Relaxed Local Correctability from Local Testing
本文通过利用高速率局部可测试码递归扩增较小松弛局部可纠正码，首次构造出具有多对数查询复杂度的渐近良好松弛局部可纠正码，并进一步得到速率和距离接近 Gilbert-Varshamov 界的非显式构造。
2024-04-01 cs.CC cs.IT math.IT
Local Correction with Constant Error Rate
n个变量的布尔函数f被称为q-局部可校正的，如果给定对函数g的黑盒访问，该函数g“接近”同构f_sigma（x）=f_sigma（x_1，...，x_n）= f（x_sigma（1），.，x_sigma（n）），我们可以计算f_sigma（x）对于{0，1}^n中的任何x，具有良好的概率，使用q个查询g。已知d阶多项式是O（2^d）-局部可校正的，并且大多数k阶junta是O（k log k）-局部可校正的，其中要求接近度参数，或者更精确地说g和f_sigma之间的距离呈指数小（分别在d和k中）。在这项工作中，我们放宽了要求的接近参数，允许函数之间的距离是一个常数。我们首先研究了juntas族，并证明了几乎每个k-junta都是O（k log^2 k）-局部可校正的，对于任何距离n < 0.001。一个类似的结果是家庭的部分对称的功能，这是无关紧要的任何重新排序的所有，但一个常数的变量。对于这两个家族，这里提供的算法使用非自适应查询，并且适用于每个家族的大多数但不是所有函数（因为它被证明是不可能局部校正所有函数的）。我们的方法利用对称影响的措施，在最近的分析测试部分对称的功能。
2012-10-21 cs.CC cs.DS cs.IT
Near-Tight Bounds for 3-Query Locally Correctable Binary Linear Codes via Rainbow Cycles
本文利用正常边着色图中的彩虹循环定理，通过界定对偶码覆盖半径，证明3查询二进制线性LCC维数近紧上界为 $O_δ(\log^2 n\log\log n)$。
2024-04-08 cs.CC cs.IT math.CO
Exponential Lower Bounds for Locally Decodable and Correctable Codes for Insertions and Deletions
Purdue University（普渡大学）；Center on Frontiers of Computing Studies, Peking University（北京大学前沿计算研究中心）；Advanced Institute of Information Technology, Peking University（北京大学信息技术高级研究院）；Cheriton School of Computer Science, University of Waterloo（滑铁卢大学切里顿计算机科学学院）；Department of Computer Science, Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学计算机科学系）
研究证明了针对插入和删除错误的局部可解和可纠正码的指数下界，揭示了汉明LDCs与Insdel LDCs之间的严格分离。
2025-12-29 cs.CC cs.IT math.IT
Telecommand Rejection Probability for CCSDS-compliant LDPC-Coded Transmissions with Tail Sequence
本文研究了符合CCSDS标准的LDPC编码传输中尾序列检测问题，通过理论分析和仿真评估了不同系统参数下遥控拒收概率，旨在优化尾序列设计以最小化CLTU丢弃率。
2024-07-23 cs.IT math.IT
Local-Testability and Self-Correctability of q-ary Sparse Linear Codes
我们证明了具有小偏差的q元稀疏码是自校正的和局部可测的。推广了Kaufman和Sudan的一个结果，证明了具有小偏差的二元稀疏码的局部可测性和可纠正性。我们使用q元Krawtchouk多项式和McWilliams恒等式的属性-将代码的权重分布与其对偶的权重分布联系起来-来推导我们正在分析的随机测试器和自校正器的错误概率的界限。
2010-12-16 cs.CC cs.IT math.IT
On the Local Correctabilities of Projective Reed-Muller Codes
本文证明了投影Reed-Muller~（PRM）码在低查询复杂度下构成一族局部可纠正码~（LCC）。PRM码由字母大小$q$、变量数$m$和度$d$指定。当$d\leq q-1$，我们提出了一个完美的平滑本地解码器恢复符号通过访问$γ\leq q$符号的坐标落在一条线上。LCC主要考虑三个参数，即查询复杂度、消息长度和码长。本文证明了在LCC中PRM码比广义Reed-Muller~（GRM）码短。确切地说，给定大小为$q$的字段上的GRM码，在大小为$q-1$的字段上存在一类较短的码，同时在查询复杂度和消息长度上保持相同的值。
2017-02-09 cs.IT math.IT
Entanglement-Assisted Codes Outside the Stabilizer Framework
University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
本文提出了一种在稳定子框架之外构建纠缠辅助编码的方法，并展示了其在退化码中的应用及压缩可能性。
2026-03-03 cs.IT math.IT quant-ph
Construction and Performance of Quantum Burst Error Correction Codes for Correlated Errors
在实际的通信和计算系统中，错误主要发生在相邻的位置，而不是以随机的方式。在本文中，我们开发了一个稳定器形式主义的量子突发纠错码（QBECC），以打击这种错误模式的量子制度。我们的贡献如下。首先，我们推导出了QBECC的可纠正突发错误的上界，量子Reiger界（QRB）。这个界推广了标准量子纠错码（QECC）的量子单例界。其次，我们提出了两种构造QBECC的方法：一种是通过启发式计算机搜索，另一种是通过连接两个量子张量积码（QTPC）。我们得到了几个新的QBECC更好的参数比现有的代码具有相同的编码长度。此外，一些构造的代码可以饱和量子Reiger界限。最后，我们在马尔可夫相关去极化量子记忆信道上对我们构造的编码进行了数值实验，结果表明，在这种情况下，QBECC确实优于标准QECC。
2018-04-03 cs.IT math.IT
Spatially-coupled Split-component Codes with Iterative Algebraic Decoding
分析了一类适用于高速光纤通信系统的高性能、低译码数据流的纠错码。一个空间耦合的分裂组件合奏的定义，概括从最重要的代码这一类，楼梯码和编织块码，并保持确定性分区的组件代码位代码块。我们的分析集中在低复杂度的迭代代数解码，其中，对于二进制擦除信道，相当于剥离解码器的推广。使用微分方程方法，我们推导出一个向量递归，跟踪整个解码过程中的预期残差图的演变。使用势函数分析找到了递归的阈值。我们推广的分析混合集成组成的一个以上类型的组件代码，它提供了更大的灵活性集成参数，可以提高性能。分析扩展到二进制对称信道，假设误校正自由分量码解码。简单的上界的数目可校正的合奏推导。最后，我们分析了空间耦合分裂分量集成在超有界距离分量解码下的阈值。
2015-12-03 cs.IT math.IT
Fractional decoding of algebraic geometry codes over extension fields
该研究针对扩张域上的代数几何码，利用其在基域上的虚拟投影构造分式译码算法，可通过更少的基域符号纠错，两种实现情形分别给出纠错数界的差异特性与高概率超预期纠错的效果。
2024-04-10 cs.IT math.AG math.IT
Non-binary LDPC codes for Data Storage
University of Tartu（塔尔图大学）
本文研究q元域上非二进制LDPC码在q元擦除信道中的性能，引入终极距离概念，推导随机编码界，并提出寻找终极距离和最小距离的算法，构造达到终极距离的码例。
2026-05-27 cs.IT math.IT
Lifted Projective Reed-Solomon Codes
Laboratoire LIX, École Polytechnique, Inria & CNRS UMR 7161（LIX实验室，巴黎综合理工学院，Inria与CNRS联合研究单位7161）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）
本文研究了投影空间中提升的里德所尔码的定义、参数和局部纠正算法，并探讨了其与传统里德所尔码的联系及实际应用。
2018-09-04 cs.IT math.IT
Two Theorems in List Decoding
证明了关于纠错码的列表译码的下列结果：（i）证明了对于相对距离为$δ$的\textit{any}码，（在足够大的字母表上），以下结果对于\textit{random errors}成立：对于随机错误的$ρ\le δ-\eps$部分，（对于任何$\eps>0$），接收的字将仅具有在其周围的半径为$ρ$的汉明球中的发送码字。因此，对于随机错误，对于任何代码，可以校正两倍于从最坏情况错误唯一可校正的错误数量。我们的结果的一个变体也给出了一个简单的算法来解码里德-所罗门码的随机错误，据我们所知，运行速度比已知的算法在一定范围内的参数。(ii)我们表明，级联码可以实现删除列表解码能力。Guruswami和Rudra（SODA 08）证明了最坏情况下错误的类似结果，尽管他们的结果并不直接暗示我们的结果。我们的研究结果表明，Guruswami和Rudra所考虑的随机系综码的一个子集也实现了对擦除的列表解码能力。我们的证明采用简单的计数和概率参数。
2010-01-12 cs.IT math.IT
Constructions of Rank Modulation Codes
秩调制是一种对信息进行编码以校正闪存设备中的错误以及传输线中的脉冲噪声的方式。建模秩调制涉及构建配备Kendall tau距离的排列空间的包装。我们提出了几个一般结构的代码排列，涵盖了广泛的代码参数。特别是，我们展示了一些方法，其中传统的纠错码可以被修改，以纠正错误的肯德尔空间。我们构造的代码提供简单的编码和解码算法，基本上相同的复杂性，需要纠正错误的汉明度量。例如，从二进制BCH码，我们得到的代码纠正$t$肯德尔错误的$n$存储单元，支持$n!/(\log_2n!)^t$消息的顺序，对于任何常数$t= 1,2,...$。我们还构建家庭的代码，纠正的错误数量的增长与$n$在不同的速度，从$Θ(n)$到$Θ(n^{2})$。我们的一个构造产生了一个家庭的秩调制码的消息的数量和可纠正的肯德尔错误的数量之间的权衡接近最佳缩放率。最后，我们列出了构造有限长度码的一些可能性，并给出了具有特定参数的秩调制码的例子。
2011-10-12 cs.IT math.IT
Improved decoding of Folded Reed-Solomon and Multiplicity Codes
在这项工作中，我们展示了新的和改进的折叠Reed-Solomon码和多重码的纠错性能。这两类代码都是基于有限域上的多项式，并且都是编码理论最新进展的来源。折叠里德-所罗门码是已知的第一个实现列表解码能力的代码的显式构造;多元多重性码是高速率局部可纠正码的第一个构造;单变量多重性码也被认为可以实现列表解码能力。然而，以前的分析，这些代码的纠错性能没有得到最佳的结果。特别是，在列表解码设置，列表大小的保证是多项式的块长度，而不是常数;和多元多重性代码，本地列表解码算法不能超越约翰逊界。在本文中，我们表明，折叠Reed-Solomon码和多重码实际上是比以前已知的列表解码和本地列表解码的情况下。更确切地说，我们首先表明，折叠RS码实现列表解码能力与恒定的列表大小，独立的块长度;和高速率的单变量多重性代码也可以列表恢复与恒定的列表大小。使用我们的结果单变量多重性代码，我们表明，多变量多重性代码是高速率，本地列表可恢复的代码。最后，我们展示了如何将上述结果与标准工具相结合，以获得容量，实现本地列表可解码代码的查询复杂度显着低于以前已知的。
2018-05-03 cs.IT math.IT
Efficient Multi-Point Local Decoding of Reed-Muller Codes via Interleaved Codex
Reed-Muller码是一类重要的局部可纠错码。目前，Reed-Muller码的局部解码是基于直线或二次曲线上的解码来恢复单个坐标。为了同时恢复多个坐标，简单的方法是重复本地解码以恢复单个坐标。这种解码算法可能更昂贵，即，需要更高的查询复杂度。本文主要研究具有通常参数的Reed-Muller码，即计算多项式的总次数为$d=Θ({q})$，其中$q$是码的字母长度（实际上，$d$可以和$q/4$一样大）.通过引入新的法典变体，即，交织的codex（codex的概念已经用于算术秘密共享\cite{C11,CCX12}），我们能够以查询$O(q^2k)$坐标为代价，同时本地恢复Reed-Muller码的任意大数目的$k$坐标。我们对Reed-Muller码的局部解码表明（{ \it也许令人惊讶}），访问$k$位置实际上比重复访问单个位置的过程$k$次更便宜。我们对成功错误概率的估计是基于\cite{BR94}中给出的$t$线性独立变量的错误概率界。
2019-05-10 cs.CC cs.IT math.IT
On Maximally Recoverable Codes for Product Topologies
给定局部奇偶校验约束的拓扑结构，最大可恢复码（MRC）可以纠正所有信息理论上可纠正的擦除模式。在网格状拓扑中，在形成列代码的每一列中存在$a$局部约束，在形成行代码的每一行中存在$b$局部约束，并且在码字的$(m \times n)$网格中存在$h$全局约束。最近，Gopalan等人发起了网格拓扑下的MRC的研究，并导出了当$a=1, h=0$时擦除模式可恢复的充要条件，称为正则性条件。在本文中，我们考虑MRCs的产品拓扑（$h=0$）。首先，我们基于满足乘积拓扑正则性条件的擦除模式（任意$a, b$，$h=0$）构造了一个二部图，并证明了该图中存在完全匹配.然后，我们提出了一个替代的充分条件时，$a=1, h=0$的直接证明。我们后来扩展我们的技术来研究$a=2, h=0$的拓扑结构，并在这种情况下，可恢复的擦除模式的子集的特征。对于两个$a=1, 2$，我们的证明方法是统一的，即，通过构造列和行代码的生成矩阵的张量积$G_{\text{col}} \otimes G_{\text{row}}$，使得某些正方形子矩阵保持满秩。满秩条件证明诉诸匹配确定较早，也在擦除子模式的另一组匹配。
2018-01-10 cs.IT math.IT
Quantum State Compression with Polar Codes
针对 Schumacher 量子压缩电路复杂度高的问题，论文提出基于经典伴随式信源编码与 polar codes 的量子态压缩方案，并通过量子连续抵消解码完成仿真验证。
2024-02-28 cs.IT math.IT quant-ph
Constructions of maximally recoverable local reconstruction codes via function fields
局部重构码（LRC）允许基于仅几个其它码字符号以局部方式从少量擦除恢复。最大可恢复（MR）LRC提供了这种局部和全局容错的最佳可能混合，保证从所有擦除模式中恢复，这些擦除模式在存在局部恢复组的情况下是信息理论上可校正的。在$(n,r,h,a)$ -LRC中，将$n$码字符号划分成$r$不相交组，每个不相交组包括能够局部校正$a$擦除的$a$局部奇偶校验。MR LRC最近受到了广泛的关注，许多显式的结构涵盖了不同的参数范围。不幸的是，所有已知的构造都需要在$h$或$a$中呈指数的大的场尺寸，并且感兴趣的是获得最小可能场尺寸的MR LRC。在这项工作中，我们开发了一种基于函数场的方法来构建MR LRC。我们的方法恢复，并在大多数参数制度改善，以前的方法的字段大小。例如，对于小$r \ll ε\log n$和大$h \ge Ω(n^{1-ε})$的情况，我们将字段大小从大致$n^h$改进为$n^{εh}$。对于$a=1$（一个局部奇偶校验）的情况下，我们提高了字段大小的平方从$r^{h(h+1)}$到$r^{h \lfloor (h+1)/2 \rfloor}$为一定范围的$r$。改进是适度的，但更重要的是通过一个有前途的新想法以统一的方式获得。
2018-08-14 cs.CC cs.DM cs.IT
Error correction based on partial information
我们认为解码的线性和阵列码的错误时，我们只允许下载的码字的一部分。更具体地，假设我们已经使用具有码长$n$和维数$k.$的$(n,k)$码对$k$数据符号进行了编码。在存储期间，某些码字坐标可能被错误破坏。我们的目标是恢复原始数据，通过读取损坏的码字与传输带宽的限制，即，我们只能下载损坏的码字的$α$比例。对于一个给定的$α,$，我们的目标是设计一个代码和解码方案，使我们可以恢复原始数据从最大可能数量的错误。一种简单的方案是读取码字的$αn$坐标。此方法与MDS代码结合使用，可保证从任何$\lfloor(αn-k)/2\rfloor$错误中恢复。在本文中，我们表明，我们可以改为读取$α$比例从每个码字的坐标。对于设计良好的MDS码，该方法可以保证从$\lfloor (n-k/α)/2 \rfloor$错误中恢复，该错误是原始方法的$1/α$倍，并且也是$(n,k)$码可以通过仅下载码字的$α$部分来纠正的最大错误数量。我们提出了两个家庭这样的最佳结构和解码方案。一种是在子场中具有评估点的Reed-Solomon码，另一种是基于折叠Reed-Solomon码。我们进一步表明，这两个代码的建设达到渐近最佳列表解码半径时，只下载一部分损坏的码字。我们还构建了一个合奏的随机码，具有很高的概率接近上界的可纠正的错误的数量时，解码器下载的损坏的码字的$α$比例。
2018-10-09 cs.IT math.IT
Constant Query Local Decoding Against Deletions Is Impossible
本文证明了在插入/删除信道下，常数查询的局部可解码码（LDC）不存在，解决了Block等人的猜想，并推论局部可校正码也不存在。
2023-11-14 cs.DS cs.IT math.IT
Singleton-Optimal Rank-Metric CSS Codes : Equality Structure and Exact Projected-Recovery Radii
DGIST（大邱科学技术院）
本文证明秩度量CSS码的非对称Singleton界并刻画等式结构，揭示堆叠架构中稳定子码的精确投影恢复半径优势，并构造达到最优解码半径的显式码族。
2026-09-30 cs.IT math.IT
