The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 7: Elementary examples
经典积分表I。S.我和格拉德施泰因。M. Ryzhik包含一些初等积分。我们讨论他们的评价。
2007-07-14 math.CA
The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 14: An elementary evaluation of entry 3.411.5
给出了Gradshteyn和Rhyzik积分表中一个条目的初等证明。
2010-04-14 math.CA
An explicit formula for the coefficients in Laplace's method
拉普拉斯方法是积分渐近逼近的基本方法之一。出现在所得到的渐近展开中的系数，作为以隐式形式定义的函数的收敛或渐近级数的系数而出现。由于这些系数的计算繁琐，大多数关于积分渐近近似的标准教科书都没有给出它们的显式公式。然而，我们可以在文献中找到一些或多或少的系数的显式表示：Perron公式用显式函数的导数给出它们; Campbell，Fröman和Walles通过使用显式递归关系计算这些导数来简化Perron的方法。最近的贡献是由于Wojdylo，他重新发现了坎贝尔，弗罗曼和瓦勒斯公式，并将其改写为部分普通贝尔多项式。在本文中，我们提供了一个替代的表示的系数，其中包含普通的潜在多项式。证明是基于Perron的公式和孔泰定理。作为例子，给出了伽玛函数和不完全Γ函数的渐近展开式.
2013-04-04 math.CA
Elementary proofs of one weight norm inequalities for fractional integral operators and commutators
给出了分数次积分算子和分数次积分算子的单权范数不等式的新的初等证明。我们的证明是基于机器的二进网格和稀疏运营商在A2猜想的证明。
2015-07-09 math.CA
Evaluation of some non-elementary integrals involving sine, cosine, exponential and logarithmic integrals: Part II
非初等积分$\mbox{Si}_{β,α}=\int [\sin{(λx^β)}/(λx^α)] dx,β\ge1,α>β+1$和$\mbox{Ci}_{β,α}=\int [\cos{(λx^β)}/(λx^α)] dx, β\ge1, α>2β+1$，其中$\{β,α\}\in\mathbb{R}$，根据超几何函数$_{2}F_3$来计算。另一方面，指数积分$\mbox{Ei}_{β,α}=\int (e^{λx^β}/x^α) dx, β\ge1, α>β+1$用$_{2}F_2$表示。用于评估这些积分的方法包括扩展的被积函数作为泰勒级数和集成的系列项。
2018-06-29 math.CA
Fourier transform inversion using an elementary differential equation and a contour integral
设$f$为实数直线上的函数。在$f$是绝对连续的，使得$f$和$f'$是Lebesgue可积的假设下，证明了傅里叶变换反演定理.函数$g$由$f'(t)-iwf(t)=g(t)$定义。该微分方程具有公知的使用Heaviside阶梯函数的积分解。用留数的初等计算将Heaviside阶梯函数写成简单的围道积分。其余的证明需要对积分进行初等处理。因此，傅里叶变换反演定理证明与很少的机器。只有微小的变化的方法也被用来证明反演定理的职能的几个变量和证明黎曼的本地化定理。
2018-08-13 math.CA
Evaluation of the non-elementary integral $\int e^{λx^α} dx, α\ge2$, and other related integrals
利用合流超几何函数$_1F_1$，得到了非初等积分$\int e^{λx^α} dx$的一个公式，其中$\int e^{λx^α} dx$为大于等于2的实数.这一结果是通过直接评估下的面积高斯贝尔曲线，对应于$α= 2$，使用合流超几何函数和微积分基本定理（FTC）的渐近表达式进行验证。对于这些积分$\int \cosh(λx^α)dx$、$\int \sinh(λx^α)dx$、$\int \cos(λx^α)dx$和$\int \sin(λx^α)dx$、$λ\in \mathbb{C}, α\ge2$中的每一个，获得了两个不同但等价的表达式，一个是融合超几何函数$_1F_1$的表达式，另一个是超几何函数$_1F_2$的表达式。超几何函数$_1F_2$用合流超几何函数$_1F_1$表示。给出了非初等积分$\int e^{λx^α}dx,α\ge2$在高斯分布、Maxwell-Bortsman分布等方面的应用。
2018-07-01 math.CA
An elementary proof of the meromorphy of the integral of f^z for real-analytic f
Atiyah和Bernstein/Gelfand关于标题主题的一个结果的证明完全依赖于作者最近的奇点的初等奇点的分解算法。
2007-02-02 math.CA math.CV
Evaluation of some non-elementary integrals involving sine, cosine, exponential and logarithmic integrals: Part I
用超几何函数$_{1}F_2$和$_{2}F_3$计算了非初等积分$\text{Si}_{β,α}=\int [\sin{(λx^β)}/(λx^α)] dx,β\ge1,α\leβ+1$和$\text{Ci}_{β,α}=\int [\cos{(λx^β)}/(λx^α)] dx, β\ge1, α\le2β+1$，其中$\{β,α\}\in\mathbb{R}$，并导出了它们的渐近表达式.形式为$\int [\sin^n{(λx^β)}/(λx^α)] dx$和$\int [\cos^n{(λx^β)}/(λx^α)] dx$的积分，其中$n$是正整数，用$\text{Si}_{β,α}$和$\text{Ci}_{β,α}$表示，然后计算。$\text{Si}_{β,α}$和$\text{Ci}_{β,α}$也评价的超几何函数$_{2}F_2$。因此，超几何函数$_{1}F_2$和$_{2}F_3$用$_{2}F_2$表示，指数积分$\text{Ei}_{β,α}=\int (e^{λx^β}/x^α) dx$（其中$β\ge1$和$α\leβ+1$）和对数积分$\text{Li}=\int_μ^{x} dt/\ln{t}, μ>1$也用$_{2}F_2$表示，并研究了它们的渐近表达式.发现对于$x\ggμ$，$\text{Li}\sim {x}/{\ln{x}}+\ln{\l…
2018-06-29 math.CA
Bipartite Chebyshev polynomials and elliptic integrals expressible by elementary functions
本文研究多项式$g(x)$，它的图形在两条水平切线之间是“部分填充的”.我们假设$g(x)$的大部分局部极大值点在第一条水平线上，而大部分局部极小值点在第二条水平线上，除了几个“例外”的极大值点或极小点，它们分别位于两条线的上方或下方。另外，$g(x)$的次数正好是所有极值点$+1$的个数.然后我们称$g(x)$为与这两条直线相关的多部切比雪夫多项式。在一定条件下，证明了$g(x)$可表示为切比雪夫多项式与由$g(x)$的例外极值点的$x$分量数据和$g(x)$与两条直线的交点所定义的多项式的复合.特别地，我们详细地研究了只有一个例外点的二部切比雪夫多项式，并讨论了这类多项式与椭圆积分之间的联系。
2019-04-08 math.CA
Evaluation of some non-elementary integrals involving the generalized hypergeometric function with some applications
本文用包含广义超几何函数的无穷级数来计算不定积分$$ \int x^αe^{ηx^β}\,_pF_q (a_1, a_2, \cdot\cdot\cdot a_p; b_1, b_2, \cdot\cdot\cdot, b_q; λx^γ)dx, $$，其中$α, η, β, λ, γ\ne0$是实常数或复常数，$_pF_q$是广义超几何函数.指数函数$e^{ηx^β}$被双曲函数$\cosh\left(ηx^β\right)$或$\sinh\left(ηx^β\right)$，或正弦函数$\cos\left(ηx^β\right)$或$\sin\left(ηx^β\right)$代替的相关积分，也被评价为涉及广义超几何函数$_pF_q$的无穷级数。给出了应用分析中的一些应用实例，其中计算了一些新的Fourier和Laplace积分（或变换）。Orr-Sommerfeld方程（具有线性平均流背景）在短波极限下的解析解表示为包含超几何级数$_2F_3$的无穷级数。利用双曲恒等式和Euler恒等式，导出了指数函数、双曲函数、三角函数和广义超几何函数的一些有趣的级数恒等式.
2020-05-26 math.CA
Resolution of singularities, asymptotic expansions of oscillatory integrals, and related phenomena
进一步发展了作者的早期论文（math.CA/0609217）中的奇点的基本奇点的分解算法，用矩形乘以光滑函数的特征函数代替了爆炸坐标中的准凸函数。作为应用，给出了振荡积分及相关对象的渐近展开的存在性的初等证明。此外，给出了关于这些扩展的一些更详细的信息。
2008-09-21 math.CA
An elementary approach to integral inequalities involving higher order derivatives
受二阶和四阶微分算子分解工作启发，本文通过初等手段证明了一个涉及高阶导数的一般积分不等式，推广了Hardy改进势和Bessel对概念，并给出了众多可由该方法证明的不等式示例。
2025-09-18 math.CA math.SP
A direct computation of a certain family of integrals
我们提出了一个相当初等的方法来计算射线上的某类积分，这类积分依赖于整数参数$n\geq q\geq 1$。
2020-11-28 math.CA
A Concise, Elementary Proof of Arzelà's Bounded Convergence Theorem
Arzelà的有界收敛定理（1885）指出，如果一列黎曼可积函数在一个闭区间上是一致有界的，并且有一个可积的逐点极限，那么它们的积分序列趋向于该极限的积分。它是测度论的一个平凡的推论。然而，否认自己这一机制将这一直观的结果变成一个令人惊讶的困难的问题;事实上，证明首先提供的阿尔泽拉和豪斯多夫是漫长的，困难的，并包含差距。此外，尽管结果的自然性和适用性，但大多数介绍性分析文本都省略了证明。在这里，我们提出了一个新的论点，适合消费的新生。
2014-08-06 math.CA
Jacob's ladders and the tangent law for short parts of the Hardy-Littlewood integral
Jacob阶梯\cite{7}的初等几何性质导出了Hardy-Littlewood积分短部分的一类新公式。这类公式不能用Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic的方法得到。
2010-02-04 math.CA
Quasi-exactly solvable quartic: elementary integrals and asymptotics
本文研究了算子L（y）=y”+Py的初等本征函数y= pexp（h），其中p，h和P是一元多项式.当h是一个奇三次多项式的情况下，我们发现了一个有趣的身份，这是用来描述的谱轨迹。我们还建立了QES谱轨迹的一些渐近性质。
2011-04-27 math-ph math.CA math.MP
The Cauchy-Schlomilch transformation
柯西-施勒米尔希变换指出，对于函数$f$和$a, \, b > 0$，$f(x^{2})$和$af((ax-bx^{-1})^{2}$在区间$[0, \infty)$上的积分相同。这个初等结果被用来计算许多非初等的定积分，其中大多数不能通过符号包获得。应用概率分布也给出。
2010-04-14 math.CA
Bounded convergence theorem for abstract Kurzweil-Stieltjes integral
在勒贝格积分理论和常微分方程理论中，勒贝格控制收敛定理是应用最广泛的工具之一。在Riemann或Riemann-Stieltjes积分中可用的类比是有界收敛定理，有时也称为Arzela或Arzela-Osgood或Osgood定理。在设置的Kurzweil-Stieltjes积分的实值函数，它的证明可以得到一个轻微的修改证明的杨-Stieltjes积分的希尔德布兰特在他的专着从1963年。然而，很明显，希尔德布兰特的证明不能推广到巴拿赫空间值函数的情况。此外，它基本上利用了Arzela引理，这并不适合太多的小学教科书。本文给出了抽象Kurzweil-Stieltjes积分有界收敛定理在集合初等中的尽可能多的证明。
2014-12-12 math.CA
On an integral identity
本文给出了一个很好的定积分等式的三个初等证明，它源于二元超几何函数的理论，并与数论中的无理性证明有关.此外，我们提供了一个推广与一个同样基本的证明，并讨论了一些后果。
2020-02-25 math.CA math.NT
Jacob's ladders and the multiplicative asymptotic formula for short and microscopic parts of the Hardy-Littlewood integral
雅各布阶梯的基本几何性质导致一类新的渐近公式的短期和微观部分的Hardy-Littlewood积分。这类渐近公式不能用Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic的方法得到。
2009-07-02 math.CA
A simple proof of the Fundamental Theorem of Calculus for the Lebesgue integral
本文给出了勒贝格积分的微积分基本定理的一个新的初等证明。我们的证明最难的部分只是涉及在${\rm L}^1$的收敛性的一定序列的阶梯函数，我们证明它只使用基本元素从勒贝格积分理论。
2012-03-07 math.CA
Short proofs of the elliptic beta integrals
给出了以$|q|, |p|<1$为基的一元椭圆型Beta积分的初等证明及其对$A_n$和$C_n$根系上积分的多参数推广.我们还证明了一些新的单位圆重椭圆β积分，这是很好地定义为$|q|=1$，和他们的$p\to 0$退化。
2005-07-28 math.CA
Integral representations of the Legendre chi function
利用初等变元推导出Legendre chi函数$χ_{s}(x)$对$|z|<1$和$\Re(s)>1$有效的整表示.我们早先建立的关于黎曼ζ函数$ζ(2 n+1)$和Dirichlet β函数$β(2 n)$，$ n\in\mathbb{N}$的整表示的结果是这些表的直接结果。
2009-11-29 math.CA
Finding Elementary First Integrals for Rational Second Order Ordinary Differential Equations
本文给出了求二阶有理常微分方程初等首次积分的一个算法。在\cite{PS2}中，我们提出了处理SOODE的第一种算法方法，介绍了目前工作的基础。在\cite{royal}中，作者使用这些结果，并开发了一种方法来处理SOODE和分类。我们目前的算法是基于一个更坚实的理论基础（许多定理），并涵盖了更广泛的家庭SOODE比以前，因为我们不工作与限制的Anonymous。此外，我们目前的方法允许一个简单的可积性分析的SOODE和更快的实际计算。
2005-07-29 math-ph math.CA math.MP
Jacob's ladders and the asymptotic formula for short and microscopic parts of the Hardy-Littlewood integral of the function $|ζ(1/2+it)|^4$
利用二阶Jacob阶梯的基本几何性质，导出了$|ζ(1/2+it)|^4$的Hardy-Littlewood积分的短部分和微观部分的一类新的渐近公式.这些公式不能用Balasubramanian，Heath-Brown和Ivic的方法得到。
2010-01-22 math.CA
On the change of variables formula for multiple integrals
本文给出了多重积分中变量变量变换的一个初等证明。我们的证明是基于归纳论证。在（m-1）-积分公式的假设下，定义了Rm中超曲面上的积分，建立了发散定理，并利用发散定理证明了m-积分公式。除了它的简单性，我们的方法的一个优点是，它产生的布劳威尔不动点定理作为一个推论。
2017-05-15 math.CA
Elementary Integral Series for Heun Functions. With an Application to Black-Hole Perturbation Theory
Heun微分方程是最一般的具有四个正则奇点的二阶Fuchsian方程。显式积分级数表示的Heun函数只涉及初等被积函数迄今为止是未知的，并指出作为一个重要的公开问题，在最近的审查。我们提供显式积分表示的Heun类的所有方程的解决方案：一般，合流，双合流，双合流和triconfluent，与积分只涉及有理函数和指数被积。所有系列都有具体的使用示例。这些结果源于技术的路径和，我们用它来评估的路径有序指数的变量矩阵选择专门产生Heun功能。我们证明了效用的积分系列的Teukolsky径向方程的解决方案的第一个代表性的度量扰动旋转黑洞，是收敛的地方从黑洞地平线到空间无穷大。
2020-10-08 gr-qc math-ph math.CA
A semi-algorithm to find elementary first order invariants of rational second order ordinary differential equations
本文提出了一种基于Darboux型程序\cite{ManMac,firsTHEOps1,secondTHEOps1}求二阶有理常微分方程初等首次积分的方法。除了实际的计算考虑，该方法将能够告诉我们（达到一定的多项式次数），如果SOODE有一个基本的第一积分，并在积极的情况下，通过求积找到它。
2005-06-14 math-ph math.CA math.MP
Some integral inequalities for α-, m-, (α,m)-logarithmically convex functions
本文对不等式绝对值为α-，m-，（α，m）-代数凸的函数，利用初等不等式建立了几个新的Hadamard型不等式.
2013-01-28 math.CA math.FA
Reduction of Elementary Integrability of Polynomial Vector Fields
本文推广 Prelle-Singer 结果，证明任意 $n$ 维初等可积多项式向量场具有 $n-1$ 个由代数元素构成的函数独立第一积分，并借助 Galois 理论得到有理 Jacobian 乘子。
2024-12-06 math.CA math.DS math.GR
