Series representations of the Riemann and Hurwitz zeta functions and series and integral representations of the first Stieltjes constant
我们开发了一系列的赫维茨和黎曼zeta函数的广义伯努利数（Nörlund多项式），给出了这些功能的解析延续到整个复平面。特殊情况下产生各种特殊函数和数字的级数表示，包括log Gamma，digamma和polygamma函数。另一个副产品是，$ζ(n)$值以广义调和数的形式作为非线性欧拉和出现。我们还获得了第一Stieltjes常数$γ_1(a)$的级数和积分表示。该演示文稿统一了一些早期的结果。
2011-06-25 math-ph math.MP math.NT
Numerical Evidence that the Perturbation Expansion for a Non-Hermitian $\mathcal{PT}$-Symmetric Hamiltonian is Stieltjes
最近，已经进行了几项具有$\mathcal{PT}$对称性的非厄米哈密顿量的研究。最引人注目的是，这些复杂的哈密顿是多么密切，他们的性质类似于那些传统的厄米哈密顿。本文提出了进一步的证据，这些哈密顿厄米哈密顿的相似性，通过检查的总和的$\mathcal{PT}$ -对称哈密顿$H=p^2+{1/4}x^2+iλx^3$的基态能量的发散弱耦合微扰级数最近研究的本德和邓恩。为此，计算了基态能量的瑞利-薛定谔微扰级数的前193个（非零）系数（以$λ^2$的幂表示）。Padé求和和Padé预测技术最近描述的Weniger应用到这个扰动序列。以这种方式获得的结果的定性特征是无法区分的情况下获得的四次非谐振子，这是已知的Stieltjes系列的微扰系列。
2000-10-03 math-ph math.MP
Continuation of the Stieltjes Series to the Large Regime by Finite-part Integration
本文提出利用Hadamard有限部分积分处理发散负幂矩，将Stieltjes积分的强渐近收敛展开用于对所有微扰区域求和发散级数，并成功计算了多种非谐振子与漏斗势的基态能量。
2023-02-08 math-ph math.MP quant-ph
The Stieltjes constants, their relation to the eta_j coefficients, and representation of the Hurwitz zeta function
Stieltjes常数gamma_k（a）是Hurwitz zeta函数关于其在s=1处的唯一极点的Laurent级数中的展开系数。给出了γ_k（1）与eta_j系数的关系，该系数出现在Riemann zeta函数关于其极点在s=1处的对数导数的Laurent展开式中。我们得到了Stieltjes常数的新的积分表示和Riemann假设Li判据的关键振荡子和的新的分解如S_2（n）= S_gamma（n）+ S_Lambda（n）.我们给出了S_γ（n）的各种积分表示，并给出了S_2（n）的新的级数表示。此外，我们还给出了γ_k= γ_k（1）的一个快速收敛的表达式以及与Riemann和Hurwitz zeta函数的参数化表示有关的各种结果。
2009-02-25 math-ph math.MP
A theory of composites perspective on matrix valued Stieltjes functions
本文用矩阵有理Stieltjes函数的初等连分式变换来解释复合材料研究中出现的一系列物理操作。
2022-11-18 math-ph math.AP math.MP
Factorial Series Representation of Stieltjes Series Converging Factors
本文提出将任意阶Stieltjes级数收敛因子表示为逆阶乘级数，并通过简单递归算法解析求取各项，为发展Weniger变换在Stieltjes级数上的一般收敛理论奠定初步基础。
2024-06-01 cs.NA math-ph math.MP
Pade approximants of random Stieltjes series
University of Bristol（布里斯托大学）
研究独立同伽马分布随机变量构成的随机连分数S(t)的有限截断（即对角Padé逼近）的几乎必然收敛速率和极点分布，利用Dyson-Schmidt方法和Marklof等人的结果得到显式公式。
2007-08-09 cs.NA math-ph math.MP
Hypergeometric summation representations of the Stieltjes constants
Stieltjes常数$γ_k$出现在Riemman和Hurwitz zeta函数的Laurent展开式的常规部分。我们证明，这些系数可以写为某些数学常数和专门的超几何函数$_pF_{p+1}$的总和。这一系列的结果推广了欧拉常数的表示在三角积分Si或Ci的值的总和。级数表示法适用于加速度。作为副产品，我们评估某些正弦对数积分，并提出了领先的渐近形式的特定$_pF_{p+1}$功能。
2011-06-25 math-ph math.MP math.NT
Finite-Part Integration of the Generalized Stieltjes Transform and its dominant asymptotic behavior for small values of the parameter Part I: Integer orders
本文给出了整数阶广义Stieltjes变换$S_{n}[f]=\int_0^{\infty} f(x) (ω+x)^{-n}\mathrm{d}x$关于$ω=0$的精确估计，并由此直接导出了$S_{n}[f]=\int_0^{\infty} f(x) (ω+x)^{-n}\mathrm{d}x$对小参数$ω$的渐近性质.试图通过将被积函数$(ω+x)^{-n}$展开为关于$ω=0$，然后对所得无穷级数逐项进行自然积分来计算积分，会导致无穷级数的项是发散积分。对发散积分的导数值，比如说，通过解析延拓或阿达玛有限部分，已知只能再现展开式的一些正确项，但完全遗漏了一组项。在这里，我们明确评估广义Stieltjes变换的有限部分积分最近在[E.A. Galapon，{ \it Proc. Roy. A} {PDMATHAMT 473}，20160567（2017）]。它表明，当$f(x)$不消失或有零阶$m$在原点，使$(n-m)\geq 1$，$S_{n}[f]$作为$ω\rightarrow 0$占主导地位的条款来自所产生的贡献的极点和分支点的复值函数$f(z) (ω+z)^{-n}$。这些占主导地位的项恰恰是被单纯的逐项积分遗漏的项。此外，它演示了如何有限部分集成导致新的系列表示的特殊功能，利用其已知的Stieltjes积分表示。最后，讨论了有限部分积分在获得高Peclet数极限下有…
2018-05-12 math-ph math.CV math.MP
On the Stieltjes constants and gamma functions with respect to alternating Hurwitz zeta functions
Dating back to Euler, in classical analysis and number theory , the Hurwitz zeta function $$ ζ(z,q)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+q)^{z}}, $$ the Riemann zeta function $ζ(z)$ , the generalized Stieltjes constants $γ_k(q)$ , the Euler constant $γ$ , Euler's gamma function $Γ(q)$ and the digamma function $ψ(q)$ have many close connections on their definitions and properties. There are also many integrals, series or infinite product representations of them along the history. In this note, we try to provide a parallel story for the alternating Hurwitz zeta function (also known as the Hurwitz-type…
2021-12-17 math-ph math.CA math.MP
Integral and series representations of the digamma and polygamma functions
我们得到了双伽玛函数$ψ(a)$的各种级数和积分表示。这些又提供了有理自变量处的评估$ψ(p/q)$的表示和多伽马函数$ψ^{(j)}$的表示。该方法是通过第零Stieltjes常数$γ_0(a)=-ψ(a)$的极限定义。其他几个结果，包括产品表示为$\exp[γ_0(a)]$和伽马函数$Γ(a)$。此外，我们提出了一系列表示的三角积分Ci和Si的$ψ(a)$和欧拉常数$γ=-ψ(1)$。
2010-08-24 math-ph math.MP
On the Bessel solution of Kepler's equation
本文从 Stieltjes 级数理论的新视角研究了椭圆开普勒方程的 Bessel 解，证明了由 Bessel 展开得到的复 Kapteyn 级数是 Stieltjes 级数，从而提供了 KE 解的新积分表示，并探讨了向更一般 Kapteyn 级数推广的可能性。
2024-01-04 math-ph math.MP
On the coefficients of the Baez-Duarte criterion for the Riemann hypothesis and their extensions
我们提出的分析性质和扩展的常数CK出现在Baez-Duarte准则的黎曼假设。这些常数是Pochhammer多项式在黎曼zeta函数的倒数的级数表示中的系数。我们提出了这种表示的赫维茨zeta和许多其他特殊功能的推广。我们与其他已知的常数，包括Stieltjes常数和本summatory关系相应的系数。此外，我们推广的Maslanka超几何表示的zeta函数在几个方面。
2006-09-07 math-ph math.MP
Series representation of the Riemann zeta function and other results: Complements to a paper of Crandall
我们补充了R. Crandall研究了几个重要的特殊函数和数的多精度计算。我们展示了一个替代的系列表示的黎曼和赫维茨zeta函数提供解析延续通过整个复杂的平面。此外，我们证明了一些系列表示的初始Stieltjes常数出现在Laurent展开的Hurwitz zeta函数。在这些发展中的一个特别的阐述点是超几何形式及其等价物的某些衍生物的不完全伽玛函数。最后，我们计算了某些积分，包括$\int_{\tiny{Re} s=c} {{ζ(s)} \over s} ds$和$\int_{\tiny{Re} s=c} {{η(s)} \over s} ds$，其中$ζ$是Riemann zeta函数，$η$是其交替形式。
2012-03-22 math-ph math.MP math.NT
Convergent and Divergent Series in Physics
本次审查的目的，基于在第22届“萨尔堡”暑期学校（2016年）举行的一系列四个讲座，是涵盖微扰级数理论及其总结的选定主题。第一部分是致力于加快收敛级数的收敛速度的策略，即Richardson外推法和Shanks变换，也包括一些加速傅立叶级数收敛的技巧。第二部分着重于发散序列，以及允许人们从中检索信息的工具。这些技术包括欧拉求和，博雷尔求和，通用求和，和方法的连续功能，特别是包括Padé理论的基础上继续分数。最后，为了研究Padé逼近的收敛性，对Stieltjes级数和函数进行了简要的讨论.
2017-03-16 hep-th math-ph math.MP
