Jacobi operators of quantum counterparts of three-dimensional real Lie algebras over the harmonic oscillator
E. Paal, J. Virkepu
利用谐振子的运算Lax表示构造了三维实李代数的量子对应。这些量子代数的Jacobi算子的显式计算。
Operadic Lax representations for the harmonic oscillator are used to construct the quantum counterparts of three-dimensional real Lie algebras. The Jacobi operators of these quantum algebras are explicitly calculated.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Phase coherent states with circular Jacobi polynomials for the pseudoharmonic oscillator
用带参数“gamma”的圆Jacobi多项式代替正则相干态的标号系数，构造了一类以单位圆上的点为指标，依赖于三个正参数“gamma”，“alpha”和“alpha”的广义相位相干态.特殊情况“gamma”= 0对应于众所周知的相位相干相位状态。所构造的态是依赖于α的单参数赝谐振子本征态的叠加，并在极限“α”->0+处求解了态希尔伯特空间的恒等式。在“alpha”=“gamma”+ 1的情况下，得到了它们的波函数的封闭形式，并定义了相应的相干态变换。
Jacobi multipliers, non-local symmetries and nonlinear oscillators
利用几何形式导出了一族相关非线性振子的运动常数、拉格朗日量和哈密顿量。雅可比最后乘子的理论允许我们找到运动的拉格朗日描述和常数。本文的第二部分给出了微分方程对称性的喷束公式的一个应用。在简要回顾了一般形式主义之后，利用扩展的形式主义详细研究了非局部对称性的特殊情况。这个理论与Krasil'shchi，Vinogradov和他的同事以前得到的一些结果有关。最后证明了这两个非线性振子的非局部对称性的存在性。
Rational extension and Jacobi-type {\boldmath{$X_m$}} solutions of a quantum nonlinear oscillator
我们构造了一个最近研究的非线性量子振子模型的有理扩展。我们的扩展模型保留精确的可解性，承认离散谱和相应的封闭形式的解决方案，通过Jacobi型$X_m$特殊的正交多项式表示。
Lagrangians for dissipative nonlinear oscillators: the method of Jacobi Last Multiplier
我们提出了一种方法设计的雅可比推导拉格朗日的任何二阶微分方程：它包括在寻找雅可比最后乘子。我们说明了容易和权力的Jacobi的方法，将其应用到几个方程，也是一类方程研究Musielak与他自己的方法[Musielak ZE，标准和非标准拉格朗日耗散动力系统的变系数。J.物理. A：数学.理论. 41（2008）055205（17pp）]，并且具体地涉及Liènard型非线性振荡器和二阶Riccati方程。
Energy spectra of Hartmann and ring-shaped oscillator potentials using the quantum Hamilton-Jacobi formalism
在目前的工作中，我们应用精确的量子化条件，引入的框架内的Padgett和Leacock的量子Hamilton-Jacobi形式主义，角度和径向量子作用变量的上下文中的哈特曼和环形振荡器的潜力是可分离的和非中心的。精确地得到了两个体系的能谱。
Quantum counterparts of 3d Lie algebras over harmonic oscillator
利用谐振子的运算Lax表示构造了三维实李代数的量子对应。计算了相应量子代数的雅可比行列式。
Jacobi last multiplier and two-dimensional superintegrable oscillators
本文研究 Jacobi 最后乘子在二维振子中的作用，证明单位质量可分离振子存在第三个首积分而超可积，并发现位置相关质量振子及 Bateman 对（虽不可分离）仍具超可积性。
Quantum isotonic nonlinear oscillator as a Hermitian counterpart of Swanson Hamiltonian and pseudo-supersymmetry
在伪超对称的思想下，我们研究了一个非厄米哈密顿量$H_{-}=ω(ξ^† ξ+\1/2)+αξ^{2}+βξ^{†2}$，其中$α\neq β$和$ξ$是一阶微分算子，得到了作为非厄米哈密顿量$H_{\pm}$的厄米等价的伙伴势$V_{+}(x)$和$V_{-}(x)$，它们分别是新的保序和保序非线性振子.本文提供了一种代数方法来获得非线性同调振子的谱和波函数。在已知的参数限制下，得到了Swanson哈密顿量的Hermitian对应$V_{-}(x)$的解，并检验了纠缠算子是否满足$η_{1} H_{-}=H_{+} η_{1}$，其中$η_{1}=ρ^{-1} \mathcal{A} ρ$和$\mathcal{A}$是分解$H_{\pm}$的Hermitian等价的一阶微分算子.
Quantum counterparts of VII$_{a}$, III$_{a=1}$, VI$_{a\neq1}$ over harmonic oscillator
利用谐振子的运算Lax表示构造了一些实三维李代数的量子对应。在半经典近似下研究了这些量子代数的Jacobi算子。
Spectral analysis of non-commutative harmonic oscillators: the lowest eigenvalue and no crossing
研究了非对易谐振子$Q$的最低本征值。证明了$Q$可分解为四个自伴算子，且每个算子的特征值都是单的.我们证明了$Q$的最低特征值$E$是简单的。进一步给出了$Q$的Jacobi矩阵表示，并对$Q$的谱进行了数值研究.
Cosymplectic and contact structures to resolve time-dependent and dissipative hamiltonian systems
在本文中，我们应用几何Hamilton-Jacobi理论，以获得解决方案的经典哈密顿系统，无论是兼容的共辛或接触结构。众所周知，第一种结构在含时哈密顿理论中起着核心作用，而第二种结构在这里用于处理包括耗散项的经典哈密顿。几何Hamilton-Jacobi方程的有趣之处在于原始的观察：如果一个哈密顿向量场$X_{H}$可以通过一个1-形式$dW$投影到一个位形流形上，那么投影向量场$X_{H}^{dW}$的积分曲线可以变换为$X_{H}$的积分曲线，只要$W$是Hamilton-Jacobi方程的解.在这种方式中，我们使用几何Hamilton-Jacobi理论导出的物理系统的解决方案与时间相关的哈密顿制定或包括耗散条款。在共辛流形和切触流形上得到了几何Hamilton-Jacobi方程的新的显式表达式。这些方程后来被用来解决包含明确的时间依赖性的物理例子，因为它是一个一维三角系统的情况下，和二维非线性振荡器的Winternitz-Smorodinsky振荡器。对于明确的耗散行为，我们解决了一维阻尼振荡器的例子。
On the nodes of wave function and the quantum Hamilton-Jacobi solution
给出了定态量子HamiltonJacobi方程的解析解。我们利用Riccati方程与量子Hamilton-Jacobi方程之间的强联系，提出了一种求精确解的简单方法。然后，为了证明所提出的方法的有效性，我们使用了两个中心势：三维谐振子和库仑势，都有束缚态。最后，我们计算的作用角变量在一个完全量子的版本，以实现与节点的波函数。
Oscillatory behavior of large eigenvalues in quantum Rabi models
研究了一类由具有离散谱的无穷Jacobi矩阵定义的无界自伴算子的$n$阶特征值的大$n$渐近性.在量子拉比模型的情况下，我们得到的前三项的渐近确定模型的参数。本文是在前人文献[5]的基础上进行的完善和改进。
Generalized Prüfer variables for perturbations of Jacobi and CMV matrices
普吕弗变量是谱理论中的标准工具，最初是为自由薛定谔算子的微扰而开发的。它们被基谢廖夫、雷姆林和西蒙推广到任意薛定谔算子的扰动。我们适应这些广义Prufer变量的Jacobi和SzegIgnrecursions的设置。我们提出了一个应用程序的随机$L^2$扰动的Jacobi和CMV矩阵，和应用程序的周期Jacobi和CMV矩阵的衰减振荡扰动。
On realizations of polynomial algebras with three generators via deformed oscillator algebras
我们提出了最一般的多项式李代数所产生的二阶积分的运动和一个阶M，构造Casimir算子，并显示如何Jacobi恒等式提供了一个实现变形振子代数的存在。我们还提出了最一般的多项式Poisson代数的这种建设的经典模拟。两个特定的类，这样的多项式代数进行了讨论，包括各种二维超可积系统观察到的对称代数。
On the dimensions of oscillator-like algebras induced by orthogonal polynomials: non-symmetric case
在实直线上，每一类正交多项式$\{Ψ_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$都对应一个广义类代数，满足四项非对称递归关系$xΨ_n(x)=b_nΨ_{n+1}(x)+a_nΨ_n(x)+b_{n-1}Ψ_{n-1}(x),~Ψ_0(x)=1,~b_{-1}=0$。本文给出了关于$a_n$和$b_n$的有限维代数的充要条件。作为例子，我们讨论了与Laguerre多项式和Jacobi多项式相关的类代数的维数。
Poly-Jacobi Manifolds: the Dimensioned Approach to Jacobi Geometry
用线丛上的微分算子表示的雅可比流形的标准公式，虽然能有效地捕捉大多数相关的几何特征，但缺乏一个清晰的代数解释，类似于泊松代数被理解为泊松流形的代数对应物。基于作者最近发展的维数代数技术，我们提出了一种形式化方法，将Jacobi流形的代数对应物捕获为维数Poisson代数。特别地，我们给出了线丛和Jacobi流形的函子$\text{C}^\infty:\textsf{Smooth}\to \textsf{Ring}$的推广，证明了Jacobi流形的余迷向约化提供了维数Poisson代数代数约化的一个例子，并讨论了Jacobi流形的积与其相应维数Poisson代数的张量积之间的关系.这些结果激发了多线丛范畴的定义，定义为同一基流形上的线丛的集合，并相应地将Jacobi结构推广到这种情况下，即所谓的多Jacobi流形。我们提出了一些关于这些概括的初步结果，并讨论了未来潜在的研究路线。这项研究的一个有趣的结果是几何力学和量纲分析之间的某种令人惊讶的联系。这是建议的事实，如果一个相空间是一个多雅可比流形，可观的-这是尺寸模拟的实值函数-进行自然的部分加法和总乘法结构相同的通常代数的物理量在量纲分析。
Harmonic Oscillator on the ${\rm SO}(2,2)$ Hyperboloid
本文在Hamilton-Jacobi方程的框架下，完全解决了双曲空间$H_2^2$：$z_0^2+z_1^2-z_2^2-z_3^2=R^2$中谐振子的经典问题.我们证明了$H_2^2$上的谐振子与其它常曲率空间一样，是精确可解的，并且属于极大超可积系统类.证明了所有有界经典轨线都是闭的周期轨线。有界运动的轨道为椭圆或圆，无限长运动的轨道为超椭圆或等距曲线。
Rational extensions of an oscillator-shaped quantum well potential in a position-dependent mass background
本文通过点正则变换将位置依赖质量的振子形量子阱模型与常数质量Scarf I势联系起来，并利用$X_1$-Jacobi例外正交多项式构造了具有相同能谱的有理扩展模型，同时讨论了$X_2$-Jacobi情形。
Exact Solution of the Relativistic Dunkl Oscillator in $(2+1)$ Dimensions
本文研究了耦合到外磁场中的$(2+1)$维Dirac-Dunkl振子。我们的哈密顿量是从标准狄拉克振荡器耦合到一个外部磁场通过改变偏导数的Dunkl导数。我们在极坐标系中以封闭形式求解Dunkl-Klein-Gordon型方程。角部特征函数用Jacobi-Dunkl多项式表示，径向函数用Laguerre函数表示。同时，我们计算了这个问题的能谱，并表明，在非相对论极限下，它适当地归结为二维谐振子的哈密顿量。
The Dunkl oscillator in three dimensions
考虑三维欧氏空间中各向同性Dunkl振子模型。利用一维Dunkl振子的动力学sl_{-1}（2）代数的升/降算子，通过Schwinger构造得到了系统的对称性.由运动常数生成的不变性代数，u（3）的带反射的扩展，称为Schwinger-Dunkl代数sd（3）。该系统示出承认分离的变量在笛卡尔，极（柱）和球坐标和相应的分离的解决方案表示在广义Hermite，Laguerre和Jacobi多项式。
Dynamical deformations of three-dimensional Lie algebras in Bianchi classification over the harmonic oscillator
利用谐振子的运算Lax表示构造了Bianchi分类下三维实李代数的动力学变形.证明了谐振子的能量守恒与动力变形代数的雅可比恒等式有关。基于这一观察，证明了谐振子上Bianchi分类中的三维实李代数的动力学变形是李代数。
The Dunkl oscillator in the plane I : superintegrability, separated wavefunctions and overlap coefficients
研究了平面内各向同性Dunkl振子模型。该模型是由两个独立的抛物声波振子的组合构造的哈密顿定义。该系统是超可积的，它的对称性生成元是通过使用抛物声子产生/湮灭算子的Schwinger构造得到的。由运动常数生成的代数，我们称之为Schwinger-Dunkl代数，是李代数u（2）的对合扩张。该系统允许分离的变量在笛卡尔坐标和极坐标。分离后的波函数分别表示为广义厄米多项式和雅可比与拉盖尔多项式的乘积。此外，所谓的雅可比-邓克尔多项式作为负责极坐标中变量分离的对称算子的本征函数出现。笛卡尔基和极基之间的展开系数（重叠系数）作为对偶哈恩多项式的线性组合给出。说明了sl_{-1}（2）代数与Clebsch-Gordan问题的联系。
Exact solution of the position-dependent mass Schrödinger equation with the completely positive oscillator-shaped quantum well potential
本文提出两个完全正振子型量子阱的精确可解模型，求解位置依赖质量薛定谔方程，发现单侧无限高壁约束时能谱等间距、双侧约束时非等间距，波函数由 Laguerre 和 Jacobi 多项式表示。
Lie symmetries, Jacobi last multipliers and new non-standard Lagrangians for dissipative dynamical systems
我们提出了一种新的方法的基础上李对称性和雅可比最后乘子，它允许一个找到许多非标准拉格朗日耗散动力系统。特别是，它表明，对于每一个非标准拉格朗日可以生成一个新的非标准拉格朗日相关联的一个新的运动方程。我们指出，一个给定的动力系统的Lie对称性的知识产生的Jacobi最后乘子，可以用来获得新的非标准拉格朗日耗散动力系统在一个简单和直接的方式。我们将新方法推广到自由粒子和简谐振子的情形，得到了耗散系统的新的非标准拉格朗日量。
Algebraic properties of three-four dimensional anisotropic oscillator potentials through Hamiltonian chains
在这项工作中，哈密顿链的概念，提出了适用于各向异性振子势，特别是定义在三维和四维欧氏空间。一个哈密顿链是一个超可积的哈密顿量序列，此外，它还构成了一个新的超可积系统的运动积分。随着泊松代数链的量子对应物以及链的每个成员的特征值。该方法可以扩展到覆盖n维的情况。
Entropy and entanglement in a bipartite quasi-Hermitian system and its Hermitian counterparts
本文研究准厄米量子振子-热库系统对应的厄米系统中熵与纠缠的普适性质，证明熵的振荡周期与幺正参数W无关，且纠缠量在周期平均下也与W无关。
Eigenvalues for perturbed periodic Jacobi matrices by the Wigner-von Neumann approach
Wigner-von Neumann方法，这是以前用于扰动连续薛定谔算子，在这里适用于他们的离散同行。特别地，我们考虑任意$T$ -周期Jacobi矩阵的扰动。下属的解决方案的渐近行为进行了调查，也是他们的初始组件，一起给出了一个一般的技术嵌入特征值，$λ$，到运营商的绝对连续谱。引入一个新的有理函数$C(λ;T)$，它与周期Jacobi矩阵有关，我们描述了交流矩阵的元素。这种构造不起作用的频谱（$C(λ;T)$的零）;特别是表明它们中只有1000个。
Fractional Classical Mechanics
分数阶经典力学是作为分数阶量子力学的经典对应物而引入和发展的。在分数阶经典力学中实现了Lagrange、Hamilton和Hamilton-Jacobi框架。介绍了分数阶经典力学的拉格朗日量，得到了其运动方程。提出了分数阶振子模型，并在一维情况下进行了求解。建立了一个新的分数阶经典振子振荡周期方程，讨论了经典振荡周期的能量依赖性与分数阶量子振子能级的非等间距分布之间的相互影响。讨论了新的分数阶经典力学方程与著名的经典力学基本方程之间的关系。
The Dunkl oscillator in the plane II : representations of the symmetry algebra
第一部分研究了平面Dunkl振子模型的超可积性、波函数和重叠系数。这里的有限维表示的对称代数的系统，称为Schwinger-Dunkl代数sd（2），进行调查。代数sd（2）有六个生成元，包括两个对合和一个中心元，可以看作是李代数u（2）的变形。其中两个对称生成元J_3和J_2分别与笛卡尔坐标和极坐标中的变量分离有关。利用抛物声波产生/湮灭算子，构造了sd（2）表示的两种基：笛卡尔基和圆基.在笛卡尔基中，算子J_3是对角的，而算子J_2以三对角的方式作用。在循环基中，算子J_2是块上三角形，所有块都是2x2，算子J_3以三对角方式作用。两个基之间的展开系数由Krawtchouk多项式给出。在一般情况下，J_2在循环基中的特征向量由Heun多项式生成，其分量用para-Krawtchouk多项式表示。在完全迷向的情况下，J_2的特征向量由小-1 Jacobi多项式或普通Jacobi多项式生成。然后考虑算子J_2是对角的基。在此基础上，Schwinger-Dunkl代数的定义关系意味着J_3以块三对角方式作用，所有块都是2x2。给出了该基中J_3的矩阵元。
Deformed oscillator algebra approach of some quantum superintegrable Lissajous systems on the sphere and of their rational extensions
我们扩展的二维超可积哈密顿量的建设与分离的变量在球坐标系中使用的组合的移位，梯子，和supercharge运营商的模型，涉及合理的扩展的两个参数Lissajous系统的领域。这些新的家庭的超可积系统的积分的任意阶的Jacobi例外正交多项式（EOP）的类型I（或II）和超对称量子力学（SUSYQM）。此外，我们提出了一个代数推导的退化能谱的单参数和双参数Lissajous系统和合理的扩展模型。这些结果是基于非线性生成多项式代数，Casimir算子，实现为变形振子代数和有限维酉表示。到目前为止，这样的结果只建立在笛卡尔坐标下可分的2D超可积系统上，这与一类结构更简单的多项式代数有关。我们还指出了这些变形振子代数的结构函数与由非多项式积分所张成的广义Heisenberg代数（GHA）之间的直接关系。
N=2 supersymmetric Pais-Uhlenbeck oscillator
我们构造了一个N=2的超对称扩展的Pais-Uhlenbeck振荡器的不同的振荡频率。本文引入了一个与N=2的非耦合超对称谐振子族的联系，该谐振子族在哈密顿量中具有交替符号。详细讨论了模型的对称性。对所构造模型的量子对应物的研究表明，相应的Fock空间包含负范数态，并且系统的能谱从下到上是无界的。
Coherent States for the Non-Linear Harmonic Oscillator
在广义相干态框架下研究了量子非线性振子的波包。对于非线性参数的一阶，相干态的行为与其经典对应物非常相似。位置期望值以简谐方式振荡。能量-动量不确定关系与时间无关，就像谐振子一样。讨论了相干态的各种特性（如压缩态性质）。
Finite oscillator obtained through finite frame quantization
谐振子的哈密顿量通常定义为微分算符，但利用相干态量子化可以得到积分表示。有限标架量子化是相干态量子化的有限对应，它允许我们从谐振子的积分表示出发定义有限振子。我们的目的是研究以这种方式获得的振荡器，并提出一个可能的应用离散分数傅立叶变换。
Exact Solutions of D-dimensional Klein-Gordon Oscillator with Snyder-de Sitter Algebra
通过在动量空间表象下解析求解任意维的Klein-Gordon振子，研究了Snyder-de Sitter对易关系对相对论玻色子的影响.在一维情况下采用Gegenbauer多项式，在D维情况下采用Jacobi多项式，得到了精确的束缚态谱和相应的动量空间波函数。最后，我们研究了系统在高温区的热力学性质，发现修正增加了自由能，但降低了能量，熵和比热不再是常数。这项工作扩展了在J.Math.Phys.60，013505（2019）中在二维空间中研究的Snyder-de Sitter案例的Klein-Gordon振荡器部分。
Symmetric Tops Subject to Combined Electric Fields: Conditional Quasi-Solvability via the Quantum Hamilton-Jacobi Theory
利用量子哈密顿-雅可比（QHJ）理论研究了组合电场作用下量子对称陀螺（对称陀螺摆）的条件拟可解性。本文给出了与时间无关的薛定谔方程的拟可解性条件以及相应的有限组精确解析解。我们这样做的原型三角系统，以及其反等谱双曲对应。这两个系统的代数和数值谱的检查揭示了相互密切相关的模式。QHJ方法允许检索的球形和平面摆和Razavy系统，已获得在我们的早期工作通过超对称量子力学的封闭形式的解决方案，以及找到一个聚宝盆额外的精确解析解。
Quantum Damped Harmonic Oscillator
本章讨论了量子阻尼谐振子，研究了模型的数学结构，构造了任意初始条件下的通解，并给出了以相干态为初始条件的量子对应解。这是一个简单而良好的有耗散的量子力学模型，对于理解现实世界具有重要意义，读者将从中得到一个学习量子物理的有力武器。
The oscillator model for the Lie superalgebra sh(2|2) and Charlier polynomials
研究了基于李超代数sh（2）的量子振子的代数模型|2），被称为海森堡-外尔超代数或“超对称量子力学的代数“，及其Fock表示。该模型在选择位置和动量算子时提供了一定的自由度，从而产生了自由的模型参数γ。利用雅可比矩阵的技巧，我们确定了位置算符的谱，并证明了它的波函数与带参数γ的查理多项式C_n有关^[2]。这些波函数的一些性质进行了讨论，以及其他一些性质的电流振子模型。
Lagrangians Galore
寻找拉格朗日量似乎是一个微不足道的努力或一个不可能的任务。本文证明了与经典力学的简单模型所承认的李对称性有关的Jacobi最后乘子也产生（？）用一种简单的方式来描述拉格朗日函数。我们用简谐振子、伪装谐振子[H Goldstein，{ \it经典力学}，第2版（Addison-Wesley，Reading，1980）]和阻尼谐振子等经典方法来证明这种方法。这是一系列致力于这一主题的第一篇论文。
Complexifier Versus Factorization and Deformation Methods For Generation of Coherent States of a 1D NLHO: I. Mathematical Construction
三种方法：提出了一维非线性谐振子相干态的构造方法，即复化、因式分解和形变。由于通过对Jacobi多项式$P_n^{a,b}$的研究，可以弥补两者之间的差异，所以本文也给出了一维非线性高次光学薛定谔方程的Jacobi多项式的精确解。
Non-Hermitian Oscillator and R-deformed Heisenberg Algebra
在R-变形Heisenberg代数的框架下研究了一个非厄米广义振子模型，即Swanson模型。利用广义Bogoliubov变换将非厄米哈密顿量对角化。引入了一组变形的生消算符，其代数表明变换后的哈密顿量具有共形对称性。光谱是使用代数技术获得的。详细计算了系统的超共形结构。一个异常有关的谱的非厄米哈密顿与广义阶梯算子的厄米对应的发生，并讨论了位置相关的质量的情况。
Lewis-Riesenfeld invariants for PT-symmetrically coupled oscillators from two dimensional point transformations and Lie algebraic expansions
我们从两个振子的二维点变换构造Lewis-Riesenfeld不变量，这两个振子在空间中以PT对称和时间依赖的方式相互耦合。该模型的非厄米哈密顿量可以方便地用辛$sp(4)$李代数的生成元表示。这允许一种替代系统的方法来找到刘易斯-Riesenfeld不变量导致一组耦合的微分方程，我们使用时间顺序的指数来解决。我们还证明，点变换可以用来直接构建依赖于时间的戴森映射从各自的时间无关的对应物中的参考系。
Relative Poisson bialgebras and Frobenius Jacobi algebras
本文通过研究相对泊松代数的Manin三元组和相对泊松双代数，引入相对泊松Yang-Baxter方程及其反对称解的构造方法，并由此给出弗罗贝尼乌斯-雅可比代数的新构造途径。
Rationally-extended radial harmonic oscillator in a position-dependent mass background
本文通过点规范变换将具有位置依赖质量的径向谐振子问题转化为Pöschl-Teller I势问题，并利用X_m-雅可比例外正交多项式提出精确可解的有理扩展。
Bound State Solutions of the Relativistic Finite-difference Equation for the Ring-shaped Quesne Oscillator Potential
精确求解环形Quesne振子势的相对论有限差分方程，径向和角向波函数分别由连续对偶Hahn多项式和Jacobi多项式表示，获得离散能谱并验证非相对论极限，同时构建SU(1,1)动力学对称群实现纯代数求解。
Superintegrability on the Dunkl oscillator model in three-Dimensional spaces of constant curvature
本文研究了三维Dunkl振子模型，将超可积欧氏哈密顿系统推广到曲面系统。这些模型定义的基础上弯曲的哈密尔顿算子，这取决于变形参数的基础空间，并涉及反射算子。利用一维Dunkl振子的动力学$sl_{-1}(2)$代数的生成和湮灭算子，通过Cayley-Klein正交代数族中的Jordan-Schwinger表示，得到了它们的对称性.由此产生的代数是$so_{κ_1κ_2}(4)$的变形与反射，这是已知的约旦-Schwinger-Dunkl代数$jsd_{κ_1κ_2}(4)$。因此，这个模型被证明是最大超可积的。另一方面，从因子分解方法的角度研究了三维Dunkl振子模型的超可积性。该系统的频谱是通过分离变量在测地极坐标系中，并由此产生的本征函数的雅可比多项式代数给出。
Three-body closed chain of interactive (an)harmonic oscillators and the algebra $sl(4)$
在这项工作中，我们研究了二次和六次成对势的2-和3-体振子，它们依赖于粒子之间的相对距离，$|{\bf r}_i - {\bf r}_j |$。两体谐振子是双参数的，可以简化为一维径向雅可比振子，而在三体情况下，这种简化一般是不可能的。我们的研究仅限于相对运动空间中的解，这些解仅是相互（相对）距离的函数（$S$ -态）。我们特别注意的情况下，粒子的质量和弹性常数是不平等的，以及原子，其中一个质量是无限的，和分子，其中两个质量是无限的，限制。一般情况下，三体谐振子是7参数的，取决于3个质量和3个弹性常数以及频率。特别是，一阶和二阶积分的3体振荡器不等质量的搜索：它表明，对于某些关系，涉及质量和弹性常数的系统成为最大（最小）超可积的情况下，两（一）的关系。
Runge-Lenz vector in Calogero-Coulomb problem
我们构造了有理Calogero-Coulomb问题的Runge-Lenz向量和对称代数，用Dunkl算子表示。我们发现它们是库仑对应物的真变形。再加上Calogero振子模型和振子模型之间的类似对应关系，这一观察结果允许声称库仑和振子系统的大多数性质可以通过Dunkl动量算子适当地替换动量而提升到它们的Calogero扩展类似物。
Harmonic oscillator with nonzero minimal uncertainties in both position and momentum in a SUSYQM framework
在两个参数的$(α, β)$变形的正则对易关系导致非零的位置和动量的最小不确定性的背景下，谐振子的频谱和本征向量的确定通过使用超对称量子力学的技术结合形状不变性下的参数标度。由此产生的超对称伙伴哈密顿量对应于不同的质量和频率。当参数$α$，$β$之一消失时，指数谱被证明为一个二次谱，在这种情况下，参数平移下的形状不变性发生.在$α= β\ne 0$的特殊情况下，振子的哈密顿量与具有$q > 1$的q变形振子的哈密顿量一致，因此其本征向量是$n$ - $q$ -玻色子态.在$0 \ne α\ne β\ne 0$的一般情况下，本征向量被构造为$n$ - $q$ -玻色子态的线性组合，通过求助于后者的Bargmann表示和$q$ -微分。最后用$q$ -指数多项式和小$q$ -Jacobi多项式表示。
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