多面体的稠密填充：柏拉图立体与阿基米德立体

寻找具有Platonic对称性的可积Hamilton系统

Searching for integrable Hamiltonian systems with Platonic symmetries

在本文中，我们试图找到的例子，可积的自然哈密顿系统的球体$S^2$与每个柏拉图多面体的对称性。虽然这些系统中的一些是已知的，但它们的表达式是非常复杂的;我们在这里试图找到这种动力系统的最简单的可能表达式。即使在最简单的情况下，也不容易通过直接计算第一积分来证明它们的可积性，因此，我们利用数值方法来提供可积性的证据;即，通过分析它们的庞加莱截面（曲面截面）。通过这种方式，我们找到了三个系统的柏拉图对称性，一个为每一类等价的柏拉图多面体：四面体，exahedraloctahedral，dodecahedralicosahedral，显示证据的可积性。可积性的证明和第一积分的构造有待于进一步的工作。作为一个大纲的可能的发展，如果这些系统的可积性将被证明，我们将展示如何建立新的可积系统在三维，从这些，超可积系统在四维对应于超可积的相互作用之间的一条线上，在类比与二面角对称的系统在以前的文章中处理。这些可能的可积系统的一个共同特点是，除了丰富的对称群的配置流形上，后者的分区成动态分离的区域显示一个简单的结构，在其内部的潜力。这一观察允许猜想可积性的一类哈密顿系统在欧几里得空间。

物理学、化学和几何学中的多面体

Polyhedra in physics, chemistry and geometry

在这篇文章中，我们回顾了物理，化学和数学中的一些问题，这些问题自然地导致了一类多面体，其中包括柏拉图固体。例子包括球上电子的研究、碳原子笼、引力点粒子的中心构型、稀有气体微团簇、原子核的孤子模型、磁光散射和有关点粒子的几何问题。

用四元数II表示的具有Coxeter对称性的拟正多面体及其对偶

Quasi Regular Polyhedra and Their Duals with Coxeter Symmetries Represented by Quaternions II

本文构造了拟正多面体及其三角形，它们分别是阿基米德立体和卡塔兰立体的推广。这项工作是我们以前的两篇论文的基础上获得的轨道的Coxeter组的阿基米德和加泰罗尼亚固体的延伸。当这些群作用在三维欧氏空间中的任意向量上时，它们产生对应于拟正多面体的轨道。对矢量的特殊选择导致了柏拉图立体和阿基米德立体。一般来说，准正多面体的面由等边三角形、正方形、正五边形以及矩形、等角六边形、等角八边形和等角十边形组成，这取决于感兴趣的考克斯特群的选择。我们遵循四元数表示的群元素的考克斯特群，这必然导致四元数表示的顶点。我们注意到这样一个事实，即分子可以最好地由截顶二十面体表示，其中六边形面不是规则的，而是等角六边形，其中碳原子的单键和双键由等角六边形的交替边长表示。

Asymptotics of the number of waves on rational polyhedra

The problem of counting the number of waves arriving at the vertex of a polyhedron is motivated by physics. In the article it was solved for the case of Platonic solid using three nontrivial results from number theory. This growth turns out to be subexponential. Also we prove a subexponential upper bound for all polyhedra with rational total angles at vertices.

软无摩擦Platonic固体的无热干扰

Athermal jamming of soft frictionless Platonic solids

利用力学为基础的结构优化方法，探讨了无摩擦柏拉图固体组件的卡阻现象。这些规则凸多面体的系统表现出机械稳定的相，其密度基本上小于给定形状的最佳值，这表明热运动对于获得高密度相是必要的。我们确认，大系统的干扰阈值的$0.623 \pm 0.003$四面体是一致的四面体骰子上的实验。此外，在实验中观察到的包装四面体的极短范围的平移相关确认在这里，与热模拟玻璃。虽然观察到高度有序的相形成少量的立方体和十二面体，短的相关长度尺度抑制在大系统中的顺序，导致包装机械上与“取向无序”的接触（点面和边边接触）。温和的有序观察到大型系统的立方体，而其余形状的角度相关性是超短程的。能量与干扰阈值距离的幂律标度指数表现出对“最高阶”干扰接触拓扑结构的明显依赖。这些标称指数分别为6、4和2，用于具有平行点-面（或边缘-边缘）、边缘-面和面-面接触的配置。这些柏拉图固体表现出实体的行为，与平均堵塞接触数之间的均衡值的球体和不对称的颗粒。这些形状违反均衡猜想，显示接触数随球度单调减少。对偶多面体的共同对称性导致局部平移结构相似性。(Note由于篇幅限制，摘要有所删节）

柏拉图立体生成它们的四维类似物

Platonic solids generate their four-dimensional analogues

在本文中，我们将展示如何定期凸4-多面体-类似物的柏拉图固体在四维-可以从三维的考虑，有关的柏拉图固体单独构建。通过Cartan-Dieudonne定理，柏拉图立体的反射对称产生旋转。在克利福德代数框架中，产生这种三维旋转的旋量空间具有自然的四维欧几里得结构。由此，由柏拉图立体产生的旋量又可以解释为四维空间中的顶点，从而给出了四维16胞、24胞、F_4根系和600胞多面体的简单构造。特别是，这些多面体有“神秘”的对称性，这几乎是微不足道的，当看到从三维spinorial的观点。事实上，所有这些诱导的多面体也都是已知的根系，因此生成秩为4的考克斯特群，这可以被证明是旋量构造的一般性质。因此，这些考虑也适用于其他的根系，如A_1+I_2（n），它诱导I_2（n）+I_2（n），从而解释了巨反棱柱和snub 24-胞腔的存在及其对称性。我们讨论这些结果在更广泛的数学背景下Arnol'd的三位一体和麦凯对应。因此，这些结果是一个新的三维和四维几何之间的联系，有趣的潜在应用双方的对应关系，真正的3D系统与多面体对称性，如（准）晶体和病毒，以及4D几何出现，例如在大统一理论和弦和M理论。

由Coxeter图和四元数导出的手征多面体

Chiral Polyhedra Derived From Coxeter Diagrams and Quaternions

有两种手征阿基米德多面体：短柱立方体和短柱十二面体，以及它们的二分之一：五角二十四面体和五角六十面体。本文系统地构造了手征多面体及其对偶立体。我们利用Coxeter群$W(A_1 \oplus A_1 \oplus A_1)$，$W(A_3)$，$W(B_3)$和$W(H_3)$的转动子群来导出代表感兴趣的固体的轨道。它们分别导致多面体四面体、二十面体、短柱立方体和短柱十二面体。我们证明了四面体和二十面体可以通过适当的旋转八面体群$\frac{W(B_3)}{C_2}$转化为它们的镜像，因此它们不属于手征多面体类。值得注意的是，可以分别通过适当的旋转群$\frac{W(B_3)}{C_2}$和$\frac{W(H_3)}{C_2}$的作用，从作为简单根的非线性组合的向量导出Snub立方体和Snub十二面体。它们的轨道被构造为关注组的三个轨道的并集。我们还构造了多面体，一般准规则，通过结合手征多面体与他们的镜像。作为副积，我们得到了作为Coxeter群$W(H_3)$子群的核多面体群，并讨论了核多面体的构造。我们采用的方法描述的Coxeter群及其轨道的四元数。