Twenty-five years of two-dimensional rational conformal field theory
Jürgen Fuchs, Ingo Runkel, Christoph Schweigert
本文试图对近二十五年来二维有理共形场论的发展作一个简明的全景式的介绍。
In this article we try to give a condensed panoramic view of the development of two-dimensional rational conformal field theory in the last twenty-five years.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The idea of "summing over all intermediate states" that is central for implementing locality in quantum systems can be realized by coend constructions. In the concrete case of systems of conformal blocks for a certain class of conformal vertex algebras, one deals with coends in functor categories. Working with these coends involves quite a few subtleties which, even though they have in principle already been understood twenty years ago, have not been sufficiently appreciated by the conformal field theory community.
Galois currents and the projective kernel in Rational Conformal Field Theory
本文介绍了有理共形场论中伽罗瓦流的概念，并用简单的例子加以说明。这导致了所有理论的自然划分为两类，这取决于非平凡伽罗瓦电流的存在。作为应用，RCFT的投影核，即由单位的标量倍数表示的所有模变换的集合，被描述为一个小的易于计算的不变量。
Notes on Orientifolds of Rational Conformal Field Theories
我们回顾和发展了在有理共形场论中与宇称对称性相关的交叉态的构造。本文给出了在阿贝尔轨道模型中构造交叉态的一般方法。然后，它被应用到有理U（1）和parafermion系统，在那里，我们还研究了相应的宇称的几何解释。
Twenty Years of the Weyl Anomaly
1973年，萨拉姆的两个门徒（德里克·卡珀和作者）发现，经典无质量场系统在与引力相互作用时所表现出的度规张量$g_{μν}(x)\rightarrowΩ^2(x)g_{μν}(x)$在外尔重标度下的共形不变性在量子理论中不再存在。从那以后，这些外尔反常现象在黑洞物理学、宇宙学、弦论和统计力学中得到了广泛的应用。我们给一个怀旧的评论。(Talk在{ \it Salamfest}，ICTP，的里雅斯特，1993年3月。
Rational conformal field theory with matrix level and strings on a torus
共形场论和分数量子霍尔效应激发了对矩阵级仿射代数$U_{m,K}$的研究。Gannon完成了$U_{m,K}$模不变配分函数的分类。这里我们把代数$U_{2,K}$与有理共形场论可描述的2-环面上的弦联系起来。正如古科夫和瓦法所证明的，理性选择复数乘法环面。我们指出，描述复数乘法环面上弦的有理共形场论具有与矩阵级代数$U_{m,K}$相同的特征和配分函数。这种联系表明，有理理论在$T^m$上的弦模空间中是稠密的，并且可以证明在其他方面是有用的。
Surface operators in 3d Topological Field Theory and 2d Rational Conformal Field Theory
研究了三维拓扑场论中的曲面算子及其与二维有理共形场论的关系。我们表明，一个表面操作员引起一致的粘合的手性和反手性部门的二维RCFT。所得到的二维RCFT的代数性质，如保序边界条件的分类，表示在表面算子的属性。我们表明，每一个表面运营商可以附加一个森田等价类的对称Frobenius代数的带状范畴散装线运营商。这提供了一个简单的解释的结果Fuchs，Runkel和Schweigert的建设2D RCFTs从Frobenius代数。我们还表明，每一个拓扑边界条件在3D TFT产生一个交换Frobenius代数的散装线运营商的范畴。我们说明了这些一般性的考虑，通过详细研究在阿贝尔陈-西蒙斯理论的表面运营商。
Congruence subgroups and rational conformal field theory
本文讨论了RCFT的特征标是否是某个水平N的模函数的问题，即来自任何RCFT的模群SL 2（Z）的表示是否在某个同余子群上是平凡的.我们证明了如果矩阵T，与$(\matrix{1&1\cr 0&1})\in{\rm SL}_2(\Z)$，有奇阶，那么这一定是。当T的阶是偶数时，我们提出一个简单的测试，如果满足-我们猜想它总是-意味着RCFT的字符也将是N级。我们用这个来解释三个奇怪的观察RCFT由不同的作者。
Notes on the Verlinde formula in non-rational conformal field theories
我们审查和扩展的证据，特别是非理性的共形场论的有效性的广义Verlinde公式。我们确定了一个子集的手征代数表示的非理性共形场论，产生一个模拟的模块S-矩阵和融合系数之间的关系，在理性共形场论。为此，我们回顾和扩展的Cardy型膜计算玻色子和超对称刘维理论（及其双曲），以及在双曲三平面H 3+。我们详细地分析了Liouville理论和H ~（3+）的三点函数，从算子乘积展开中直接确定了熔合系数。
Fusion Algebras and Characters of Rational Conformal Field Theories
我们引入了（非退化）强模融合代数的概念。这里的强模意味着融合代数是通过Verlinde公式由其核包含同余子群的模群的表示导出的。此外，非退化意味着可能的基本有理共形场论的共形维数不会相差整数。我们的第一个主要结果是分类的所有强模融合代数的第二，第三和第四和分类的所有非退化强模融合代数的维数小于24。其次，我们证明了W-代数的各种有理模型的共形特征标可以仅仅由中心荷和共形维数集的知识来确定。我们还描述了如何通过使用与某些格相关联的θ级数来实际构造共形特征标。在我们的方式，我们开发了几个工具，用于研究表示的模群空间的模函数。这些方法在这里只适用于某些有理共形场论，但对于分析有理模型一般是有用的。
Semi-Classical Blocks and Correlators in Rational and Irrational Conformal Field Theory
无理共形场论的广义Knizhnik-Zamolodchikov方程提供了有理和无理共形场论的统一描述。从这些方程已知的高层次解出发，我们首先构造了单g上所有仿射Sugawara和陪集构造的高层次共形块和关联函数。使用从这些情况下获得的直觉，我们然后确定一个简单的类的非理性过程，其高层次的块和关联函数，我们也能够构建。
The non chiral fusion rules in rational conformal field theories
本文介绍了一种一般的方法来构造确定有理共形场论的算子积代数的算子含量的非手征融合规则。我们特别感兴趣的是具有循环中心Zn的模不变配分函数的互补类D解的模型。我们发现非手征熔合规则具有Zn分级结构。
Boundary States of c=1 and 3/2 Rational Conformal Field Theories
研究了c=1共形和c=3/2超共形场论模空间中有理点的边界态，包括孤立的Ginsparg点.我们使用的orbifold和简单的电流技术，涉及到不同的理论的边界状态，并获得破缺，非Cardy边界状态。我们展示了一些有趣的例子，分数和扭曲的膜上的orbifold空间。
Extended SL(2,R)/U(1) characters, or modular properties of a simple non-rational conformal field theory
我们定义了扩展的SL（2，R）/U（1）特征标，它包括绕扇区的和。通过将这些特征标嵌入到N=2代数的相似扩张特征标中，证明了它们具有良好的模变换性质。我们计算这个简单但非平凡的非有理共形场论的模矩阵。结果表明，在陪集共形场论中，离散SL（2，R）表示与连续SL（2，R）表示在模变换下是混合的。我们评论的意义，我们的结果的一般理论的非理性共形场论。
The representations of Temperley-Lieb-Jones algebras
由有理共形场论得到的辫群表示可以用来得到Temperley-Lieb-Jones代数的显式表示。详细描述了SU（2）$_k$ Wess - Zumino共形场论的方法，并概述了它对任意有理共形场论的推广。本文给出了这种共形理论的共形块空间中的一个矩阵元的相关线性迹运算的明确定义。进一步地，对于有理共形场论的每一个准素场，都存在具有平凡相对交换子的超有限II $_1$因子的子因子。利用四点算子共形块的对偶矩阵的单位元给出了子因子的指数。子因子的指数（$<$ 4）的Jones公式对应于SU（2）$_k$ Wess-Zumino共形场论的自旋${\frac{1}{2}}$表示。跟踪操作的定义还提供了一种显式获取链接不变量的方法。
Knot invariants from rational conformal field theories
本文提出了一个从任意有理共形场论研究纽结和链环不变量的框架。特别地，研究了极小模型、超共形模型和$W_N$模型。这些不变量与从Wess-Zumino模型中获得的不变量相关，这些模型与陪集表示相关。可能的陈-西蒙斯表示这些模型也表明。这概括了早期的工作结和链接不变量从陈-西蒙斯理论。
Rational Conformal Field Theories and Complex Multiplication
本文研究了二维有理共形场论的几何解释，对应于Calabi-Yau流形上的西格玛模型。我们详细研究了对应于T^2目标的RCFT，并将Cardy膜与几何膜区分开来。导致RCFT的T^2允许“复数乘法”，这将Cardy膜刻画为特定的D 0-膜。本文给出了共形西格玛模型对任意Calabi-Yau n重均为RCFT的条件，与已知的情形一致.再加上数学家最近的研究，有理共形理论在所有共形理论的空间中似乎并不稠密，有时对于n>2的卡-丘n重来说似乎是有限的。K3上的RCFT可能很密集。我们推测这些特殊的点的意义，在模空间的Calabi-Yau n-折叠与冻结几何模。
A Rational Logarithmic Conformal Field Theory
我们分析了三元组代数的表示的融合，三元组代数是维拉索罗代数在c=-2的最大扩展对称代数。它表明，存在有限数量的表示是封闭下融合。这包括所有的不可约表示，但也有一些可约表示出现在融合产品的不可分解的成分。
On Classification of Fermionic Rational Conformal Field Theories
本文利用共形特征标的整性及其在主同余子群下的不变性约束中心荷与共形权，改进全纯模引导方法，推进独立特征标少于五个的二维费米子有理共形场论分类。
Minimally Extended Current Algebras of Toroidal Conformal Field Theories
本文研究环面共形场论，提出将配分函数分解为$\widehat{\mathfrak{u}}(1)$流代数最小扩展特征的显式构造，证明其普适性并通过二维和三维目标空间环面实例说明。
We consider classical and quantum integrable sigma models and their relations with the solutions of renormalization group equations. We say that an integrable sigma model possesses the "nice" duality property if the dual quantum field theory has the weak coupling region. As an example, we consider the deformed $CP(n-1)$ sigma model with additional quantum degrees of freedom. We formulate the dual integrable field theory and use perturbed conformal field theory, perturbation theory, $S$-matrix, Bethe Ansatz and renormalization group methods to show that this field theory has the "nice" duality …
Global Conformal Invariance and Bilocal Fields with Rational Correlation Functions
一对（整数）维$d$的\textit{globally conformal invariant}（GCI）标量场$ϕ$的\textit{operator product expansion}（OPE）的奇异部分可以写为$ϕ$和$d-1$维$(ν, ν)$的双局部共形场$V_ν(x_1, x_2)$的2点函数之和，$ν= 1, ..., d-1$。由于$ϕ(x)$的关联函数被证明是有理的[6]，我们认为$V_ν$的关联函数也可以假设是有理的。每个$V_ν(x_1, x_2)$被展开成\textit{twist}（维数减秩）$2ν$的局部对称张量场。本文简要回顾了以前考虑过的$d=2$情况，并对$d=4$情况（4个时空维中的拉格朗日密度）的当前工作进行了展望。
Topological conformal field theory with a rational W potential and the dispersionless KP hierarchy
本文提出了一类新的拓扑共形场论（TCFT），它的特征是有理$W$势，它包括A型和D型的极小模型作为它的子类.通过在一个特定的小相空间中求解基本的无色散KP体系，得到了$W$势的显式形式。我们还讨论了在大相空间中的无色散KP族，通过重新制定的层次，并表明，$W$潜力采取一种普遍的形式，这不依赖于一个特定的形式的解决方案在一个大的空间。
Hopf and Frobenius algebras in conformal field theory
本文包含了两类不同的共形场论的相关结果。我们部分处理理性的共形场论，但也得到的结果，旨在更好地理解对数共形场论。对于有理共形场论，我们将三维拓扑场论中的构造算子满足相容性条件的证明推广到具有缺陷线的定向世界片.我们还推导出一个分类代数的缺陷。这是复数上的半单交换结合代数，其一维表示与理论的拓扑亏线成双射。然后，我们放松了半单性条件的理性共形场论，并考虑一个更大的类别，包含非半单的，这是相关的对数共形场论。对任意有限维可分解带Hopf代数H，我们得到了H上双模范畴中的一族对称交换Frobenius代数。对于任何这样的Frobenius代数，它可以被构造为一个余，我们关联到任何黎曼曲面的一个态射的双模范畴。我们证明了这个态射在黎曼曲面的映射类群的投射作用下是不变的。这建议将这些态射视为完全共形场论的体场相关器的候选者，其手征数据由H上的左模范畴描述。
Automorphisms of W-Algebras and Extended Rational Conformal Field Theories
许多扩展的共形代数与一个发电机除了Virasoro领域以及Casimir代数有非平凡的外部自同构，使之能够施加“扭曲”的边界条件的手征领域。我们研究了它们对最高权表示的影响。给出了两个生成元的W-代数级数的扩大有理共形场论的公式，并猜想了Casimir代数极小级数的附加模型的一般公式.第三个系列的W-代数与两个发电机，其中包括自旋三代数在$c=-2$也有许多额外的领域在扭曲的部门，虽然模型本身显然是不合理的。扭曲扇区中的附加场在统计力学中有应用，正如我们对具有特定类型边界条件的$Z_n$ -量子自旋链所证明的那样。
Arithmetic of Calabi-Yau Varieties and Rational Conformal Field Theory
有人建议，从算术代数几何的某些技术提供了一个框架，这是有用的制定一个直接和内在的联系之间的几何卡-丘流形和基本的共形场论。具体地指出了如何由代数簇的Artin同余zeta函数所确定的上同调Hasse-Weil L-函数的数论结构导出由共形场论的融合规则所确定的代数数域.在这种情况下，自然数理论的表征出现在这个几何确定的代数数域的量子尺寸。
A new Rational Conformal Field Theory extension of the fully degenerate W_{1+\infty}^{(m)}
得到了Dedekind η-函数、W_{m}代数的特征标和一级仿射李代数su（m）_{1}的特征标之间的新恒等式.它们允许将m分量自由玻色子u（1）_{ K_{m,p} }的Z_{m}轨道折叠（我们的理论TM）刻画为W_{1+infty} ^{（m）}的完全简并表示的扩展。特别地，TM被证明是手性完全简并W_{1+infty} ^{（m）}的Gamma _{theta}-RCFT扩展.
We calculate the time dependence of the reflected entropy of two disconnected regions after a global quench in $(1+1)$-dimensional conformal field theories and in large temperature limit. For rational conformal field theories, we find that the time evolution of the reflected entropy is the same as that of the mutual information. We get the same result for holographic theories in the limit where the separation between disconnected regions is much smaller than their respective sizes. We discuss how this result is consistent with the quasi-particle picture of Calabrese and Cardy \cite{calabrese-c…
Polyakov's String: Twenty Five Years After
2005年6月，一个专门纪念波利亚科夫弦周年的国际研讨会（当然今天没有必要提醒这个理论的意义和作用）在莫斯科举行。除了Polyakov的弦论第一次出现的25周年，这次会议，在我们看来，也可以被认为是共形不变性发现的35周年，单极子和瞬子的30周年，最后，作为CFT的20周年。一个神秘的巧合，今年也是萨沙本人的周年纪念，他对20世纪理论物理学的贡献远远没有被上述成就所耗尽。
Towards a Classification of Fusion Rule Algebras in Rational Conformal Field Theories
本文综述了有理共形场论的融合规则代数的主要内容。在阐述了它们的一般性质后，我们研究了低字段数完全分类（$\leq 4$）的已知结果。然后，我们把我们的注意力集中到FRA的多项式生成的一个（实）基本字段，其中的分类是已知的。为了推广这个结果，我们描述了FRA和图论之间的一些联系。简要讨论了在这种"图“方法之后获得新结果的可能性。
Conformal invariance and rationality in an even dimensional quantum field theory
Minkowski空间中有限保角变换下的不变性和Wightman公理暗示了强局部性（惠更斯原理）和关联函数的合理性，从而提供了顶点代数概念向高维的扩展。吉布斯（有限温度）的期望值出现在保形时间的椭圆函数。本文综述并进一步研究了闵可夫斯基时空中尺度为四维的厄米标量场L的全局共形不变模型，该模型可以解释为规范场理论的拉格朗日密度。
Invertible defects and isomorphisms of rational CFTs
给定两个二维共形场论，它们之间的畴壁--或缺陷线--被称为可逆的，如果有另一个缺陷与同一缺陷融合。如果一个缺陷对于应力张量是透明的，则称之为拓扑缺陷。两个CFTs之间的共形同构是它们的状态空间之间的线性同构，其保持应力张量并且与算子乘积展开相容。我们发现，对于理性的CFTs有一个可逆的拓扑缺陷和共形同构之间的一一对应，如果都保持合理的对称性。这种对应与构图是一致的。
Fusion Algebras of Fermionic Rational Conformal Field Theories via a Generalized Verlinde Formula
我们证明了费米子有理共形场论的Verlinde公式的推广。费米子理论的融合系数等于其玻色子投影的融合系数之和。特别地，连接两个共轭Ramond场的费米理论的融合系数是1或2。因此，人们不得不弱化费米子理论的融合代数公理。我们证明了在特殊情况下的费米子W（2，d）-代数，这些系数的水平子代数上的最高权的不可约表示的维数。作为具体例子，我们讨论了费米子W（2，d）-代数的有理模型的融合代数，包括$N=1$超维拉索罗代数和$N=1$超W-代数SW（3/2，d）的极小模型.
Globally conformal invariant gauge field theory with rational correlation functions
将标量场与其共轭场乘积的算子乘积展开表示为维数为（k，k）的双局部场V_k（x_1，x_2）的无穷和.对于{ \it全局共形不变量}（GCI）理论，我们将V_k的OPE记为一系列{ \it twist}（维数减秩）2k对称无痕张量场，其系数由标量场的（有理）4点函数计算.我们证明了D = 4 Minkowski空间中的四维GCI厄米标量场L（x）使得一对L和一个2维或4维标量场的三点函数为零的理论可以解释为具有拉格朗日密度L（x）的规范理论中共形不变不动点的定域观测量理论.
c=2 Rational Toroidal Conformal Field Theories via the Gauss Product
通过Gauss积，我们找到了有理Narain格$Γ(τ,ρ)$的模$τ, ρ$与相应的左右手征代数的动量格之间的一个简洁关系.作为一个副产品，我们发现一个身份，计数的基数一定的双陪集空间定义的等距之间的判别形式的秩二格。
Rational Conformal Field Theories With G_2 Holonomy
本文研究了在紧致七维流形上传播的弦的共形场论。特别是，我们描述了这种模型的合理的例子的建设。我们认为Gepner模型的类似物不是基于N=1的极小模型，而是基于N=2的模型的Z_2轨道。在Gepner模型的Z_2轨道乘以一个圆，结果表明，除非所有的水平是均匀的，没有新的Ramond基态从扭曲的部门。在诸如五次Calabi-Yau的例子中，这反映了这样一个事实，即经典的几何orbifold奇点不能在不违反G_2完整性的情况下被解决。我们还评论了超对称边界状态在这样的理论，这对应于D-膜包装超对称循环的几何。
Hodge Structures of Complex Multiplication Type from Rational Conformal Field Theories
该研究证明特定幺正有理$\u200b\mathcal{N}=(2,2)$共形场论结合Cardy边界态生成元可导出复乘型有理Hodge结构，验证了其与Calabi-Yau靶空间中间维上同调结构的一致性，并通过极小模型与Gepner模型例证了结论。
2D Fractional Supersymmetry for Rational Conformal Field Theory. Application for Third-Integer Spin States
用代数方法构造了一个二维分数阶超对称理论。拉格朗日是使用一个自适应的超空间，包括，除了一个标量场，两个领域的自旋1/3，2/3。这个理论是一个有理的共形场论。该模型的对称性超越了超维拉索罗代数，并将这些第三整数自旋态连接起来。除了应力-动量张量外，我们还得到了自旋为4/3的超流。为了封闭代数，涉及了三次关系;基本代数不再是李代数或超李代数。该模型的中心荷为5/3。最后，我们分析了局部不变作用应该采取的形式。
Polynomial Fermionic Forms for the Branching Functions of the Rational Coset Conformal Field Theories $\widehat{su}(2)_{M}\times \widehat{su}(2)_{N}/\widehat{su}(2)_{M+N}$}
给出了有理陪集共形场论$\widehat{su}(2)_{M}\times \widehat{su}(2)_N/\widehat{su}(2)_{M+N}$分支函数的一般费米子表达式。的玻色子和费米子表示的分支函数的平等证明通过引入多项式截断这些分支函数的配置和的RSOS模型在政权III。RSOS模型的路径空间解释提供了配置和的递归关系。利用伸缩展开技术证明了费米子表达式的递推关系。通过对偶变换$q\rightarrow q^{-1}$，得到了与$Z_{M+N}$ -仿费米子共形场论分支函数相对应的区域Ⅱ RSOS模型的组态和。
We define Modular Linear Differential Equations (MLDE) for the level-two congruence subgroups $Γ_\vartheta$, $Γ^0(2)$ and $Γ_0(2)$ of $\text{SL}_2(\mathbb Z)$. Each subgroup corresponds to one of the spin structures on the torus. The pole structures of the fermionic MLDEs are investigated by exploiting the valence formula for the level-two congruence subgroups. We focus on the first and second order holomorphic MLDEs without poles and use them to find a large class of `Fermionic Rational Conformal Field Theories', which have non-negative integer coefficients in the $q$-series expansion of thei…
Galois groups in rational conformal field theory II. The discriminant
在任何共形场论中，我们将熔合环的多项式关系的判别式表示为模矩阵行的-2次方的乘积。判别式被证明是一个整数，总是，这是一个产品的素数划分的水平。给出了所有WZW共形场论的判别式的详细公式。
Affine orbifolds and rational conformal field theory extensions of W_{1+infinity}
手征轨道模型被定义为具有有限规范群$Γ$的规范场。我们从一个共形流代数A开始，A与一个连通的紧李群G和它的李代数上的一个负定积分不变双线性型相关联。任何内自同构的有限群$Γ$或A（特别是G的任何有限子群）都产生一个具有局部可观测量的手征子代数$A^Γ\subset A$的规范理论，该子代数在$Γ$下不变。构造了一组正能量$A^Γ$模，在对$Γ$的某些假设下，其特征标跨越$SL(2,Z)$的有限维酉表示.我们计算它们的渐近维数（从而挑出非平凡的orbifold模块），并找到明确的公式的模块化变换，因此，融合规则。作为应用，我们构建了$W_{1+\infty}$的一系列有理共形场论（RCFT）扩展，这些扩展似乎在量子霍尔效应的两种方法之间提供了桥梁。
Duality and defects in rational conformal field theory
研究了二维有理共形场论中的拓扑亏损线。这种缺陷位置的连续变化不会改变相关器的值。在我们的讨论中包括了具有相同手征对称性的局部CFTs的不同相的分离缺陷。我们展示了如何得到的一维相边界可以用来提取对称性和有序无序对偶的CFT。以中心荷c=4/5的情况为例，讨论了四临界伊辛模型和临界三态Potts模型的两个不等价的世界片相.
A family of solvable non-rational conformal field theories
我们发现非理性的共形场论在二维，这是可解的，因为它们的分解子是相关的刘维理论的分解子。它们的对称代数由二维应力-能量张量和二维一维场组成。这些理论都有两个参数：中心荷c和复数m。特殊情况m=0对应于刘维尔理论（加上两个自由玻色子），m=1对应于H3+模型。在m=2的情况下，我们证明了该算子服从与对称代数的次奇异向量相关联的三阶微分方程。
Modular Invariance and Uniqueness of Conformal Characters
证明了只要已知W-代数的中心荷和共形维数，就可以唯一地确定W-代数的各种有理模型的共形特征标。作为一个侧面的结果，我们开发了几个工具来研究SL（2，Z）的表示空间的模函数。这些方法在这里只适用于某些有理共形场论，但对许多其他场论的分析可能是有用的。
Rationality, quasirationality and finite W-algebras
本文分析了由朱的C_2条件导出的一些结果。特别地，证明了满足C_2条件的共形场论都只有n个n点函数，并利用这个结果证明了Nahm猜想的一个版本，即这种共形场论的每一个表示都是拟有理的.证明了每个顶点算子代数都是有限W-代数，并给出了其特征标收敛性和融合规则有限性的直接证明。
Boundary Conditions in Rational Conformal Field Theories
我们进一步发展的理论，合理的共形场论（RCFTs）的圆柱体上指定的边界条件，强调的作用，一个三元组的代数：Verlinde，图形融合和Pasquier代数。我们发现，解决卡迪方程，表示一致性的RCFT上的圆柱，是相当于找到整数值矩阵表示的Verlinde代数。这些矩阵允许我们自然地将图$G$与每个RCFT相关联，使得共形边界条件由$G$的节点标记。这种方法进行到完成$sl(2)$理论导致完整的共形边界条件，其相关的圆柱配分函数和$A$ - $D$ - $E$分类。我们还回顾了WZW $sl(3)$理论的现状。最后，一个系统的概括的Cardy-Lewellen的形式主义的发展，以允许多重性所产生的更一般的表示的Verlinde代数。我们获得的散装边界系数的信息，并重现相关的代数结构的缝纫约束。
Three Generations of SUSY Standard Model of Nambu-Goto String
从一个26维玻色弦出发，构造了一个四维超弦。费米子是通过注意曼塞尔的1+1维中两个费米子等价于一个玻色子的证明而引入的。超弦的作用在SO（6）$\times$ SO（5）下是不变的。它有四个玻色子坐标和SO（3，1）的二十四个Majorana费米子，代表两个横模的超费米子和共形鬼（b，c）。超共形鬼波（$β, γ$）是两个超费米子剩余纵模的扩展希尔伯特空间的量子。通过量子化作用量得到的无质量谱包含SO（6）$\times$ SO（5）的生成元矢量介子。利用威尔逊圈证明了这个乘积群在不破缺超对称性的情况下下降到$Z_3\times SU(3)\times SU(2)\times U(1)$，从而只存在三代夸克和轻子。
Galois Groups in Rational Conformal Field Theory
在有理共形场论（RCFT）中的融合环可以被描述为多项式环，具有整数系数，模某些关系。我们使用这些关系的伽罗瓦群，以获得一个局部的一组方程的融合品种的点。这些方程足以将所有的RCFT、Galois群按Galois群分类。证明了Galois群等价于伪RCFT群。我们证明了在RCFT中遇到的伽罗瓦群都是阿贝尔群，这意味着模矩阵的根是可解的。
The classification scheme for rational conformal field theories, given by the Mathur-Mukhi-Sen (MMS) program, identifies a rational conformal field theory by two numbers: $(n, l)$. $n$ is the number of characters of the rational conformal field theory. The characters form linearly independent solutions to a modular linear differential equation (which is also labelled by $(n, l)$); the Wronskian index $l$ is a non-negative integer associated to the structure of zeroes of the Wronskian. In this paper, we compute the $(n, l)$ values for three classes of well-known CFTs viz. the WZW CFTs, the Vira…
Disk one-point function for non-rational conformal theories
本文研究了一类非有理共形场论在共形边界存在下的无限族。最近在arXiv：0803.2099中提出的这些理论由两个实数（b，m）参数化，使得相应的中心荷c_{b,m}由c_{b,m} =3+6（b+b^{-1}（1-m））^{2}给出。对于磁盘的几何形状，我们明确地计算的期望值的情况下，m \in Z的批量顶点操作，使结果减少到刘维一点函数时，m=0。我们用两种不同的方法计算了圆盘单点函数，得到了完全一致的结果，并给出了路径积分和自由场导数的详细计算结果。
Tensor categories and the mathematics of rational and logarithmic conformal field theory
本文综述了由顶点算子代数的表示构造辫张量范畴和模张量范畴的方法，它们对应于物理学中的手征代数。作为这种构造的基础的广泛和一般的理论也建立了交织算子的算子乘积展开，其对应于手征顶点算子，并且更一般地，它建立了对数交织算子的对数算子乘积展开。本文回顾了张量积双函子和结合同构的构造思想。对于有理和对数共形场论，我们回顾了产生辫张量范畴的精确结果，以及在有理的情况下，模张量范畴。在有理共形场论的情况下，我们也简要地讨论了Wess-Zumino-Novikov-Witten模型的模张量范畴的构造，特别是最近关于这一重要特例的模张量范畴的基本刚性性质的证明的发现.在对数共形场论的情况下，我们提到了三元组\mathcal{W} -代数的模的合适范畴，作为我们的辫子张量范畴结构的一般构造的应用的一个例子。
We study 't Hooft anomalies of symmetry-enriched rational conformal field theories (RCFT) in (1+1)d. Such anomalies determine whether a theory can be realized in a truly (1+1)d system with on-site symmetry, or on the edge of a (2+1)d symmetry-protected topological phase. RCFTs with the identical symmetry actions on their chiral algebras may have different 't Hooft anomalies due to additional symmetry charges on local primary operators. To compute the relative anomaly, we establish a precise correspondence between (1+1)d non-chiral RCFTs and (2+1)d doubled symmetry-enriched topological (SET) ph…
We study the connection between Rational Conformal Field Theory (RCFT), $N=2$ massive supersymmetric field theory, and solvable Interaction Round the Face (IRF) lattice models. Specifically, one identifies the fusion rings with the chiral rings. The theories so obtained are conjectured, and largely shown, to be integrable. A variety of examples and the structure of the metric in moduli space are given. The kink scattering theory is given by the Boltzmann weights of an IRF model, which is built entirely in terms of the conformal data of the original RCFT. This procedure produces all solvable IR…
Product Expansions of Conformal Characters
我们描述了几个有理共形场论的无穷级数，它们的共形特征是模单位，即它们是在上复半平面中没有零点或极点的模函数，因而具有简单的乘积展开式。我们猜想Casimir W-代数的某些有理模型的无穷级数总是具有这个性质。此外，我们描述了一个算法，可以用来证明是否一个模块功能是一个模块单元或没有。
We study deformations of the quantum conformal mechanics of De Alfaro-Fubini-Furlan with rational additional potential term generated by applying the generalized Darboux-Crum-Krein-Adler transformations to the quantum harmonic oscillator and by using the method of dual schemes and mirror diagrams. In this way we obtain infinite families of isospectral and non-isospectral deformations of the conformal mechanics model with special values of the coupling constant $g=m(m+1)$, $m\in {\mathbb N}$, in the inverse square potential term, and for each completely isospectral or gapped deformation given b…
Rational Conformal Field Theory and Multi-Wormhole Partition Function in 3-dimensional Gravity
研究了具有正宇宙学常数的欧氏Chern-Simons-Witten引力配分函数的Turaev-Viro不变量。在解释了为什么它可以被确定为三维重力的配分函数之后，我们证明了TV不变量的初始数据可以从某类有理共形场论的对偶数据中构造出来，并且特别地，原始Turaev-Viro的初始数据与$A_{k+1}$模块化不变量WZW模型相关联。作为推论，我们证明了配分函数$Z(M)$由$Z((S^2\times S^1)^{\sharp g}) =(S_{00})^{-2g+2}\sim Λ^{-\frac{3g-3}{2}}$上界，其中$g$是可由Hegaard分裂表示$M$的最小类元.如果$M$既不是$S^3$也不是透镜空间，则$Z(M)$在$Λ\sim +0$附近通常非常大，并且在$g$的“虫洞数目”变大时，$Z(M)$通常倾向于更快地发散的意义上，多虫洞配置在$Λ\sim +0$附近占优势。
Heisenberg and Modular Invariance of N=2 Conformal Field Theory
给出了有理N=2超共形场论扭曲特征标的θ函数表示，并讨论了在有限Heisenberg群和模变换作用下，固定中心荷的扭曲特征标的类Jacobi函数性质.
Braiding in Conformal Field Theory and Solvable Lattice Models
研究了有理共形场论中的编织矩阵。利用块的全纯性质和有理共形场论的全纯性质，一般地计算了任意两块四点函数的编织矩阵。对$SU(N)_k$的编织进行了评价，并作为实例。由这些辫状矩阵构造了面格子模型周围的可解相互作用，并给出了它们的Boltzmann权。这允许，特别是，用于推导的玻尔兹曼权重的这种可解的高度模型。
Hecke operators relate characters of rational conformal field theories (RCFTs) with different central charges, and extend the previously studied Galois symmetry of modular representations and fusion algebras. We show that the conductor $N$ of a RCFT and the quadratic residues mod $N$ play an important role in the computation and classification of Galois permutations. We establish a field correspondence in different theories through the picture of effective central charge, which combines Galois inner automorphisms and the structure of simple currents. We then make a first attempt to extend Heck…
On the classification of fusion rings
有理共形场论的融合规则和模矩阵服从一系列性质。我们使用这些属性来分类合理的共形场论不超过六个主要领域和小值的融合系数。我们给出一个目录的融合环，可以出现这些场论。结果表明，所有这样的融合规则可以实现的电流代数。我们的结果支持了所有有理共形场论都与流代数有关的猜想。
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