Sharp $L^2$ estimate of Schrödinger maximal function in higher dimensions
我们证明了，对于$n\geq 3$，只要$s>\frac{n}{2(n+1)}$成立，则对于所有$f \in H^s (\mathbb{R}^n)$，$\lim_{t \to 0} e^{itΔ}f(x) = f(x)$几乎处处成立。由于Bourgain的一个反例，直到端点，这个结果是尖锐的，完全解决了Carleson提出的一个问题。我们的主要定理是一个分形$L^2$限制估计，它也改进了Schr dinger解的发散集的大小，Falconer距离集问题和分形测度的球平均Fourier衰减率.证明的关键成分包括多线性Kakeya估计，解耦和归纳尺度。
2019-03-13 math.AP math.CA
Falconer's problem for dot product on paraboloids
本文研究了抛物面紧子集的点积Falconer问题，通过将其重新表述为距离集变体并利用固定距离问题的最新成果，证明了在特定维数阈值下点积集具有正Lebesgue测度，从而降低了传统维数障碍。
2025-09-15 math.CA math.CO
A Delsarte Linear Programming Approach to the Erdős--Falconer Distance Problem over Finite Fields
Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）
引入Delsarte线性规划方法，证明对偶维有限域上非退化二次型，当点集大小≥C q^{n/2+1/3}时，距离集包含正比例元素，改进了Iosevich–Rudnev的指数(n+1)/2至n/2+1/3。
2026-06-29 math.CA math.CO
On radii of spheres determined by subsets of Euclidean space
本文考虑了$E\subset\R^d$的Hausdorff维数需要多大才能保证由$E$确定的$(d-1)$维球面的半径集具有正的Lebesgue测度.我们还研究了一个给定半径的邻域重复的频率。我们得到两个结果。首先，通过应用\cite{mul}研究Falconer型问题的一般机制，我们证明了一个给定半径的邻域不能重复比统计界更频繁，如果$\dH(E)>d-1+\frac{1}{d}$;在$\R^2$，尺寸阈值是尖锐的。其次，通过证明一个交定理，证明了对于a.ePDMATHABMS，中心由$a\in\R^d$确定的PDMATHAMN-球面的半径集必有正的Lebesgue测度，如果$\dH(E)>d-1$，这是该问题的一个严格界.
2013-04-19 math.CA
The $k$-resultant modulus set problem on algebraic varieties over finite fields
研究了有限域$\mathbb F_q$上$d$维向量空间$\mathbb F_q^d$中的$k$结式模集问题.给定$E\subset \mathbb F_q^d$和一个整数$k\ge 2$，$k$ -结果模数集，用$Δ_k(E)$表示，定义为$$ Δ_k(E)=\{\|x^1\pm x^2 \pm \cdots \pm x^k\|\in \mathbb F_q: x^j\in E, ~j=1,2,\ldots, k\},$$，其中$\|α\|=α_1^2+\cdots+ α_d^2$用于$α=(α_1, \ldots, α_d) \in \mathbb F_q^d.$在这种设置中，$k$ -结果模数集问题是确定$E\subset \mathbb F_q^d$的最小基数，使得$Δ_k(E) = \mathbb F_q$或$\mathbb{F}_q^*$ .这个问题是Erdens-Falconer距离问题的一个扩展。特别是，我们调查的$k$ -结式模集问题的限制，集合$E\subset \mathbb F_q^d$包含在一个特定的代数簇。能量估计在我们的证明中起着至关重要的作用。
2015-08-11 math.CA math.CO
L^3 estimates for an algebraic variable coefficient Wolff circular maximal function
在1997年，托马斯·沃尔夫证明了他的圆极大函数的$L^3$界，在1999年，Kolasa和沃尔夫证明了一些非尖锐的$L^p$不等式，用于更广泛的一类极大函数，这些极大函数来自$\{Φ(x,\cdot)=r\}$形式的曲线，其中$Φ(x,y)$满足Sogge的电影曲率条件。在$Φ$是代数的假设下，我们得到了相应极大函数的一个精确的$L^3$界.由于函数$Φ(x,y)=|x-y|$是代数的且满足电影曲率条件，我们的结果推广了Wolff的$L^3$界.代数性条件允许我们采用的技术，垂直胞腔剖分和随机抽样，这已被广泛发展的计算几何文献。
2013-08-01 math.CA
On Fourier decay and the distance set problem
University of St Andrews（圣安德鲁斯大学）；Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）
本文研究欧几里得空间中的Falconer距离集问题，基于傅里叶分析假设改进了维度估计，在d≥5时超越d/2维度阈值，证明了傅里叶维度至少为2的Borel集的距离集具有满Hausdorff维度。
2026-04-21 math.CA math.CO
On the finite field spherical restriction conjecture in four dimensions: the sharp endpoint and applications
Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与 interdisciplinary 科学研究院）；Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学数学科学研究所）
本文引入水平切片和平面-直线停止时间分解方法，通过将每个临界水平切片分解为富平面、富直线-贫平面和贫直线-贫平面分量，克服了球面Bochner-Riesz核中的Kloosterman障碍，证明了对于每个非零球面S_j和每个r>23/7，有R_{S_j}^*(2→r)≲1，从而在四维素数域Erdős-Falconer距离问题中首次改进了二十年前的(d+1)/2阈值。
2026-09-22 math.CA math.CO math.NT
Pinned distance sets, Wolff's exponent in finite fields and improved sum-product estimates
在有限域上的向量空间中的Falconer距离问题的一个类似物要求阈值$α>0$，使得当$|E| \gtrsim q^α$时，$|Δ(E)| \gtrsim q$，其中$E \subset {\Bbb F}_q^d$，有限域上的$d$维向量空间，具有$q$元素（不一定是素数）。这里是$Δ(E)=\{{(x_1-y_1)}^2+...+{(x_d-y_d)}^2: x,y \in E\}$。第二个列出的作者和Misha Rudnev建立了阈值$\frac{d+1}{2}$，本文的作者Doowon Koh和Misha Rudnev证明了这个指数在偶数维中是尖锐的。本文在$E$具有乘积结构的假设下，将阈值改进为$\frac{d^2}{2d-1}$。特别地，我们得到了4/3的指数，与Wolff在欧氏空间中得到的相应指数一致。
2007-11-28 math.CA math.CO
Sharp Constants of Approximation Theory. II. Invariance Theorems and Certain Multivariate Inequalities of Different Metrics
证明了不同度量的一般不等式的不变性定理，并将其应用于$\R^m$中单位球面和单位球上代数多项式的多元Markov-Bernstein-Nikolskii型不等式中的尖常数与$\R^m$上球面型整函数的相应常数之间的极限关系.并讨论了一元加权空间中的某些关系。
2020-02-26 math.CA
Intersection patterns and connections to distance problems
University of Science, Vietnam National University（越南国立大学科学大学）；Discrete Mathematics Group, Institute for Basic Science（基础科学研究院离散数学组）
本文研究了有限域中交集现象与距离问题之间的联系，证明了在正交变换下交集大小的下界及距离问题的指数增长特性。
2025-11-26 math.CA math.CO math.NT
Restriction of averaging operators to algebraic varieties over finite fields
本文研究了有限域$\mathbb F_q$上$d$维向量空间的代数簇$V$的限制平均算子的$L^p\to L^r$估计.我们观察了$V\subset \mathbb F_q^d.$上的Fourier限制算子和平均算子的性质。因此，我们得到了关于$d\ge2,$维的球和抛物面以及$d\ge 3.$维的锥的限制平均问题的最优结果。另外，当簇$V$是$\mathbb F_q$上的一个偶数维向量空间中的锥，并且$-1$是$\mathbb F_q$中的一个平方数时，除了两个端点外，我们还得到了尖锐的估计。
2016-09-01 math.CA
Maximal directional operators along algebraic varieties
本文建立了沿任意维数多项式簇上有限方向集的极大方向平均算子的 $L^2$ 范数的尖锐增长阶，推广了 Córdoba、Katz 和 Demeter 的工作，并改进了球面情形的已知界，同时给出 Kakeya 型极大函数的新估计。
2020-08-17 math.CA
Maximal directional singular integrals
Università di Napoli “Federico II”（那不勒斯费德里科二世大学）；Universidad del País Vasco（巴斯克大学）
本文综述极大方向平均与方向奇异积分，探讨其与Kakeya–Nikodym现象、微分理论及Carleson算子的联系，以几乎正交性为统一工具，指出尖锐界的获得之处及需新思想的开放问题。
2026-10-05 math.CA
Near-optimal density theorems for large dilates of large point configurations
University of Zagreb（萨格勒布大学）
研究迫使可测集包含所有足够大相似拷贝的密度阈值，证明下界为1-O((log n)/n)，匹配已知上界，解决Falconer等人提出的问题，同时研究嵌入到ℓ^p空间中的情况，得到渐近精确的上界。
2026-04-20 math.CA math.CO math.NT
Asymptotically sharp Markov and Schur inequalities on general sets
$\left[-1,1\right]$上代数多项式的马尔可夫不等式已有一个多世纪的历史，它在逼近论中有着广泛的应用。它的渐近尖锐形式的工会的许多区间已发现，只有在2001年的第三作者。本文将这一渐近形式推广到满足区间条件的实直线的任意紧子集。用同样的方法，对这类集合给出了Schur不等式的一个尖锐的局部形式.
2015-09-24 math.CA math.CV
VC-dimension of Salem sets over finite fields
University of Georgia（佐治亚大学）
本文研究了有限域上Salem集的VC维数，通过扩展现有技术，提出了统一框架以分析结构化集合和随机集合。
2025-11-21 math.CA math.CO math.NT
Weighted Remez- and Nikolskii-Type Inequalities on a Quasismooth Curve
在复平面上，我们建立了代数多项式在Lavrentiev意义下的准光滑曲线上的精确的$L_p,1\le p<\infty$加权Remez型和Nikolskii型不等式.
2017-07-21 math.CA math.CV
Complexity-sensitive additive energy and off-diagonal Young inequalities on bounded-degree algebraic varieties
University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
该研究针对有界度实代数簇上的有限集合推导加性能量估计与加权杨不等式，还原Jing和Wu的直线集中定理，证明余维2二次三维簇的精确能量估计及Cushman-Demeter-Wu定理的转向复杂度扩展。
2026-08-20 math.CA math.CO math.NT
A Sharp Norm Inequality and Buzano's Inequality via Determinants
Rice University（莱斯大学）
本文通过线性代数方法证明了一个关于有限维空间中三种基本范数的尖锐不等式，并展示了该常数为最优。
2026-09-28 cs.LG math.CA math.HO
