某些三维物体的晶格差异

有效的Abschaetzungen fuer den Gitterrest gewisser ebener und dreidimensionaler Bereiche

Effektive Abschaetzungen fuer den Gitterrest gewisser ebener und dreidimensionaler Bereiche

某些平面和三维区域格点差异的有效估计。本文给出了三维欧几里得空间中o-对称椭圆盘和椭球的格点差的显式常数估计，以及具有有限非零高斯曲率的光滑边界的三维凸体的格点差的显式常数估计.

$(n_kx)$相对于某些概率测度的差异

The discrepancy of $(n_kx)$ with respect to certain probability measures

设$(n_k)_{k=1}^{\infty}$是缺项整数序列。我们表明，如果$μ$是$[0,1)$上的概率测度，使得$|\widehatμ(t)|\leq c|t|^{-η}$，那么对于$μ$ -几乎所有的$x$，对于某个常数$C>0$，差异$D_N(n_kx)$满足\begin{equation*} \frac{1}{4} \leq \limsup_{N\to\infty}\frac{N D_N(n_kx)}{\sqrt{N\log\log N}} \leq C \end{equation*}，证明了Haynes，Jensen和Kristensen的一个猜想。这使得他们以前对$q\|qα\| \|qβ-γ\| $形式的产物的结果略有改进。

序列的离散估计：新结果和公开问题

Discrepancy estimates for sequences: new results and open problems

在本文中，我们给出了一个概述最近的结果（上，下）的差异估计（具体）序列的单位立方体。特别是，我们也给出了某些类别的混合序列的差异估计的概述。这里，通过混合序列，我们理解为$(s+t)$维序列，其是特定类型的$s$维序列（例如Kronecker-、Niederreiter-、Halton-、.类型）和另一类型的$t$维序列。杂交序列（及其组成部分）的差异分析是一个相当流行和生动的研究分支。我们收集了一些具有挑战性的开放问题在这个主题上。

一般辛格的离散性

Discrepancy of general symplectic lattices

我们考虑随机格从一般辛系综和计数的一个典型的格在嵌套家庭$B_t$的某些Borel集的格点的数量。我们的主要结果是，对于几乎每一个一般的辛格，格点计数关于体积的偏差$D(Λ,B_t)$是$O(vol(B_t)^{-δ})$。这推广了W. Schmidt在$\mathbb{R}^n$中对所有格的空间给出了类似的差异界限。

对M. B.特殊序列和点集的精确差下界的Levin证明

A survey on M. B. Levin's proofs for the exact lower discrepancy bounds of special sequences and point sets

这篇综述文章的目的是对M。B.莱文这些工作为Halton序列和一类$(t, s)$ -序列的精确偏差下界提供了证明。我们的调查旨在突出证明的主要思想，我们讨论了所采用的方法的进一步影响。此外，我们还得到了Levin结果的推广。

关于$\mathbb{R}^d$中某些有限型域上格点的注记

A note on lattice points in certain finite type domains in $\mathbb{R}^d$

研究了某些特殊的高维有限型域的指示函数的傅里叶变换，得到了相应的格点差的估计。

关于最佳逼近与一致逼近的差异

On the discrepancy between best and uniform approximation

对于超越实数$ζ$，我们考虑经典丢番图指数$w_{n}(ζ)$和$\widehat{w}_{n}(ζ)$ .它们分别针对任意大的和所有大的$X$，测量对于次数至多为$n$的整数多项式$P$和以$X$为界的初始高度，$| P(ζ)|$可以有多小。最近，指数$w_{n}(ζ)$和$\widehat{w}_{n}(ζ)$之间的差异引起了人们的兴趣。研究参数几何的数字，W。Schmidt和L. Summerer是第一个提炼平凡的不等式$w_{n}(ζ)\geq \widehat{w}_{n}(ζ)$的人。Y. Bugeaud和作者发现了另一个估计，条件是$w_{n}(ζ)>w_{n-1}(ζ)$成立。在本文中，我们建立了后者的结果的一个无条件的版本，它可以被视为一个适当的推广。不幸的是，新的贡献涉及一个额外的指数，只有在某些情况下才感兴趣。

On discrepancy, intrinsic Diophantine approximation, and spectral gaps

In the present paper we establish bounds for the size of the spectral gap for actions of algebraic groups on certain homogeneous spaces. Our approach is based on estimating operator norms of suitable averaging operators, and we develop techniques for establishing both upper and lower bounds for such norms. We shall show that this analytic problem is closely related to the arithmetic problem of establishing bounds on the discrepancy of distribution for rational points on algebraic group varieties. As an application, we show how to establish an effective bound for property $τ$ of congruence subg…

关于光滑凸体的格点照明

On lattice illumination of smooth convex bodies

针对光滑凸体的照明猜想，研究限制照明点为格点的有效变体，证明存在近邻格点集并给出最大距离显式界，对特殊格类改进界，方法基于数的几何。