从Sylvester-Gallai检验到秩界：改进的深度3电路黑盒恒等式检验

Robust Radical Sylvester-Gallai Theorem for Quadratics

We prove a robust generalization of a Sylvester-Gallai type theorem for quadratic polynomials, generalizing the result in [S'20]. More precisely, given a parameter $0 < δ\leq 1$ and a finite collection $\mathcal{F}$ of irreducible and pairwise independent polynomials of degree at most 2, we say that $\mathcal{F}$ is a $(δ, 2)$-radical Sylvester-Gallai configuration if for any polynomial $F_i \in \mathcal{F}$, there exist $δ(|\mathcal{F}| -1)$ polynomials $F_j$ such that $|\mathrm{rad}(F_i, F_j) \cap \mathcal{F}| \geq 3$, that is, the radical of $F_i, F_j$ contains a third polynomial in the set…

近似共线性的Sylvester-Gallai型定理

Sylvester-Gallai type theorems for approximate collinearity

我们研究的问题，在发病率几何点的精确位置是“模糊”（例如，由于噪音，不准确或错误）。因此，直线被细管代替，更一般的仿射子空间被它们的小邻域代替。我们证明了在d维复空间中的一组点中存在足够多的近似共线三元组意味着这些点接近于一个低维仿射子空间。这可以被看作是Sylvester-Gallai定理及其扩展的稳定变体。建立在最近发现的Sylvester-Gallai型定理和复杂的局部可纠正码（LCC）之间的连接，我们定义了新的概念，稳定的LCC，其中（本地）校正程序也可以处理小扰动的欧几里德度量。我们证明了这种稳定的代码与恒定的查询复杂度是不存在的。在任何此类当地环境中，2次以上查询均未获得已知的不可能结果。

深度- $4$电路的PIT和多项式的Sylvester-Gallai猜想

PIT for depth-$4$ circuits and Sylvester-Gallai conjecture for polynomials

本文是安基特古普塔的预印本的发展。提出了一种设计确定性多项式时间黑盒身份测试（PIT）算法的深度$4$电路与有界顶部扇入的方法。这种方法类似于深度- $3$电路的Kayal-Shubhangi方法。Kayal和Shubhangi的算法基于关于线性多项式的Sylvester-Gallai型定理。我们展示了如何将这种方法推广到深度$4$电路。但是，我们并没有完全执行这个计划。我们成功地构造了一个多项式时间确定性算法的深度$4$电路与有界顶部扇入和其正确性需要一个假设。此外，我们提出了一个多项式时间（无条件）算法的深度$4$电路的一些子类有界顶部扇入。

Sylvester-Gallai type theorems for quadratic polynomials

We prove Sylvester-Gallai type theorems for quadratic polynomials. Specifically, we prove that if a finite collection $\mathcal Q$, of irreducible polynomials of degree at most $2$, satisfy that for every two polynomials $Q_1,Q_2\in {\mathcal Q}$ there is a third polynomial $Q_3\in{\mathcal Q}$ so that whenever $Q_1$ and $Q_2$ vanish then also $Q_3$ vanishes, then the linear span of the polynomials in ${\mathcal Q}$ has dimension $O(1)$. We also prove a colored version of the theorem: If three finite sets of quadratic polynomials satisfy that for every two polynomials from distinct sets there …

Robust Sylvester-Gallai type theorem for quadratic polynomials

In this work, we extend the robust version of the Sylvester-Gallai theorem, obtained by Barak, Dvir, Wigderson and Yehudayoff, and by Dvir, Saraf and Wigderson, to the case of quadratic polynomials. Specifically, we prove that if $\mathcal{Q}\subset \mathbb{C}[x_1.\ldots,x_n]$ is a finite set, $|\mathcal{Q}|=m$, of irreducible quadratic polynomials that satisfy the following condition: There is $δ>0$ such that for every $Q\in\mathcal{Q}$ there are at least $δm$ polynomials $P\in \mathcal{Q}$ such that whenever $Q$ and $P$ vanish then so does a third polynomial in $\mathcal{Q}\setminus\{Q,P\}$,…

二次多项式的一个广义Sylvester-Gallai型定理

A generalized Sylvester-Gallai type theorem for quadratic polynomials

在这项工作中，我们证明了一个版本的Sylvester-Gallai定理的二次多项式，使我们更接近一步获得一个确定性的多项式时间算法测试零的$Σ^{[3]}ΠΣΠ^{[2]}$电路。具体地说，我们证明了，如果一个有限的不可约二次多项式$\mathcal{Q}$满足，每两个多项式$Q_1,Q_2\in \mathcal{Q}$有一个子集$\mathcal{K}\subset \mathcal{Q}$，使$Q_1,Q_2 \notin \mathcal{K}$和每当$Q_1$和$Q_2$消失，然后也$\prod_{i\in \mathcal{K}} Q_i$消失，那么线性跨度的多项式在$\mathcal{Q}$有尺寸$O(1)$。这扩展了早期的结果[Shpilka 19]，该结果在$|\mathcal{K}| = 1$时显示了类似的结论。在我们的证明中，一个重要的技术步骤是一个定理，该定理对所有可能的情况进行了分类，在这些情况下，当另外两个二次多项式消失时，一个二次多项式的乘积可以消失。也就是说，当乘积在理想的根上时，由两个二次曲线生成。这一步扩展了[Shpilka 19]的一个结果，该结果研究了一个二次多项式在两个其他二次多项式的根中的情况。