真空Kasner度量这类理论在几个各向同性类型。不同的族可以通过某些高阶四阶张量来表征。我们还详细分析了五维和六维纯Gauss-Bonnet理论的真空解空间。它拥有一个有趣的和启发性的几何结构和对称性，结转到一般情况下。我们还评论了一个密切相关的家庭的指数的解决方案和解决方案的可能性与复杂的卡斯纳指数。我们表明，后者意味着存在封闭的类时曲线的几何。
Vacuum static compactified wormholes in eight-dimensional Lovelock theory
本文将给出八维Lovelock理论的新的精确解。这些解是真空静态虫洞、黑洞和具有非平凡挠率的广义Bertotti-Robinson时空。所有的解都具有$M_{5}\times Σ_{3} $型的叉积结构，其中$M_{5}$是一个五维流形，$Σ_{3}$是一个紧致常曲率流形.该虫洞是第一个既不是Chern-Simons也不是Born-Infeld的光滑真空静态Lovelock虫洞。它也将讨论如何扭转的存在影响的“navigableness”的虫洞标量和自旋粒子。它将表明，与扭转的虫洞可以作为“几何过滤器”：一个非常大的扭转可能会“增加的可通行性”的标量，而作为一个“偏振器”的自旋粒子。这可能会产生有趣的现象学后果。
Master Equations for Gravitational Perturbations of Static Lovelock Black Holes in Higher Dimensions
本文导出了静态真空Lovelock黑洞的矢量型和标量型引力扰动的主方程。连同我们以前的工作张量类型的扰动，我们现在提供了一套完整的主方程，管理所有类型的引力扰动的静态真空洛夫洛克黑洞在任何维度。
General Relativity with small cosmological constant from spontaneous compactification of Lovelock theory in vacuum
结果表明，通过真空中Lovelock引力的自发紧化，可以得到具有小宇宙学常数和小额外维的四维Einstein引力。假设额外维是常曲率的紧致空间，广义相对论在某些类Lovelock理论中得到恢复，这些理论必然具有三次或更高阶的曲率项。这将更高的维度限制为至少7。值得注意的是，四维中的有效规范耦合和牛顿常数与高维中的引力常量不成比例，而是相对于它们的标准值发生了位移。这种效应开辟了新的场景，在更高维度的最大对称解可以通过隧穿或通过鬼凝聚的引力模拟衰减到紧致时空。事实上，这就是需要额外维度和四维宇宙学常数都很小的情况。
All the solutions of the form M2(warped)xΣ(d-2) for Lovelock gravity in vacuum in the Chern-Simons case
本文在Chern-Simons（CS）情形下，对大于4的任意（奇）维Lovelock引力解族进行了分类.时空的特征在于允许一个度量，它是二维时空M2和（先验的）任意d-2维欧几里得基流形Sigma（d-2）的翘曲乘积。我们表明，解决方案是自然分类的方程限制的基础流形。根据这些约束的强度，我们发现Sigma（d-2）必须满足以下分支：具有单个真空的Lovelock方程（d-2维的Euclidean Lovelock Chern-Simons），作为d-2维的Euclidean Lovelock CS方程的迹的单个标量方程，或者最后是基流形完全不受限制的退化情况。我们表明，所有的情况下有一定的退化的意义上，度量函数不完全固定的场方程。这个结果扩展了先前在Phys.Rev.D76（2007）064038中讨论的静态五维情形，并且它表明在CS情形中，在曲率中包含更高的幂并没有在Lovelock引力中引入新的解分支。最后，我们评论如何列入一个非零扭转和物质领域可能会修改这一分析。
Black hole hair in Lovelock gravity
我们提出了一种方法来分析黑洞头发在球对称部门的Lovelock理论在任意尺寸，这是一种替代解决运动方程的完整形式。我们明确地表明，该方法与已知的黑洞解的真空和电真空时空Lovelock引力理论。我们进一步将该方法应用到最小耦合非自相互作用无质量标量场的情形，证明了球对称Lovelock黑洞不存在（非自相互作用）无质量标量头发.
Asymptotically Lifshitz wormholes and black holes for Lovelock gravity in vacuum
对于d=2n+1>7维的一类Lovelock理论，证明了静态渐近Lifshitz虫洞和真空中的黑洞的存在性，其中n个最大对称真空中除了一个外，其余都是半径为l的AdS，并且是退化的.虫洞的几何形状处处是正则的，并且在边界处连接两个具有非平凡几何形状的Lifshitz时空。动力学指数z由最大对称真空的曲率半径的商根据n（z^2-1）+1=（l/L）^2确定，其中L对应于非简并真空的曲率半径。光信号能够在有限时间内连接两个渐近区域，并且引力场拉向位于到颈部的任意适当距离处的固定表面。渐近Lifshitz黑洞具有相同的动力学指数和固定的Hawking温度T=z/（2^z π l）。进一步的解析解，包括纯Lifshitz时空与非平凡的几何在类空边界，和虫洞之间的渐近Lifshitz时空与不同的动力学指数插值也被发现。
Vacuum thin shell solutions in five-dimensional Lovelock gravity
研究了五维Einstein-Gauss-Bonnet引力场真空解的连接条件。我们专注于这些情况下，两个球对称的时空区域加入这样一种方式，在交界面上的诱导应力张量消失。因此，一个不包含任何物质的球形真空壳层，作为时空两个区域之间的边界出现。这种解是一种广义的球对称空空间解，由$C^0$类的度量函数描述。新的全球结构以令人惊讶的特征出现。特别是，我们表明，真空球对称虫洞存在于这个理论。它们可以被看作是引力孤子，它们连接两个具有不同质量和/或不同有效宇宙学常数的渐近（Anti）deSitter空间。我们证明了静态和动态解决方案的存在性，并讨论其（在）稳定性扰动下保持对称性。这导致我们讨论一种新的不稳定性，这种不稳定性出现在五维洛夫洛克引力理论中，对于高斯-邦纳项的耦合的某些值。
Ghost-Free Stable Minkowski Vacua in Lovelock Compactifications on Irreducible Symmetric Spaces
研究通过分析洛维洛克压缩体在不可约对称空间上的行为，发现通过包含三次洛维洛克项可实现稳定且无鬼的四维闵可夫斯基真空。
Gravitational solitons and $C^0$ vacuum metrics in five-dimensional Lovelock gravity
研究了五维Einstein-Gauss-Bonnet引力场真空解的连接条件。我们专注于这些情况下，两个球对称的时空区域加入这样一种方式，在交界面上的诱导应力张量消失。因此，一个不包含任何物质的球形真空壳层，作为时空两个区域之间的边界出现。一般分析的解决方案，可以通过这种方法的几何手术。这种解是一种广义的球对称空空间解，由$C^0$类的度量函数描述。新的全球结构以令人惊讶的特征出现。特别是，我们表明，真空球对称虫洞存在于这个理论。它们可以被看作是引力孤子，它们连接两个具有不同质量和/或不同有效宇宙学常数的渐近（Anti）deSitter空间。我们证明了静态和动态解决方案的存在性，并讨论其（在）稳定性扰动下保持对称性。这导致我们讨论一种新的不稳定性，这种不稳定性出现在五维洛夫洛克引力理论中，对于高斯-邦纳项的耦合的某些值。讨论了解的存在唯一性和动力学演化中的决定论问题。
Kerr-Schild Ansatz in Lovelock Gravity
本文分析了具有背景度规$\bar g_{ab}$、背景零矢量$k^a$和自由参数$λ$的Kerr-Schild度规耦合体$g_{ab}=\bar g_{ab} +λk_ak_b$的Lovelock引力场方程。最初集中在高斯-邦纳的情况下，我们发现一个简单的扩展爱因斯坦引力的结果，只有在理论有一个独特的常曲率真空。然后，场方程简化为$λ^2$阶的单个方程。具有两个不同真空的更一般的高斯-邦纳理论产生一对方程，它们的阶数为$λ$和$λ^2$，但显然不相容。我们对高阶Lovelock理论的结果不太完整，但使我们期望得到类似的结论。也就是说，Kerr-Schild度规的场方程将减少到一个单一的$λ^p$阶方程的唯一的真空理论的$p$在曲率，而非唯一的真空理论产生了一组潜在的不兼容方程在$λ^n$与$1\le n \le p$阶。对已知静态黑洞解的检验也支持这一结论。
Scalar probes on wormholes in Lovelock theories with unique vacuum
本文在具有唯一真空的Lovelock理论中构造了一族由积分常数$ρ_{0}$刻画的新虫洞几何，其边界质量贡献相互抵消，并证明当标量扰动质量高于依赖$ρ_{0}$的变形Breitenlohner-Freedman界时这些构型稳定。
Lovelock black holes with maximally symmetric horizons
研究了在Lovelock引力中，在零能或主能条件下，n（\ge 4）维时空的对称性与n-2维极大对称空间的等距性相对应的一些性质.证明了过去研究中提出的广义Misner-Sharp准局域质量的适定性。利用这种准局域质量，在对Lovelock耦合常数的某些假设下，我们阐明了由未来外俘获视界定义的动态黑洞的基本性质. C^2真空解可分为四类：（i）Schwarzschild-Tangherlini型解;（ii）Nariai型解;（iii）特殊退化真空解;（iv）例外真空解.阐明了后两种解决方案实现的条件。详细研究了Schwarzschild-Tangherlini型解。证明了黑洞热力学第一定律，给出了热容和自由能的表达式。
Cosmological Models in Lovelock Gravity: An Overview of Recent Progress
本综述总结额外维度洛夫洛克引力宇宙学的近期进展，分析多种模型与物质源组合的紧致化条件，发现通过平滑过渡要求可约束模型参数，明确不同场景下紧致化的存在性及维度约束。
Realistic compactification in spatially flat vacuum cosmological models in cubic Lovelock gravity: Low-dimensional case
本文系统地研究了立方Lovelock引力下空间平坦真空宇宙模型中所有可能的区域。我们认为空间部分是三维和额外的各向同性子空间的产物，前者被认为是我们的宇宙。由于$D=3, 4, 5$和一般$D \geqslant 6$情况下的运动方程不同，我们将它们分开考虑。由于存在大量不同的子情形，本文只考虑$D=3, 4$情形。对于每一个$D$的情况下，我们发现的值$α$（高斯-邦纳耦合）和$β$（立方Lovelock耦合），分离不同的动力学情况下，所有各向同性和各向异性指数的解决方案，并研究在每个区域的动力学，以找到所有可能的制度，所有可能的初始条件和任何值的$α$和$β$。结果表明，在这两种$D$情况下，具有实际紧化的区域起源于所谓的“广义Taub”解。紧化区域的端点是各向异性指数（对于$α> 0$，$μ\equiv β/α^2 < μ_1$（包括整个$β< 0$））或标准低能Kasner区域（对于$α> 0$，$μ> μ_1$），因为它是紧化区域，两个端点都有膨胀的三维和收缩的额外维度.结果中有两个意想不到的观察结果-所有的现实的紧化制度只存在于$α> 0$和有没有高能量和低能量Kasner制度之间的平滑过渡，后者与现实的紧化。
Rotating black hole in Einstein and pure Lovelock gravity
我们利用两种独立的方法得到了高维Einstein引力和纯Lovelock引力的旋转黑洞度规。一种是基于类时运动有牛顿加速度而零运动无加速度的原理。另一种是著名的Newman-Janis算法，它通过复杂的变换将静态黑洞转化为旋转黑洞。结果表明，这两种方法给出的度规是相同的，即对于纯Lovelock度规，黑洞中的Einst是精确真空解，而对于纯Lovelock黑洞，Einst满足首阶真空方程.然而，它与众所周知的克尔黑洞共享所有的物理特性。
Realistic compactification in spatially flat vacuum cosmological models in cubic Lovelock gravity: High-dimensional case
本文研究了立方Lovelock引力下空间平坦真空宇宙模型中可能存在的机制。空间截面是三维和额外维各向同性子空间的乘积。这是该系列的第二篇论文，我们在这里考虑D=5和一般D>=6的情况。对于每个D的情况下，我们发现的临界值为$α$（高斯-博内耦合）和$β$（立方Lovelock耦合），分离不同的动力学情况下，并研究在每个区域的动态，以找到所有的制度，为所有的初始条件和任意值的$α$和$β$。结果表明，当D>=3时，存在着由“广义Taub”解产生的实紧化区域.紧化区域的端点是各向异性指数解（对于$α> 0$，$μ\equiv β/α^2 < μ_1$（包括整个$β< 0$））或标准Kasner区域（对于$α> 0$，$μ> μ_1$）。当D>=8时，存在一个附加区域，它起源于高能（立方Lovelock）Kasner区域，并以各向异性指数解结束。它存在于两个域中：$α> 0$、$β< 0$、$μ\leqslant μ_4$和整个$α> 0$、$β> 0$。让我们注意到，对于D>=8和$α> 0$，$β< 0$，$μ< μ_4$，存在两个同时存在的现实紧化区域，并且具有两个不同的各向异性指数解作为未来渐近线。对于D>=8和$α> 0$，$β> 0$，$μ< μ_2$，存在两个实际的紧化区域，但它们导致相同的各向异性指数解.这一行为与爱因斯坦-高斯-邦纳的情况完全不同。结果中还有两个意想不到…
Dynamical structure of Pure Lovelock gravity
利用哈密顿形式研究了四维以上时空中纯Lovelock引力的动力学结构。作用量由宇宙学常数和黎曼张量中的一个高次多项式组成。类似于Einstein-Hilbert作用量，它具有唯一的常曲率真空和带电黑洞解。在这个理论中，我们分析了物理自由度和局部对称性。与爱因斯坦-希尔伯特的情况相反，自由度的数量取决于背景，并且可以从零变化到洛夫洛克理论所携带的最大值。
Thermodynamical universality of the Lovelock black holes
静态球对称Lovelock黑洞的物理普适性的充分必要条件是它是纯Lovelock Λ-真空解.我们所说的普适性是指热力学参数：温度和熵总是与视界半径具有相同的关系，而与洛夫洛克序和时空维无关。例如，对于h个奇数维和偶数维，熵总是以视界半径的形式分别为rh和r^2。这种普适性唯一地将纯洛夫洛克黑洞与Λ等同起来。
On the maximally symmetric vacua of generic Lovelock gravities
本文考察了 Lovelock 引力的极大对称真空解，利用 Palais 对称临界性原理恢复静态黑洞解，展示了场方程在真空附近的线性化因式分解，并阐述了守恒荷的计算及特殊真空的性质。
Lovelock vacua with a recurrent null vector field
研究了存在常返零向量场（Kundt时空的一个子集）时Lovelock引力的真空解。我们首先讨论了一般的场方程，它既约束基空间又约束轮廓函数。虽然选择一个“通用”的基础空间对轮廓施加了更强的约束，但在特殊情况下，也存在包含任意函数的解决方案（至少对于耦合常数的某些值）。这些和其他属性（如pp波子类和与VSI，CSI和通用时空的重叠），随后在更低的维度$n=5,6$，以及为特定的选择的基础流形更详细地分析。所获得的解描述了各种类型的非膨胀引力波传播，例如，在类似Nariai的背景中$M_2\timesΣ_{n-2}$。附录包含关于一般（即，（不一定是Kundt）Lovelock真空的Riemann III/N型和Weyl及Traceless-Ricci III/N型。例如，它指出，理论承认一个三重退化的最大对称真空，所有的（约化）场方程满足相同，从而产生大类的精确解。
3d Lovelock gravity and the holographic c-theorem: Proof at all orders and resummation
本文证明了三维Lovelock引力在所有阶和任意耦合下满足全息c-定理，并给出了重求和形式的拉格朗日量、c-函数和中心电荷，其核心贡献是建立了尺度不变但非共形的对偶理论。
Probing pure Lovelock gravity by Nariai and Bertotti-Robinson solutions
常曲率的乘积时空在爱因斯坦引力中是线性的，当曲率相等时，它是$Λ$ -真空的解，即Nariai度规;当曲率相等且相反时，它是描述均匀电场的Bertotti-Robinson度规，即$k_1=-k_2$ .我们利用这些简单的乘积时空来研究纯Lovelock引力，并证明了这些解的相同特征对于$d=2N+2$维的$N$阶纯Lovelock引力方程确实普遍成立.我们也考虑这些解决方案的传统设置的爱因斯坦-高斯-邦纳引力。
The Lovelock Black Holes
洛夫洛克理论是爱因斯坦引力理论向更高维度的自然延伸，它在理论物理学中引起了极大的兴趣，因为它描述了广泛的模型。特别地，它描述了弦论启发的对Einstein-Hilbert作用量的紫外修正，同时承认爱因斯坦广义相对论和所谓的Chern-Simons引力理论是特殊情况。最近，五维洛夫洛克理论已被认为是在文献中作为一个工作的例子，以说明包括高曲率项的AdS/CFT对应的上下文中的影响。本文介绍了Lovelock理论的黑洞解，并分析了它们的重要性质。这些解可以看作是我们在这里详细讨论的Einstein-Gauss-Bonnet引力的Boulware-Deser解的推广。我们简要地讨论了一些最近的进展，在understading这些和其他解决方案，如拓扑黑洞，代表黑膜的理论，真空薄壳虫洞状几何连接两个不同的渐近deSitter空间。我们还对类时裸奇点的解作了一些评论。
Lovelock-Lifshitz Black Holes
本文研究了Lovelock引力中Lifshitz解的存在性，包括真空中和有质量向量场的情形。我们表明，Lovelock条款可以支持Lifshitz解决方案提供的理论常数是适当的选择。在Gauss-Bonnet引力和纯三阶Lovelock引力下，我们得到了任意尺度参数$z$的具有Lifshitz渐近性的黑洞解.如果物质以大质量矢量场的形式加入，我们还证明了洛夫洛克引力中的Lifshitz解的存在;这些解可以被看作是对爱因斯坦引力的修正，与这种形式的物质相耦合。对于这种形式的物质，我们在数值上得到了广泛的带电黑洞解与Lifshitz渐近，无论是宇宙学常数的迹象。我们发现，这些渐近Lifshitz解决方案是更敏感的修正引起的Lovelock引力比他们的渐近AdS同行。我们还考虑了黑洞解的热力学，并证明了具有弯曲视界的大黑洞的温度与$r_0^z$成正比，其中$z$是临界指数;这种关系适用于任何大小的黑膜。与渐近AdS黑洞的情况一样，我们发现极端黑洞只存在于视界具有负曲率的情况。我们还发现，这些Lovelock-Lifshitz黑洞没有不稳定的阶段，相反的Lovelock-AdS的情况。我们还提出了一类具有Ricci平坦视界的旋转Lovelock-Lifshitz黑洞。
New 2D dilaton gravity for nonsingular black holes
我们构造了一个二维作用量，它是球对称Einstein-Lanczos-Lovelock引力的推广。作用量包含面积半径和梯度范数平方的任意函数，但场方程是二阶的，并且服从Birkhoff定理。与球对称的爱因斯坦-兰佐斯-洛夫洛克引力完全类似，场方程允许广义米斯纳-夏普质量作为决定真空解形式的第一积分。在行动中的任意功能允许真空解决方案，描述了一个更大的类有趣的非奇异黑洞时空比以前可用。
Universal features of gravity and higher dimensions
我们研究了在更高维度中引力的一些普遍特征，所谓普遍，我们指的是在所有维度中仍然成立的特征$\geq4$。它们包括：（a）引力动力学总是由齐次多项式的Riemann曲率的Bianchi导数得出，因此它表征了Lovelock多项式作用量，（b）Einstein-Lovelock方程和纯Lovelock方程的所有$Λ$ -真空解都有与$d$维Einstein解一致的渐近极限;均匀密度球内部的引力与时空维度无关，并且总是由史瓦西内部解给出。
A discerning gravitational property for gravitational equation in higher dimensions
众所周知，爱因斯坦引力在$3$维中是运动学的（没有非平凡的真空解;也就是说，只要里奇消失，黎曼就消失），因为黎曼完全是根据里奇给出的。在一个广义的理论中，这个性质能对所有的奇数维普遍化吗？答案是肯定的，这个性质唯一地挑出了纯洛夫洛克引力（它只有一个$N$阶项起作用），对于这种引力，$N$阶洛夫洛克黎曼张量确实是以对应于所有奇数$d=2N+1$维的Ricci给出的。引力的这一特征只有在更高的维度中才能实现，它从爱因斯坦引力的所有其他概括中独特地挑选出纯粹的洛夫洛克引力。它为高维引力方程提供了一个很好的判别和指导准则。
Carroll limit of four-dimensional gravity theories in the first order formalism
我们探讨了一类四维引力理论的超相对论极限，称为Lovelock-Cartan引力，在一阶形式主义。首先，我们回顾了著名的Einstein-Hilbert作用量的极限。一个非常有用的规模对称性涉及的vierbeins和升压连接。此外，我们探索场方程，以找到正式的解决方案。得到了一些显著的结果：讨论了Riemann和Weitzenböck类流形;在无挠情况下证明了Birkhoff定理;讨论了具有非平凡几何的显式解;在有物质存在的情况下得到了一个相当一般的解.第二章，我们考虑了更一般的Lovelock-Cartan引力的超相对论极限。还讨论了以前的尺度对称性。研究了真空和物质存在下的场方程。通过与Einstein-Hilbert情形的比较，得到了一些相关的结果：Birkhoff定理在无挠情形下也得到了验证;这个解推广了前面的情形;黎曼和Weitzenböck类流形是在爱因斯坦-希尔伯特情形的同一行中导出的。
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