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arXiv 1003.3822math.CV
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柯西变换与泊松方程

Cauchy transform and Poisson's equation

David Kalaj

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摘要：

令$u\in W^{2,p}_0$，$1\le p\le \infty$为单位圆盘中泊松方程$Δu = h$，$h\in L^p$的解。证明了对于$p=1$和$p=\infty$，$\|\nabla u\|_{L^p} \le a_p\|h\|_{L^p}$具有尖锐常数$a_p$;对于$p=1$，$p=2$和$p=\infty$，$\|\partial u\|_{L^p} \le b_p\|h\|_{L^p}$具有尖锐常数$b_p$.此外，还证明了对于$p>2$ $||\partial u||_{L^\infty}\le c_p\Vert h\Vert_{L^p} $和$||\nabla u||_{L^\infty}\le C_p\Vert h\Vert_{L^p}, $，当$c_p$和$C_p$为锐常数时，给出了光滑Jordan域的一个推广.这些问题等价于确定{Dirichlet问题的\it柯西变换}的$L^p$范数的精确值。

英文摘要：

Let $u\in W^{2,p}_0$, $1\le p\le \infty$ be a solution of the Poisson equation $Δu = h$, $h\in L^p$, in the unit disk. It is proved that $\|\nabla u\|_{L^p} \le a_p\|h\|_{L^p}$ with sharp constant $a_p$ for $p=1$ and $p=\infty$ and that $\|\partial u\|_{L^p} \le b_p\|h\|_{L^p}$ with sharp constant $b_p$ for $p=1$, $p=2$ and $p=\infty$. In addition is proved that for $p>2$ $||\partial u||_{L^\infty}\le c_p\Vert h\Vert_{L^p} $, and $||\nabla u||_{L^\infty}\le C_p\Vert h\Vert_{L^p}, $ with sharp constants $c_p$ and $C_p$. An extension to smooth Jordan domains is given. These problems are equivalent to determining the precise value of $L^p$ norm of {\it Cauchy transform of Dirichlet's problem}.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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