子矩阵的混合平均不等式
Mixed-Mean Inequality for Submatrix
摘要：
对于具有非负元素$b_{ij}$和$B$的任何$k\times l-$子矩阵$B_{ij}$的$m\times n$矩阵$B=(b_{ij})_{m\times n}$，令$a_{B_{ij}}$和$g_{B_{ij}}$分别表示$B_{ij}$的元素的算术平均值和几何平均值。证明了：若$k$是$(\frac{m}{2}, m]$中的整数，$l$是$(\frac{n}{2}, n]$中的整数，则对每个$i,j$，$$\Big(\prod_{i=k,j=l\atop B_{ij}\subset B}a_{B_{ij}}\Big)^{\frac{1}{C_m^k\cdot C_n^l}} \geq\frac{1}{C_m^k\cdot C_n^l}\Big(\sum_{i=k,j=l\atop B_{ij}\subset B}g_{B_{ij}}\Big),$$相等当且仅当$b_{ij}$是常数.
英文摘要：
For a $m\times n$ matrix $B=(b_{ij})_{m\times n}$ with nonnegative entries $b_{ij}$ and any $k\times l-$submatrix $B_{ij}$ of $B$, let $a_{B_{ij}}$ and $g_{B_{ij}}$ denote the arithmetic mean and geometric mean of elements of $B_{ij}$ respectively. It is proved that if $k$ is an integer in $(\frac{m}{2}, m]$ and $l$ is an integer in $(\frac{n}{2}, n]$ respectively, then $$\Big(\prod_{i=k,j=l\atop B_{ij}\subset B}a_{B_{ij}}\Big)^{\frac{1}{C_m^k\cdot C_n^l}} \geq\frac{1}{C_m^k\cdot C_n^l}\Big(\sum_{i=k,j=l\atop B_{ij}\subset B}g_{B_{ij}}\Big),$$ with equality if and only if $b_{ij}$ is a constant for every $i,j$.
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