倍周期的有向图和特征多项式表示

倍周期算子的谱性质

Spectral properties of the period-doubling operator

我们计算了椭圆上有界解析函数空间中Feigenbaum倍周期算子的谱。倍周期算子在这个空间中的谱性质与偶解析函数空间中的谱性质不同。特别地，发现非稳定流形的维数不是1（Feigenbaum猜想），而是3。我们分析了几篇文章致力于这个问题，并比较不同的方法和算法。

倍周期、熵和重整化

Period doubling, entropy, and renormalization

我们证明了在任何发育不良的映射族中，周期集是2的所有幂的集合的映射集没有内点，即，混沌边界的组合描述与拓扑描述是一致的。我们还表明，在温和的假设下，光滑的多峰映射的周期集是2的所有权力的集合是无限重正化。

保面积映射倍周期分支附近分离阵的指数小分裂

Exponentially small splitting of separatrices near a period-doubling bifurcation in area-preserving maps

我们考虑保守Hénon族在其不动点的倍周期分岔，并证明了在分岔点附近的固定鞍点的分界线是指数分裂的：给定$λ_+$是鞍点的特征值中较小的一个，对于任何正的$κ<1$，沿同宿轨道的分界线之间的夹角满足$$\sin α= O(e^{-{π^2 \over \log |λ_+|}})+ O\left( e^{-2 (1-κ) {π^2 \over \log |λ_+|}} \right),$$.

Feigenbaum倍周期函数的Chebyshev级数表示

Chebyshev Series Representation of Feigenbaum's Period-Doubling Function

Feigenbaum-Cvitanovic方程-lambda * g（x）= g（g（lambda * x））在区间0 <= x <= 1上用g（x）的切比雪夫级数表示求解。精确的展开系数表的解决方案g（x）= 1+O（x^z）与偶数指数从z=2到z=14。

倍周期序列中的包络字和返回字序列

Envelope Words and Return Words Sequences in the Period-doubling Sequence

我们考虑由倍周期代换$σ(a,b)=(ab,aa)$产生的无限单边序列，记作$\mathbb{D}$。由于$\mathbb{D}$是一致递归的，因此每个因子$ω$在序列中出现无限次，该序列被排列为$ω_p$ $(p\ge 1)$。令$r_p(ω)$为$ω$上的第$p$个返回字。主要结果是：对于每个因子$ω$，序列$\{r_p(ω)\}_{p\geq1}$是$Θ_1$或$Θ_2$，它们是置换序列，本文完全确定了它们的序列。

关于保面积映射倍周期不变集的几何性质

On the geometry of period doubling invariant sets for area-preserving maps

本文研究保面积映射的倍周期不变集几何，指出无限可重正化保面积类Hénon映射的倍周期Cantor集上，有界和无界几何均存在于正测度子集，比强耗散情形更极端。

拟周期强迫Logistic映射的倍周期与约化

Period doubling and reducibility in the quasi-periodically forced logistic map

研究了圆柱中强迫Logistic映射的动力学性质。我们计算的吸引集的动力学方面的分歧图。吸引集的不同性质被认为是，作为李雅普诺夫指数，并在具有周期不变曲线的情况下，其周期和其约简。这表明，不变曲线使其周期加倍的参数值包含在不变曲线可约的参数空间的区域中。然后，我们提出了两个额外的研究来解释这一事实。首先考虑临界集（映射对非周期坐标的导数等于零的集）的象和原象。通过对这些集合的研究，我们在参数空间中构造了不变曲线约简的约束条件。其次，我们把不变曲线的约化损失看作余维1分支，并研究了它与倍周期分支的相互作用。这表明，如果减少损失和倍周期分叉曲线相遇，它们以切线方式进行。

关于无穷可重正化保面积映射的倍周期型不变Cantor集

On the invariant Cantor sets of period doubling type of infinitely renormalizable area-preserving maps

本文证明了在Eckmann-Koch-Wittwer重整化不动点的普适类中，任意可无限重整化的保面积映射的倍周期型不变康托尔集总是包含在Lipschitz曲线中，而不包含在平滑曲线中.这扩展了以前的结果de Carvalho，Lyubich和Martens关于强耗散映射的平面接近单峰映射的面积保持设置。用于构造Lipschitz曲线的方法与耗散情况下使用的方法非常相似，但是证明不存在平滑曲线需要新的技术。

具有Ricker型猎物增长的离散Kolmogorov捕食者-猎物模型的全局稳定性与倍周期分岔

Global stability and period-doubling bifurcations of a discrete Kolmogorov predator-prey model with Ricker-type prey growth

该研究针对带Ricker型猎物增长的离散Kolmogorov捕食者-猎物模型，推导正不动点存在唯一的充要条件，证明其倍周期分岔的存在，通过数值模拟发现通向混沌的倍周期分岔级联，并借助零倾线几何分析给出正不动点的全局稳定性判据。

大量倍周期级联

Period-doubling cascades galore

众多倍周期级联的出现是{ \bf参数化映射}的最显著特征之一，即光滑单参数映射族$F:R \times {\mathfrak M} \to {\mathfrak M}$，其中${\mathfrak M}$是光滑无边界局部紧流形，典型的是$R^N$。每个级联都有无限多个倍周期分叉，并且通常可以观察到--例如在我们这里研究的所有例子中--无论何时有任何级联，都有无限多个级联。我们开发了通用的$F$级联的一般理论。我们用几个例子来说明这一理论。我们表明，有一个通过无限多的级联和创造一个马蹄铁的过渡之间的密切联系。

Cycle Doubling, Merging And Renormalization in the Tangent Family

In this paper we study the transition to chaos for the restriction to the real and imaginary axes of the tangent family $\{ T_t(z)=i t\tan z\}_{0< t\leq π}$. Because tangent maps have no critical points but have an essential singularity at infinity and two symmetric asymptotic values, there are new phenomena: as $t$ increases we find single instances of "period quadrupling", "period splitting" and standard "period doubling"; there follows a general pattern of "period merging" where two attracting cycles of period $2^n$ "merge" into one attracting cycle of period $2^{n+1}$, and "cycle doubling"…

混沌倍周期

Chaotic Period Doubling

倍周期重整化算符是由M. Feigenbaum和P. Coullet和C. Tresser在1970年研究了从简单动力学向混沌动力学过渡的一维系统的吸引子的渐近小尺度几何。这种几何原来不依赖于选择的地图下，而温和的光滑条件。在一般的足够光滑映射中，存在唯一的重正化不动点不动点且该不动点也是双曲的，这在相应的重正化理论中起着至关重要的作用。首先在全纯的背景下证明了重整化不动点的唯一性和双曲性，并推广到其它重整化算子。证明了在$C^{2+α}$单峰映射空间中，当$α$接近1时，倍周期重整化不动点也是双曲的.在本文中，我们研究会发生什么事时，从最小光滑阈值的唯一性和双曲性倍周期重整化通用不动点以下的方法。事实上，我们的主要结果表明，在空间中的$C^2$单峰映射的解析不动点是不是双曲的，这同样是真实的，当添加足够的光滑度，以获得先验界。在这个名为$C^{2+|\cdot|}$的更平滑的类中，双曲线的失败比$C^2$中的更温和。只要比$C^2$少一点光滑性，情况就会变得更糟，因为这样甚至唯一性也会丢失，其他渐近行为也成为可能。证明了作用在$C^{1+Lip}$单峰映射空间上的倍周期重整化算子具有无穷大的拓扑熵。

Replication of Period-Doubling Route to Chaos in Coupled Systems with Delay

In this study, replication of a period-doubling cascade in coupled systems with delay is rigorously proved under certain assumptions, which guarantee the existence of bounded solutions and replication of sensitivity. A novel definition for replication of sensitivity is utilized, in which the proximity of solutions is considered in an interval instead of a single point. Examples with simulations supporting the theoretical results concerning sensitivity and period-doubling cascade are provided.

倍周期序列中的包络字与返回字序列的自反性

Envelope Words and the Reflexivity of the Return Word Sequences in the Period-doubling Sequence

考虑由倍周期代换$σ(a)=ab$和$σ(b)=aa$生成的字母表上的无限单边序列$\{a,b\}$，记为$\mathbb{D}$ .令$r_p(ω)$为因子$ω$的第$p$个返回字。本文的主要结果是双重的。(1)对于$\mathbb{D}$中的任何因子$ω$，返回字序列$\{r_p(ω)\}_{p\geq1}$为$Θ_1$或$Θ_2$。这两个序列都是置换序列，本文完全确定了它们的存在性。(2)对于$Θ_1$中的任何因子$ω$（分别$Θ_2$），则返回字序列$\{r_p(ω)\}_{p\geq1}$仍然是$Θ_1$或$Θ_2$。我们称之为返回词序列的自反性。作为应用，我们引入了谱的概念来研究一些典型的组合性质，如分离性、相邻性和重叠性。

Period-doubling route to chaos in driven impulsive systems

In the present study, we investigate the dynamics of impulsive differential equations driven by a chaotic system. We rigorously prove that, likewise the drive, the response impulsive system is also chaotic. Our results are based on the presence of sensitivity and infinitely many unstable periodic motions. The theoretical results are supported by simulations.

Rossler系统中的倍周期分岔——计算机辅助证明

Period doubling in the Rossler system - a computer assisted proof

本文通过计算机辅助方法，严格证明了Rossler系统在包含两个倍周期分岔的参数区间内的周期轨道分岔图。

向弱turbulence跃迁的准周期倍频级联

The quasi-periodic doubling cascade in the transition to weak turbulence

准周期加倍级联发生在从常规的弱湍流行为的不可压缩Navier-Stokes流的模拟在一个三周期域的过渡。为了减少计算量，在流场上施加特殊的对称性。因此，我们可以应用动力系统理论的工具，如延续的周期轨道和计算的李雅普诺夫指数。我们提出了一个模型常微分方程的准倍周期级联，在限制的扰动参数为零，避免共振相关的问题。我们在模拟中观察到的级联相比，扰动的情况下，共振复杂的分叉情况。特别地，我们比较了频谱和李雅普诺夫指数。扰动模型的常微分方程是在很好的协议与弱湍流的模拟。所观察到的级联的缩放被示出类似于未扰动的情况下，这是直接相关的众所周知的加倍级联的周期轨道。

倍周期保面积泛映射的动力学：双曲集

Dynamics of the Universal Area-Preserving Map Associated with Period Doubling: Hyperbolic Sets

众所周知，著名的Feigenbaum-Coullet-Tresser倍周期普适性对于${\fR}^2$的保面积映射有一个对应的普适性.重整化方法已被用于\cite{EKW1}和\cite{EKW2}在计算机辅助证明存在的“通用”面积保持地图$F_*$ -一个地图的轨道的所有二进制周期$2^k, k \in \fN$。本文考虑$F_*$中某些邻域内的映射，并研究它们的动力学性质。我们首先证明了映射$F_*$允许一个“双无限异宿缠结”：周期点序列$\{z_k\}$，$k \in \fZ$，|z_k| \converge{k \to \infty} 0，\quad |z_k| \converge{k \to -\infty} \infty，其稳定流形和不稳定流形横截相交;并且，对于任何$N \in \fN$，一个紧凑的不变集上$F_*$同胚的拓扑马尔可夫链的空间上的所有双边序列组成的$N$符号。这些结果的一个推论是{ \it无界}和{ \it振荡}轨道的存在。我们还表明，所有的地图接近$F_*$承认马蹄铁的第三个。我们使用失真工具提供严格的界限上的Hausdorff维数的相关的局部最大不变双曲集：$$ 0.7673 \ge {\rm dim}_H(\cC_F) \ge \varepsilon \approx 0.00044 e^{-1797}.$$

倍周期保面积泛映射的动力学：稳定集

Dynamics of the Universal Area-Preserving Map Associated with Period Doubling: Stable Sets

众所周知，著名的Feigenbaum-Coullet-Tresser倍周期普适性对于${\fR}^2$的保面积映射有一个对应的普适性.重整化方法已被用于\cite{EKW1}和\cite{EKW2}在计算机辅助证明存在的“通用”面积保持地图$F_*$ -一个地图的轨道的所有二进制周期$2^k, k \in \fN$。本文考虑{ \it无限可重整化}映射--$F_*$的某个邻域中重整化稳定流形上的映射--并研究它们的动力学性质。对于不动点$F_*$邻域内的所有这样的无限可重整映射，我们证明了存在一个“稳定”不变集$\cC^\infty_F$，使得$F \arrowvert_{\cC^\infty_F}$的最大Lyapunov指数为零，并且其Hausdorff维数满足$${\rm dim}_H(\cC_F^{\infty}) \le 0.5324.$$。我们还证明了重整化局部稳定流形中存在一个有限余维的子流形$\bW_ω$，使得对于所有的$F\in\bW_ω$，集合$\cC^\infty_F$是“弱刚性的”：在这个子流形中的任何两个映射的动力学，被限制到稳定集合$\cC^\infty_F$，被保持Hausdorff维数的双Lipschitz变换共轭。

Reexamining the renormalization group: Period doubling onset of chaos

We explore fundamental questions about the renormalization group through a detailed re-examination of Feigenbaum's period doubling route to chaos. In the space of one-humped maps, the renormalization group characterizes the behavior near any critical point by the behavior near the fixed point. We show that this fixed point is far from unique, and characterize a submanifold of fixed points of alternative RG transformations. We build on this framework to systematically distinguish and analyze the allowed singular and `gauge' (analytic and redundant) corrections to scaling, explaining numerical r…

混合Rössler模型中通向混沌的倍周期路径与阵发混沌

Period-Doubling Route to Chaos and Intermittency in a Hybrid Rössler Model

该研究构建了logistic映射扰动的混合Rössler模型，通过数值分析发现系统存在倍周期级联与阵发混沌现象，且可拓展至耦合系统，证明不连续扰动能产生连续混沌。

Caldera势能面中由周期轨道倍周期分岔构造的分界面的分岔

Bifurcation of Dividing Surfaces Constructed from Period-Doubling Bifurcations of Periodic Orbits in a Caldera Potential Energy Surface

本文研究二维caldera型势能中由中心极小值族的亚临界与超临界倍周期分岔引发的分界面分岔，比较分界面结构、范围及极值延伸。

边界碰撞倍周期分岔的交替起搏

Alternate Pacing of Border-Collision Period-Doubling Bifurcations

与经典分叉不同，边界碰撞分叉发生在例如连续分段$\mathcal{C}^{1}$映射的不动点穿过状态空间中的边界时。虽然经典分岔已经被研究了很多，边界碰撞分岔还没有得到很好的理解。本文考虑一类特殊的边界碰撞分岔，即，边界碰撞倍周期分岔我们应用一个次谐波扰动的分叉参数，这也被称为交替起搏，我们调查的反应下，这样的起搏附近的原始歧点。由此产生的行为的特征在于定量的增益，这是响应幅度的比值施加的扰动幅度。边界碰撞倍周期分岔中的增益对参数的依赖性与经典倍周期分岔中的增益有质的不同。也许令人惊讶的是，如果增益相对于扰动幅度（在分叉参数固定的情况下）进行绘制，则比如果相对于分叉参数（在扰动幅度固定的情况下）进行绘制，则差异更明显。当这个观察被利用时，交替起搏下的增益提供了一个有用的实验工具来识别边界碰撞倍周期分叉。

保面积映射的倍周期问题：一个相关的一维问题

Period Doubling in Area-Preserving Maps: An Associated One Dimensional Problem

已经观察到著名的Feigenbaum-Coullet-Tresser倍周期普适性对于$\field{R}^2$的面积保持映射有对应的普适性。J. J.用重正化方法证明了具有所有二元周期轨道的保面积映射的存在性。P. Eckmann，H. Koch and P. Wittwer（1982 and 1984）.由于它是所有非平凡的普遍性问题的情况下，在非耗散系统的维度超过一个，没有分析证明这一时期的两倍普遍性存在的日期。我们认为，倍周期重整化不动点的面积保持地图几乎是一维的，在这个意义上，它是接近以下Henon-like地图：$$H^*(x,u)=(ϕ(x)-u,x-ϕ(ϕ(x)-u)),$$其中$ϕ$解决$$ϕ(x)={2 \over λ} ϕ(ϕ(λx))-x.$$我们然后给一个“证明”的存在性的小解析扰动的解决方案，这个一维问题，并描述了这个解决方案的一些性质。"证明“包括一个分析参数的分解逆分支$ϕ$连同验证的几个不等式和包含的子集$\field{C}$数字。最后，我们提出了一个分析方法的基础上，其接近一维保面积映射的全周期加倍问题。在这方面，本文是一个保守的二维系统中的非平凡重整化问题的一个可能的分析机制的探索。

无穷可重正化保面积映射的刚性

Rigidity for infinitely renormalizable area-preserving maps

具有不同平均Jacobian的强耗散Henon型映射的倍周期Cantor集不是光滑共轭的。雅可比刚性猜想认为具有相同平均雅可比矩阵的二维Henon-like映射的倍周期Cantor集是光滑共轭的。这个猜想对于平均雅可比零点是正确的，例如一维情况。另一个极端的情况是当地图保留面积时，例如平均雅可比矩阵是1。事实上，在Eckmann-Koch-Wittwer重整化不动点的普适类中，保面积映射的倍周期康托尔集是光滑共轭的。

倍周期级联不变量：通向混沌的辫子路径

Period-Doubling Cascades Invariants: Braided Routes To Chaos

本文受 Alligood-Yorke 结果和辫子强制复杂动力学的启发，提出三个拓扑不变量刻画倍周期通向混沌的路径，并应用于 Shilnikov 同宿扰动和 Henon 映射的符号动力学研究。

Determining the source of period-doubling instabilities in spiral waves

Spiral wave patterns observed in models of cardiac arrhythmias and chemical oscillations develop alternans and stationary line defects, which can both be thought of as period-doubling instabilities. These instabilities are observed on bounded domains, and may be caused by the spiral core, far-field asymptotics, or boundary conditions. Here, we introduce a methodology to disentangle the impacts of each region on the instabilities by analyzing spectral properties of spiral waves and boundary sinks on bounded domains with appropriate boundary conditions. We apply our techniques to spirals formed …

The spectrum of period-doubling Hamiltonian

In this paper, we show the following: the Hausdorff dimension of the spectrum of period-doubling Hamiltonian is bigger than $\log α/\log 4$, where $α$ is the Golden number; there exists a dense uncountable subset of the spectrum such that for each energy in this set, the related trace orbit is unbounded, which is in contrast with a recent result of Carvalho (Nonlinearity 33, 2020); we give a complete characterization for the structure of gaps and the gap labelling of the spectrum. All of these results are consequences of an intrinsic coding of the spectrum we construct in this paper.

Asymmetric unimodal maps with non-universal period-doubling scaling laws

We consider a family of strongly-asymmetric unimodal maps $\{f_t\}_{t\in [0,1]}$ of the form $f_t=t\cdot f$ where $f\colon [0,1]\to [0,1]$ is unimodal, $f(0)=f(1)=0$, $f(c)=1$ is of the form and $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1-K_-|x-c|+o(|x-c|)& \mbox{ for }x<c, \\ 1-K_+|x-c|^β+ o(|x-c|^β) &\mbox{ for }x>c, \end{array}\right. $$ where we assume that $β>1$. We show that such a family contains a Feigenbaum-Coullet-Tresser $2^\infty$ map, and develop a renormalization theory for these maps. The scalings of the renormalization intervals of the $2^\infty$ map turn out to be super-exponential and…

使用谐波平衡法分析并控制Buck变换器中的倍周期分岔

Analysis and Control of Period-Doubling Bifurcation in Buck Converters Using Harmonic Balance

本文采用谐波平衡法推导Buck变换器的动态模型，给出倍周期分岔发生的充要条件，并设计前馈控制消除分岔以扩展允许输入电压范围并改善线性调节。

关于4次临界点映射中倍周期重整化不动点与本征函数的严格计算机辅助界

Rigorous computer-assisted bounds on the period doubling renormalisation fixed point and eigenfunctions in maps with critical point of degree 4

该研究针对4次临界点单峰映射族的倍周期重整化不动点，结合压缩映射论证与带严格有向舍入的多精度算术，得到了相关本征函数、本征值及普适常数的高精度严格紧致界。

保面积映射的周期倍化重整化与压缩映射原理中的轻度计算机辅助

Period Doubling Renormalization for Area-Preserving Maps and Mild Computer Assistance in Contraction Mapping Principle

本文通过轻度计算机辅助证明保面积映射重整化算子在不动点邻域内的解析性和紧致性，仅用实数区间算术估计显式表达式，并多次应用压缩映射原理。

通过自相关中提取的主导特征值预测倍周期分岔的出现

Predicting the onset of period-doubling bifurcations via dominant eigenvalue extracted from autocorrelation

通过自相关中提取的主导特征值（DE-AC）有效预测了倍周期分岔的出现，优于传统指标。