We analyze the exact ground state of XXZ zigzag spin chain with applied magnetic field and find the quantum critical surface. Using the theorem of positive semi-definite matrix, we can prove that the ground states for a specific region, are fully polarized state and one magnon states. With Bethe ansatz, we argue that this is the quantum critical surface in all cases. A first in the literature, we derive the analytical expression of quantum critical surface for superconducting quantum dots array in the presence of gate voltage.
最近在Pr $_{2}$ Ba $_{4}$ Cu $_{7}$ O $_{15-δ}$中发现了超导电性，其最大值$T_c$约为15K。由于这种材料中的CuO平面被认为是绝缘的，因此已经提出超导性发生在双（或锯齿形）CuO链层中。唯象的理由，我们提出了一个理论解释的实验结果在一个新的阶段的锯齿形链，标记为C $_1$ S $_{3/2}$。这个阶段有一个相对的自旋和电荷模式的间隙，但没有总的自旋间隙，并可以有一个发散的超导排斥相互作用的磁化率。提出了一个锯齿形CuO链的微观模型，并在此模型的密度矩阵重整化群（DMRG）和玻色化研究的基础上，给出了支持这一观点的证据.
Electronic States and Superconducting Transition Temperature based on the Tomonaga-Luttinger liquid in Pr$_{2}$Ba$_{4}$Cu$_{7}$O$_{15-δ}$
NQR实验揭示了Pr $_2$ Ba $_4$ Cu $_7$ O $_{15-δ}$（Pr 247）在CuO双链层上实现的超导电性，并提出了新的一维（1D）超导电性的可能性。为了阐明一维超导的本质，我们用广义梯度近似（GGA）计算了Pr 247的能带色散。这表明CuO双链的费米面可以很好地描述准一维体系的电子结构。假设锯齿形Hubbard链模型是一个有效的模型的系统，我们推导出紧约束的参数模型从拟合GGA的结果。基于Tomonaga-Luttinger液体理论，由Luttinger液体参数$K_ρ$的计算值估算了准一维锯齿形Hubbard模型的相变温度（$T_c$）. $T_c$的结果与Pr 247的实验结果一致，表明超导电性的机制在Tomonaga-Luttinger液体的概念内得到了很好的理解。
