On a non-abelian Balog-Szemeredi-type lemma
Tom Sanders
我们证明了，如果G是群，A是G的有限子集，|A^2| < K |A|，则对于所有k，存在恒等式S的对称邻域，其中S^k是A^2A^{-2}的子集且|S| > exp（-K^{O（k）}）|A|。
We show that if G is a group and A is a finite subset of G with |A^2| < K|A|, then for all k there is a symmetric neighbourhood of the identity S with S^k a subset of A^2A^{-2} and |S| > exp(-K^{O(k)})|A|.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On a certain generalization of the Balog-Szemeredi-Gowers Theorem
本文证明了Balog-Szemeredi-Gowers定理的一个超图推广。我们的结果与Sudakov、Szemeredi和Vu的类似推广有一些共同的特征，尽管我们的结果的结论有些不同。
Note on the Theorem of Balog, Szemerédi, and Gowers
该研究针对Balog-Szemerédi-Gowers定理的结构化集合规模问题，证明满足特定能量条件的加性集存在更大规模的子集，且其差集大小有对应上界，给出了该定理下能得到的最大结构化集合结果。
On an almost all version of the Balog-Szemeredi-Gowers theorem
作为算术删除引理的结果，我们推导出Balog-Szemerédi-Gowers定理的几乎所有版本：对于任何$K\geq 1$和$\varepsilon > 0$，存在$δ= δ(K,\varepsilon)>0$使得以下陈述成立：如果$|A+_ΓA| \leq K|A|$对于某个$Γ\geq (1-δ)|A|^2$，则存在具有$|A'| \geq (1-\varepsilon)|A|$的子集$A' \subset A$使得$|A'+A'| \leq |A+_ΓA| + \varepsilon |A|$。我们还讨论了在这份声明中的定量界限周围的问题，特别是表明，当$A \subset \mathbb{Z}$的$δ$对$ε$的依赖不能是多项式的任何固定的$K>2$。
A note on the Freiman and Balog-Szemeredi-Gowers theorems in finite fields
在有限域几何F_2 ^n的模型情形下，我们得到了Balog-Szemeredi-Gowers定理和Freiman定理的定量形式，改进了这类定理的已知界.例如，如果A是F_2^n的子集，使得|A+A| <= K |A|（因此A有小的加法加倍），我们证明了存在基数为|V| >> K^{-O（\sqrt{K}）} |A|的F_2 ^n的仿射子空间V，使得|A \cap V|>> |V| /2K。在假设A至少包含|A| ^3/K个四元组且a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0的情况下，我们得到了类似的结果，尽管条件|V| >> K^{-O（K）} |A|稍弱。
An Abstract Regularity Lemma
将Szemeredi正则引理推广到抽象测度空间.我们的主要目的是找到一般条件下，原来的证明Szemeredi仍然有效。为了说明我们的方法有一定的优点，我们概述了几个应用程序。其中一些应用程序似乎是针对我们的方法：特别是，我们不知道任何替代的证明。
An analogue of the Szemeredi Regularity Lemma for bounded degree graphs
我们证明了一个足够大的有界度的图可以被分解成准齐次的块。这个结果可以看作是经典Farrell-Varadarajan遍历分解定理的“有限化”。
A Szemeredi-type regularity lemma in abelian groups, with applications
Szemeredi正则性引理是图论中的一个重要工具，在组合数学中有广泛的应用。本文在阿贝尔群的背景下证明了Szemeredi正则引理的一个类似，并利用它得到了加性数论中的一些结果.一个是几乎无和集的结构定理。如果A是[N]的一个子集，它只包含o（N^2）个三元组（x，y，z），使得x + y = z，那么A可以写为B和C的并集，其中B是无和的，并且|C| = o（N）。另一个回答了Bergelson，Host和Kra的问题。如果α，β> 0，如果N > N_0（α，β）并且如果A是{1，.，N}，则存在某个非零d使得A至少包含（alpha^3 -n）N个具有公差d的三项等差数列。
The Regularity Lemma with bounded VC Dimension
我们给出了一个证明Szemeredi的正则性引理的特殊情况下，有界VC维的图，并表明它是可能的，以获得“仅仅”双指数界的大小的分区在这种情况下。
Product set estimates for non-commutative groups
我们发展的Plünnecke-Ruzsa和Balog-Szemerédi-Gowers理论的和集估计在非交换设置，与离散，连续，和度量熵配方这些估计。对于一类特殊的2-步幂零群，即中心无2-挠的Heisenberg群，我们还建立了一个Freiman型逆定理.
Small subsets without $k$-term arithmetic progressions
Szemerédi定理意味着有$[n]$的$2^{o(n)}$子集不包含$k$ -项算术级数。Balogh、Morris和Samotij使用超图容器方法得到了这个陈述的稀疏类似物：对于任何$β> 0$，存在$C > 0$，使得如果$m \ge Cn^{1 - 1/(k-1)}$，则至多存在$β^m \binom{n}{m}$ $m$ -没有$k$ -项算术级数的$\{1, \ldots, n\}$的元素子集。我们给出了一个简短的，归纳证明这一结果。因此，这提供了一个简短的证明塞梅雷迪定理在随机子集的整数。
A combinatorial proof of the Removal Lemma for Groups
Green [Geometric and泛函分析15（2005），340- 376]建立了阿贝尔群的Szemerédi正则引理的一个版本，并导出了阿贝尔群的移除引理作为其推论。我们提供了另一个证明他的删除引理，使我们能够扩展其声明的所有有限群。我们还讨论了可能的扩展的删除引理方程组。
A Short Proof of Gowers' Lower Bound for the Regularity Lemma
Gowers的一个著名结果是：对于每个ε> 0，存在一个图G，使得G的每个ε-正则划分（在Szemeredi正则引理的意义下）的阶由1/ε中高度多项式的指数塔给出。在本说明中，我们给出了一个新的证明这个结果，使用的建设和证明的正确性，显着更简单，更短。
Roth type theorems in finite groups
证明了有限群中的Roth型定理。我们的主要工具是Ruzsa和Szemerédi的三角形移除引理。
On the removal lemma for linear configurations in finite abelian groups
我们提出了一个通用的框架来表示离散配置系统使用超图。这种表示允许一个转移组合去除引理，他们的类似物的配置系统。这些移除引理声称，一个没有许多组态的系统可以通过移除它的几个组成元素而变得无组态。作为这种方法的应用，我们给出了Cooper置换的移除引理的另一种证明，有限阿贝尔群中线性系的移除引理的一般版本，提到的移除引理在子群方面的解释，以及多维Szemerédi定理在阿贝尔群中的计数版本的另一种证明和推广。
A Permutation Regularity Lemma
我们介绍了一个置换模拟著名的Szemeredi正则引理，并得出一些后果。这个工具使我们能够提供一个结构描述的排列，避免指定的模式，一个结果，排列分散小区间包含所有可能的模式的一个给定的大小，证明每个排列避免指定的模式有一个几乎单调的线性大小的子集，和一个“瘦删除”的结果。我们还展示了如何可以计数子模式的置换与积分，并将我们的结果置换准随机性的方式类似的图论设置。
A tower lower bound for the degree relaxation of the Regularity Lemma
该研究证明了图的度数正则划分所需的簇数下界为塔函数，揭示了即使在正则性放松的情况下，Szemerédi正则引理的界仍不可大幅改进。
Low discrepancy and spectral gap for directed hypergraphs via spectral regularity lemma for tensors
本文证明有向均匀超图的低差异等价于谱间隙，通过建立基于变分特征值的Frieze-Kannan型张量谱正则引理，给出Lenz-Mubayi定理的简短证明，并讨论相关变体。
On distribution of three-term arithmetic progressions in sparse subsets of F_p^n
证明了Fp ^n中典型随机集子集的Szemeredi正则引理的一个版本.作为应用，讨论了三项等差数列在稀疏集上分布的一个结果。
On Generalized Regularity
Szemeredi正则引理是正则引理家族中的一个例子，它用更一般的系数代替了图的密度的定义。最近，Fan Chung证明了另一个例子，聚类图的正则引理，并询问是否可以为它提供的定量估计导出良好的上界。对于每个广义正则引理，我们都否定地回答这个问题。
A Wowzer Type Lower Bound for the Strong Regularity Lemma
Szemeredi的正则性引理断言，人们可以将每个图划分为有界数目的拟随机二部图。然而，在某些应用中，人们希望对这些二部图的准随机性有很强的控制。阿隆、费舍尔、克里维列维奇和塞格迪得到了正则引理的一个强大的变体，它允许人们对这种准随机性的度量进行任意控制。然而，他们的证明只能保证产生一个分区，其中部分的数量由Wowzer函数给出，这是Tower函数的迭代版本。我们在这里表明，这种类型的界限是不可避免的，通过构建一个图H，与属性，即使一个人想要一个非常温和的控制准随机性的一个经常分区，那么任何这样的分区H必须有一些部分由Wowzer型函数。
Induced Ramsey-type theorems
给出了一种统一的方法来证明具有禁止诱导子图的图的Ramsey型定理，该方法可以用来推广和改进Rodl，Erdos-Hajnal，Promel-Rodl，Nikiforov，Chung-Graham和Luczak-Rodl的早期结果.证明是基于一个简单的引理（推广一个由格雷厄姆，Rodl和Rucinski），可以作为一个替代Szemeredi的正则性引理，从而给更好的界限。同样的方法也可以用来证明伪随机图具有强诱导Ramsey性质。这导致明确的建设上界各种诱导拉姆齐数。
A Szemeredi-Trotter type theorem in $\mathbb{R}^4$
我们证明了$m$点和$n$二维代数曲面在$\mathbb{R}^4$中最多可以有$O(m^{\frac{k}{2k-1}}n^{\frac{2k-2}{2k-1}}+m+n)$关联，只要代数曲面的行为像具有$k$自由度的伪平面，并且$m\leq n^{\frac{2k+2}{3k}}$。作为特例，我们得到了$\mathbb{R}^4$中2-平面的Szemerédi-Trotter型定理，条件是$m\leq n$与平面横交.作为进一步的特例，我们得到了$\mathbb{C}^2$中复直线的Szemerédi-Trotter型定理，对$m$和$n$没有限制（这个定理最初由Tóth用不同的方法证明）。作为第三种特殊情况，我们得到了$\mathbb{C}^2$中复单位圆的Szemerédi-Trotter型定理。我们得到我们的结果结合几种工具，包括两个级别的模拟的离散多项式分割定理和交叉引理。
Regularity lemmas for stable graphs
设G是具有非k阶性质的有限图（本质上是导出子半图的大小的一致有限界）。本文的一个主要结果应用模型理论的参数，以获得一个更强的版本Szemerédi的正则引理这样的图，定理5.18，其中没有不规则对，边界显着改善，每个组件满足不可分割的条件。这项工作的动机来自于模型理论和图论思想的巧合。也就是说，由于半图的反例，Szemerédi正则引理陈述中的“不规则对”不能被消除。本文的结果表明，在什么意义上这个反例是唯一的本质困难。证明主要是模型理论的（虽然写的是有限组合主义者可以理解的）：任意大的半图与模型理论的不稳定性相吻合，所以在它们不存在的情况下，结构定理和稳定性理论的技术适用。除了上述定理外，我们还给出了其它几个具有不同优点的正则引理，其中改进了分支不可分的条件（代价是使分支数随|G|增长），并将其中的一些结果推广到更大的不具有独立性的图类.
The number of hypergraphs and colored Hypergraphs with hereditary properties
作为Szemeredi正则引理的一个应用，Erdos-Frankl-Rodl（1986）证明了顶点集{1，2，. n}的n阶图的最大边数是$2^{(1+o(1))ex(n,P)n^2/2}$，其中$ex(n,P)$是无子图的n阶图的最大边数，P. Kohayakawa等人（2003）将其从单调图推广到遗传图，从图推广到3-一致超图.我们将其推广到一般超图。这可能是一个简单的例子，说明如何应用最近超图正则引理的作者。
Removal Lemmas with Polynomial Bounds
在图论的许多极值问题中，一个共同的主题是图的局部性质和整体性质之间的关系。这类最著名的结果之一是Ruzsa-Szemerédi三角形移除引理，它指出如果一个图是$\varepsilon$ -远不是三角形自由的，那么大多数大小为$C(\varepsilon)$的顶点子集都不是三角形自由的。不幸的是，$C(\varepsilon)$上最著名的上界是由塔型函数给出的，并且已知$C(\varepsilon)$在$\varepsilon^{-1}$中不是多项式。三角形去除引理已被推广到许多其他的图形属性，其中一些相应的函数$C(\varepsilon)$是多项式。这提出了一个自然的问题，由Goldreich在2005年提出，最近由Alon和Fox提出，描述了可以用多项式边界证明移除引理的性质。本文的主要结果是保证一个图的性质允许多项式界的移除引理的新的充分必要准则。虽然两者都是简单的组合标准，他们意味着几乎所有的这种类型的积极和消极的结果。此外，我们的新的充分条件，使我们能够获得多项式有界删除引理的许多属性，以前已知的界限是塔型。特别地，我们证明了每一个{ \em半代数}图的性质允许多项式有界的删除引理。这证实了阿隆的一个猜想。
Intersecting families of sets are typically trivial
本文改进Frankl-Kupavskii等人的结果，证明当n≥2k+100 ln k时几乎所有k-均匀相交族都是星形族，将阈值从c√(k ln k)优化为100 ln k。
An Algebraic Hypergraph Regularity Lemma
Szemerédi正则性引理是图论中的一个强有力的工具。证明了对任意大的图，存在边集的有界划分，使得大多数诱导子图是拟随机的。当图是有限域$F_q$中的可定义集$ϕ(x, y)$时，Tao的代数图正则引理证明了存在图$ϕ(x, y)$的一个划分，使得所有诱导子图都是拟随机的，且拟随机的误差界是$O(q^{-1/4})$ .本文证明了有限域中可定义集的一个代数超图正则引理，从而回答了Tao的一个问题。我们还将代数正则引理推广到差域$(F_q^{alg}, x^q)$中的可定义集合上，并对代数正则引理的几何内容提供了一个新的观点。
A general-position problem for planar line arrangements
研究平面直线排列的一般位置问题，通过构造直线集合改进相关定理界，得到Hadwiger - Debrunner数下界，还给出特定点集构造，证明Balogh和Solymosi超饱和引理在对数因子上最优。
An asymmetric container lemma and the structure of graphs with no induced $4$-cycle
超图容器的方法，最近介绍了Balogh，莫里斯和Samotij，并独立的Saxton和Mesason，已被证明是一个非常有用的工具，在研究各种单调图的性质。特别地，该技术的相当直接的应用允许针对每个非二分图$H$定位具有给定边数的典型无$H$图中的边的分布经历从“类随机”到“结构化”的转变的阈值。另一方面，对于非单调的遗传图形属性，这种方法的标准版本甚至不允许建立这样的阈值的存在。在本文中，我们介绍了一种改进的容器方法，考虑到边缘和非边缘之间的不对称性的遗传图形属性的稀疏成员。作为应用，我们确定了一个典型的图的近似结构与$n$顶点，$m$边，没有诱导副本的$4$ -循环，每个功能$m = m(n)$满足$n^{4/3} (\log n)^4 \leqslant m \ll n^2$。我们证明了几乎所有这样的图$G$具有以下性质：$G$的顶点集可以被划分为一个“几乎独立”集（一个集$o(m)$边）和一个“几乎团”（一个集诱导一个子图密度$1-o(1)$）。$m$的下界是最优的，直到一个多对数因子，因为标准参数表明，如果$n \ll m \ll n^{4/3}$，那么几乎所有这样的图都是“类随机”的。作为进一步的结果，我们推断，随机图$G(n,p)$条件不包含诱导$4$ -周期经历相变在$p = n^{-2/3 + o(1)}$和$p = n^{-1/3 + o(1)}$。
On linear configurations in subsets of compact abelian groups, and invariant measurable hypergraphs
证明了所有紧阿贝尔群的一个算术消去结果，推广了Král '，Serra和第三作者的一个有限消去结果.为此，我们考虑在某些群作用下不变的无限可测超图，并对这些超图证明了一个保序移除引理，它推广了第二作者的一个同名有限结果。我们推导出我们的算术去除结果，通过应用这个引理到一个特定类型的不变的可测超图。作为一个直接应用，我们得到了Szemerédi定理的如下推广：对于任何紧阿贝尔群$G$，任何具有Haar概率$μ(A)\geqα>0$的可测集$A\subset G$满足$$\int_G\int_G\; 1_A\big(x\big)\; 1_A\big(x+r\big) \cdots 1_A\big(x+(k-1)r\big) \; dμ(x) dμ(r) \geq c,$$其中常数$c=c(α,k)>0$对所有$G$一致有效.这一结果更普遍地适用于由整数矩阵与互质$r\times r$子式所给出的$r$线性方程组的任何不变性系统。
Regular partitions of gentle graphs
Szemeredi正则性引理是极值组合学中一个非常有用的工具。最近，这个开创性的结果得到了一些特殊的，更结构化的图类的改进。我们调查这些结果在其丰富的组合背景。特别是，我们强调（结构）稀疏性理论的联系，从而导致替代证明，改进和解决方案的开放问题。值得注意的是，这些类中有许多都提出了具有挑战性的问题。然而，从正则性引理类型陈述的观点来看，它们看起来是“温和”的类。
The Lovász conjecture holds for moderately dense Cayley graphs
研究证明了大连接Cayley图存在哈密顿回路，推进了Lovász猜想，并改进了之前的结果。
Regularity for hypergraphs with bounded VC$_2$ dimension
本文针对有界VC$_2$维数的3-图，证明了可将其正则性界限在阿克曼层级中降低一层且达到最佳，核心方法是基于柱体正则性引理设计新方法并扩展至超图。
Expanding polynomials over finite fields of large characteristic, and a regularity lemma for definable sets
设$P: \F \times \F \to \F$是大特征有限域$\F$上的有界次数多项式.在本文中，我们建立了以下二分法：要么$P$是一个适度的不对称扩展的意义下，$|P(A,B)| \gg |\F|$，只要$A, B \subset \F$是这样的$|A| |B| \geq C |\F|^{2-1/8}$的足够大的$C$，否则$P$采取的形式$P(x,y) = Q(F(x)+G(y))$或$P(x,y) = Q(F(x) G(y))$的一些多项式$Q,F,G$。这是一个相当令人满意的分类多项式的两个变量，适度扩大（对称或不对称）。我们得到一个类似的分类弱膨胀（其中一个有$|P(A,A)| \gg |A|^{1/2} |\F|^{1/2}$时，$|A| \geq C |\F|^{1-1/16}$），和一个部分令人满意的分类几乎强的非对称膨胀（其中$|P(A,B)| = (1-O(|\F|^{-c})) |\F|$时，$|A|, |B| \geq |\F|^{1-c}$的一些小的绝对常数$c>0$）。用于建立这些结果的主要新工具是一个代数正则引理，它描述了在有限域上的大特征的可定义子集所产生的稠密图的结构。这个引理加强了Szémeredi正则性引理在代数情况下的作用，因为后一个引理将一个图分解为有界数量的分量，其中大多数对于一些小但固定的$ε$是$\eps$ -正则的，后一个引理确…
On the number of sets with a given doubling constant
研究了给定阿贝尔群$G$的$s$ -元子集$J$的个数，使得$|J+J|\leq K|J|$ .证明了Alon、Balogh、Morris和Samotij的猜想，并改进了Green和Morris的结果（他们证明了$K$的猜想是固定的），我们提供了当$G=\mathbb{Z}$和$K=o(s/(\log n)^3)$时此类集合数量的上界，该上界接近$2^{o(s)},$的因子。我们还提供了一个推广的任意阿贝尔群，这是紧到一个因素的$2^{o(s)}$在许多情况下。证明中使用的主要工具是最近由Morris，Samotij和Saxton引入的非对称容器引理。
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