An LLT-type algorithm for computing higher-level canonical bases
Matthew Fayers
本文给出了计算$U_q(\hat{\mathfrak{sl}}_e)$不可约最高权模的标准基的一个快速算法，推广了LLT算法。
We give a fast algorithm for computing the canonical basis of an irreducible highest-weight module for $U_q(\hat{\mathfrak{sl}}_e)$, generalising the LLT algorithm.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Monomial bases and canonical bases for quantum affine algebras
本文研究了量子仿射代数中单项基与规范基的构造方法，提出了一种基于PBW基的简单算法来计算规范基，并探讨了由此得到的规范基与Lusztig利用有向图几何构造的规范基之间的关系。
Canonical bases of higher-level q-deformed Fock spaces
定义了仿射李代数sl（n）^的高阶q-变形Fock空间模的标准基.这推广了Leclerc和Thibon对于水平1的情况的结果。我们用仿射Kazhdan-Lusztig多项式表示Fock空间的标准基和自然基之间的转移阵。
Addendum to ``Canonical bases for quantum generalized Kac-Moody algebras''
我们提供了一些必要的细节，出现在我们以前的文件中的几个参数“量子广义Kac-Moody代数的典范基地”。我们还与同一主题的其他一些工作的联系。
Canonical bases for quantum generalized Kac-Moody algebra
利用箭图表示的半单逆层构造了量子广义Kac-Moody代数的标准基。我们比较这个基础与最近定义的纯代数郑，康和柏原。
Elementary construction of canonical bases, foldings, and piecewise linear bijections
本文利用量子群折叠理论与分段线性参数化，初等地构造了有限型量子群负半部分的典范基，避免了 Lusztig 几何理论与 Kashiwara 晶体基理论。
Decorated tangles and canonical bases
本文研究了$H_n$型Coxeter群中全交换元的组合学，其中$n > 2$是任意的$n > 2$ .利用这些结果，我们构造了某些典型基（即，IC基地）的非单花边广义Temperley-Lieb代数，并显示如何将它们与态射的范畴内的装饰缠结。
Constructible characters and canonical bases
我们给出了$U_v(sl_\infty)$的2层不可约可积表示的标准基的所有向量的闭公式。这些公式在v=1时与Lusztig关于B型和D型Iwahori-Hecke代数的可构造特征标的公式一致。
Double canonical bases
我们引入了一类新的基，用于量子化泛包络代数$U_q(\mathfrak g)$和其它附在半单和Kac-Moody李代数上的双代数。这些基地包含双规范基地的上半部分和下半部分的$U_q(\mathfrak g)$和不变的许多对称性，包括所有Lusztig的对称性，如果$\mathfrak g$是半单的。它还证明了$U_q(\mathfrak g)$的一部分双正则基跨越它的中心。
Let ${\mathbf U}^-_q$ be the negative part of the quantum enveloping algebra associated to a simply laced Kac-Moody Lie algebra ${\mathfrak g}$, and $\underline{\mathbf U}^-_q$ the algebra corresponding to the fixed point subalgebra of ${\mathfrak g}$ obtained from a diagram automorphism $σ$ on ${\mathfrak g}$. Let ${\mathbf B}^σ$ be the set of $σ$-fixed elements in the canonical basis of ${\mathbf U}_q^-$, and $\underline{\mathbf B}$ the canonical basis of $\underline{\mathbf U}_q^-$. Lusztig proved that there exists a canonical bijection ${\mathbf B}^σ \simeq \underline{\mathbf B}$ based on …
Canonical bases of higher-level q-deformed Fock spaces and Kazhdan-Lusztig polynomials
本文的目的是推广Leclerc-Thibon和Varagnolo-Vasserot最近关于Hayashi的第一级q-变形Fock空间的标准基的工作。也就是说，我们定义了Jimbo-Misra-Miwa-Okado的高阶q-变形Fock空间的标准基，并建立了这些标准基与$A^{(1)}_{r-1}.$型仿射外尔群的（抛物）Kazhdan-Lusztig多项式之间的关系。作为应用，我们导出了这些多项式的一个子族的反演公式。本文是数学的扩展版本。QA/9901032
Canonical Bases for Hecke Algebra Quotients
本文证明了任意类型Coxeter系统的广义Temperley-Lieb代数的IC基的存在性。我们确定这个基础明确的情况下，Coxeter系统是简单的花边和代数是有限维的。
Dual canonical bases for the quantum special linear group and invariant subalgebras
对量子特殊线性群上的函数代数的不变量的每个子代数构造一个弦基。通过分析特定不变量子代数的弦基，我们得到了每个有限维不可约$U_q({\mathfrak{sl}}(n))$ -模的“典型基”。还证明了任何量子齐性空间上的函数代数都是由量子子式生成的。
Dual canonical bases for the quantum general linear supergroup
构造了量子广义线性超群的对偶正则基，它们在量子Berezian的乘法下是不变的。通过将量子Berezian设为单位元，得到了量子特殊线性超群${\s O}_q(SL_{m\mid n})$的对偶正则基.本文应用正则基研究了量子超群在左平移和右平移下的不变子代数。在$n=1$的情况下，证明了每个不变子代数都被一部分对偶标准基所张成。这反过来又导致了任何Kac模的对偶典范基构造使用类似的Borel-Weil定理。
Positivity of Canonical Bases under Comultiplication
我们证明了在余乘法下修正的量子仿射$\mathfrak{sl}_n$的正则基的正性。此外，我们还证明了[LW 15]中的i-标准基关于余理想子代数结构的正性。
Canonical bases of tensor products of integrable highest weight modules arising from framed constructions
本文通过框架构造方法，证明了量子群中可积最高权模块张量积的典范基可通过更大量子群的典范基获得，并证明其正性性质。
For $\imath$quantum covering groups $(\mathbf{U}, \mathbf{U}^\imath)$ of super Kac-Moody type, we construct $\imath$-canonical bases for the highest weight integrable $\mathbf{U}$-modules and their tensor products regarded as $\mathbf{U}^\imath$-modules, as well as a canonical basis for the modified form of the $\imath$quantum group $\mathbf{U}^\imath$, using the $\imath^π$-divided powers, rank one canonical basis for $\mathbf{U}^\imath$.
For the quantum symmetric pair $(\textbf{U}, \textbf{U}^{\imath})$ of type AIII/AIV, we show various positivity properties of the $\imath$-canonical bases on finite-dimensional simple $\textbf{U}$-modules, as well as their tensor product.
Canonical bases in Lie theory and total positivity
本文回顾量子群典范基理论，并阐述其与全正性理论之间的联系，内容源自2025年国际基础科学会议报告。
Canonical Bases of Borcherds-Cartan Type
研究了与对称Borcherds-Cartan矩阵相关联的量子广义Kac-Moody代数的负部分的标准基。与满足一定条件的两个不同矩阵相关联的代数可以重合。我们证明了在代数重合的条件下，正则基重合。我们还部分回答了Lusztig的一个问题。
Quantum twist maps and dual canonical bases
本文证明了由Lenagan-Yakimov引入的量子扭曲映射诱导量子幂零子代数的对偶标准基之间的双射。作为推论，我们证明了在“逆”字典序下对偶标准基与Poincaré-Birkhoff-Witt型基之间的单三角性.我们还表明，量子扭曲映射诱导某些幂幺量子子之间的双射。
Some closed formulas for canonical bases of Fock spaces
给出了U_v（sl^_n）的Fock空间表示的标准基的某些向量的闭公式.其结果是，某些抛物Kazhdan-Lusztig多项式的仿射型A的组合描述。
Dual canonical bases and Kazhdan-Lusztig polynomials
本文导出了U_q（gl_n）的不可约多项式表示的标准单式与对偶标准基之间的（单三角）转移阵的元素的Kazhdan-Lusztig多项式公式。
Denote by $N \subset SL_k$ the subgroup of unipotent upper triangular matrices. In this paper, we show that the dual canonical basis of $\mathbb{C}[N]$ (and base affine spaces) can be parameterized by semi-standard Young tableaux. Moreover, we give an explicit formula for every element in the the dual canonical basis using the data of the corresponding semistandard Young tableau. We apply our results to study cluster variables in $\mathbb{C}[N]$.
It has been known since their birth in Bao and Wang's work that the $\imath$canonical bases of $\imath$quantum groups are not stable in general. In the author's previous work, the stability of $\imath$canonical bases of certain quasi-split types turned out to be closely related to the theory of $\imath$crystals. In this paper, we prove the stability of $\imath$canonical bases of irreducible finite type of real rank $1$, for which the theory of $\imath$crystals has not been developed, by means of global and local crystal bases.
Canonical bases of the modified quantized enveloping algebras of type $A_{2}$
由Lusztig引入的修正的量子包络代数$\dot{\mathbf{U}}$具有一个显著的正则基.本文给出了$A_{2}$型的$\dot{\mathbf{U}}$的规范基的所有元素的显式描述。
Four dimensional topological quantum field theory, Hopf categories, and the canonical bases
我们提出了一种新的构造4D-TQFT的方法。该方法使用了一种称为Hopf范畴的新型代数结构。我们还概述了与量子群有关的一族Hopf范畴的构造，使用规范基。
Dual canonical bases and quantum cluster algebras
该研究验证了量子簇代数中量子簇单项式经重新标度后属于对偶典范基的量子化猜想，适用于对称化Kac-Moody型量子幂单子群情形。
Canonical bases of loop algebras via quot schemes II
本文是数学QA/0404032的续篇（并包含更好的处理）;我们利用椭圆曲线上参数化等变相干层的“方案”上的反常层构造了D_4，E_6，E_7，E_8型量子环面代数的一些标准基。我们还研究了这些基与某些自然滤子和模的相容性。
Notes on affine canonical and monomial bases
在Lusztig的几何背景下，研究了文献[LXZ]中构造的仿射标准基和单项基.我们表明，两个基之间的转移阵是上三角形，对角线上为1，系数在N[v，v^{-1}]中的上对角线项中。作为一个结果，我们表明，单项式的基础元素的一部分产生的决议的支持品种的仿射典型的基础元素作为简单的反常层。
Expanding the classical work of Kazhdan-Lusztig, we construct a bar involution and canonical bases on the $q$-Brauer algebra introduced by Wenzl. We define explicit actions of the $q$-Brauer algebra on the tensor spaces, and formulate $\imath$Schur dualities between the $q$-Brauer algebra and the $\imath$quantum groups of type AI and AII respectively.
Comparison of canonical bases for Schur and universal enveloping algebras
我们证明了$\dot{U}(\mathfrak{sl}_n)$和Schur代数中的规范基是相容的，实际上我们将这个结果推广到了$p$ -规范基。这是紧接着从一个充满结果从函子分类这个地图。为了证明这一结果，我们还解释了Schur代数的奇偶性之间的联系，它产生于部分旗簇上的奇偶层，奇异Soergel双模和Khovanov和Lauda的“旗范畴”，这是一些独立的兴趣。
Quantum supergroups II. Canonical basis
遵循Kashiwara的代数方法，我们构造了无迷向奇根的量子超群及其可积模的晶基和正则基。
Canonical bases for Fock spaces and tensor products
我们将量子仿射代数$U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}_{n})$的Fock空间表示的规范基与其对$U_q(\mathfrak{sl}_{n})$的限制的规范基联系起来，后者被视为Lusztig意义上的基模。更一般地，我们考虑限制到任何抛物子代数。我们推出了正特征域上Schur代数的分解数和分支系数的结果，推广了Kleshchev和Tan及Teo的结果。
Crystal bases and canonical bases for quantum Borcherds-Bozec algebras
本文研究量子Borcherds-Bozec代数及其最高权模的晶体基与典范基，通过修正Kashiwara算子重建晶体基理论，引入本原典范基并证明其与下全局基一致。
We develop a general theory of canonical bases for quantum symmetric pairs $(\mathbf{U}, \mathbf{U}^\imath)$ with parameters of arbitrary finite type. We construct new canonical bases for the simple integrable $\mathbf{U}$-modules and their tensor products regarded as $\mathbf{U}^\imath$-modules. We also construct a canonical basis for the modified form of the $\imath$quantum group $\mathbf{U}^\imath$. To that end, we establish several new structural results on quantum symmetric pairs, such as bilinear forms, braid group actions, integral forms, Levi subalgebras (of real rank one), and integra…
Canonical bases of the oriented skein category
本文通过图示方法为定向绞链范畴的每个态射空间构造杠对合与典范基，并在量子化带墙布劳尔代数上得到Kazhdan-Lusztig型基。
On geometric realizations of quantum modified algebras and their canonical bases, II
我们证明了[Li10a]（arXiv：1007.5384）中的部分结果。我们还将[Li10a]中量子修改代数的构造与[ZH08]（arXiv：0803.3668）中的函子构造联系起来。
Canonical Bases and Piecewise-linear Combinatorics
设U是秩为n的李代数g的量子群. U的负部分U^-有一个正则基B，它具有良好的性质，由Kashiwara和Lusztig引入。Kashiwara和Lusztig的方法导致了一组典型基的替代参数化，一个用于g的外尔群中最长词的每个简化表达式。本文描述了作者最近的工作，建立了Lusztig锥、正则基元和由上述参数化产生的A_4型重参数化函数的线性区域之间的密切关系，并给出了A_n型的一些猜想。关键词：量子群，李代数，正则基，紧单项式，外尔群，分段线性函数。
Canonical bases of q-deformed Fock spaces
定义了仿射李代数$\glchap_n$的$q$ -变形Fock空间表示的一个标准基.我们猜想这个基和Fock空间的自然基之间的转移矩阵的元素是$q$ -类似于$v$ -Schur代数的分解数，其中$v$专门用于$n$ th单位根。
Canonical bases for the quantum enveloping algebra of gl(m|1) and its modules
我们构造了与gl（m）的标准超Cartan数据相关联的量子群U的负半部分的晶体基|1），它与Kac模块和简单模块上的已知晶体兼容。我们表明，这些晶体承认全球化功能，产生兼容的典型基地。然后，我们定义了一个辫子群的行动家庭的量子群，包括U，并使用这个行动，以表明我们的规范基础与那些从PBW基地。最后，我们显式计算一些小秩的例子。
Dual and double canonical bases of quantum groups
本文通过几何方法证明量子群的对偶典范基与 Berenstein--Greenstein 的双典范基一致，解决了若干关于正性和辫群作用不变性的猜想。
Positivity properties for canonical bases of modified quantum affine $\frak{sl}_n$
规范基的正性性质断言规范基的乘法的结构常数在${\mathbb N}[v,v^{-1}]$中。令$\mathbf U$是与对称Cartan数据相关的${\mathbb Q}(v)$上的量子群。Lusztig证明了${\mathbf U}$的正部分${\mathbf U}^+$的正性。他指出，正性属性适用于${\mathbf U}$的修改形式$\dot{\mathbf U}$。本文证明了$\dot{\mathbf U}(\widehat{\frak{sl}}_n)$的正则基的结构常数与$n<N$的${\mathbf U}(\widehat{\frak{sl}}_N)^+$的正则基的某些结构常数是一致的。特别地，$\dot{\mathbf U}(\widehat{\frak{sl}}_n)$的阳性性质遵循${\mathbf U}(\widehat{\frak{sl}}_N)^+$的阳性性质。
On dual canonical bases
研究了修正量子包络代数的标准基的对偶基，特别是对$A$型的标准基.构造$n\times n$量子矩阵的坐标代数的基对于研究乘法性质是合适的。它表明，该基础是不变的乘法下的某些量子子式，包括量子行列式。然后，通过将量子行列式设为1，得到量子SL（n）的基。这个基证明是等价于对偶典范基。
Canonical bases and quantum coordinate ring
在\cite{LZ:2009}中构造了量子群$U_q(\mathfrak g)$上最高权模和最低权模的张量积的滤子，并利用它们定义了修正量子包络代数的理想.证明了商代数继承了修正量子包络代数的标准基，并且与Kashiwara为对称化Kac-Moody代数$\mathfrak g$定义的量子坐标环是对偶的.
Parametrizations of canonical bases and irreducible components of nilpotent varieties
已知幂零簇的不可约分支的集合提供了量子群的晶体基的几何实现。对于外尔群元素的每一个约化表达式，Geibel，Leclerc和Schröer最近在研究簇代数时给出了幂零簇的不可约分支的参数化.在本文中，我们表明，他们的参数化与Lusztig的正则基的参数化相吻合。
Quantum affine algebras, canonical bases and $q$-deformation of arithmetical functions
本文得到了Gindikin-Karpelevich公式和Casselman-Shalika公式在Kashiwara-Lusztig标准基上的仿射和。利用这些公式，我们定义了（多）分拆函数和Ramanujan $τ$ -函数等数论函数的自然$q$-变形，并证明了它们之间的各种恒等式.在某些例子中，我们通过取极限来恢复经典恒等式。我们还考虑了Kostant函数的$q$ -变形，并研究了某些特殊值为权重数的$q$ -多项式.
Quiver varieties and dual canonical bases
本文综述了量子群和$\imath$量子群对偶规范基理论的最新进展，介绍了$\imath$有向图代数，并展示了其在ADE类型准分裂$\imath$量子群中的两种实现方式，同时解决了若干猜想。
Notes: from dual canonical bases to triangular bases of quantum cluster algebras
本文证明任意可对称化 Kac–Moody 代数对应量子幺幂子群的对偶典范基即量子丛代数的公共三角基，并据此说明其包含所有量子丛单项式。
Stability of $\imath$canonical bases of locally finite type
本文证明了局部有限型$\imath$典范基的稳定性猜想，通过刻画$q=\infty$处$\imath$量子群的平凡模，为$\imath$晶体基理论提供了受限版本。
Product formulas for the cyclotomic v-Schur algebra and for the canonical bases of the Fock space
在我们以前的工作中，我们证明了与Ariki-Koike代数相关的分圆v-Schur代数的某些分解数的乘积公式. Yvonne证明了该代数的分解数可以用Uglov研究的高阶Fock空间的标准基来描述。本文证明了一个与Fock空间的标准基有关的乘积公式。鉴于Yvonne的猜想，这个公式被认为是我们以前公式的Fock空间的对应部分。
A parameterization of the canonical bases of affine modified quantized enveloping algebras
对于可对称化的Kac-Moody李代数$\textbf{g}$，Lusztig在[12]中引入了修正的量子化包络代数$\dot{\textbf{U}}(\textbf{g})$及其标准基.本文对有限仿射型对称李代数$\textbf{g}$定义了一个只依赖于根范畴的集合，并证明了该集合与$\dot{\textbf{U}}(\textbf{g})$的标准基之间存在一个双射，其中根范畴是Dynkin或Tame的导出范畴的$T^2$ -轨道范畴.我们的方法基于Lin，Xiao和Zhang在[9]中的一个定理，该定理给出了$\textbf{U}^+(\textbf{g})$的PBW-基。
Rational Ringel-Hall algebras, Hall polynomials of affine type and Canonical bases
本文引入了驯服箭图的有理Ringel-Hall代数，并将其等同于量子扩展Kac-Moody代数的正部分.利用有理Ringel-Hall代数，证明了驯服Ringel-Hall代数的Hall多项式的存在性.构造了PBW基，证明了一类新的反常层具有强纯性。这使得我们可以构造量子扩展Kac-Moody代数的正部分的标准基。
Two-parameter quantum algebras, canonical bases and categorifications
与单参数情况下的正则基理论并行地发展了双参数量子代数的正则基理论。在Lusztig工作的基础上，利用混合反常层和Deligne的权理论，给出了双参数量子代数的负部分的尺规作图法.给出了双参数量子代数的负部分的一个分类。一个双参数量子代数被证明是一个双上循环变形，只依赖于第二个参数，其单参数类似。
iQuantum groups and iHopf algebras II: dual canonical bases
本文基于i霍普夫代数构建了任意有限类型i量子群的对偶canonical基，并解决了Berenstein-Greenstein的若干猜想。
Positivity vs negativity of canonical bases
给出了修正量子$\mathfrak{gl}_n$的稳定正则基和修正量子共理想代数$\mathfrak{gl}_n$的一个类似基的结构常数为负的例子.与此相反，我们构造了$\mathfrak{sl}_n$的修正量子余理想代数的正则基，建立了它的结构常数的正性，关于几何双线性型的正性以及它对自然表示的张量幂幂的作用的正性.证明了这些Schur代数上的转移映射关于标准基的矩阵系数是正的。给出了秩为1的iSchur代数的标准基的计算公式。
Let ${\mathbf U}^-_q$ be the negative part of the quantized enveloping algebra associated to a Kac-Moody algebra ${\mathfrak g}$ of symmetric type, and $\underline{\mathbf U}^-_q$ the algebra corresponding to the orbit algebra ${\mathfrak g}^σ$ obtained from an admissible diagram automorphism $σ$ on ${\mathfrak g}$. Lusztig consructed the canonical basis ${\mathbf B}$ of ${\mathbf U}_q^-$ and the canonical signed basis $\underline{\widetilde{\mathbf B}}$ of $\underline{\mathbf U}_q^-$ by making use of the geometric theory of quivers. He proved that there is a natural bijection $\widetilde{\mat…
Canonical bases via pairing monomials
本文提出一种基于配对单项式的新公式与Lusztig-Shoji算法结合，用于计算有限ADE型量子群的典范基，并在A型中推广至计算仿射Hecke代数标准模的合成重数及简单模维数。
Dual canonical bases of quantum groups and $\imath$quantum groups II: geometry
本文通过两种不同方法证明了$\imath$量子群的双canonical基的等价性，并展示了其结构常数的正性和Braiding群作用的不变性。
An algorithm to compute the canonical basis of an irreducible Uq(g)-module
本文给出了有限维半单李代数的量子化包络代数上不可约模的标准基的计算方法。该算法适用于构造为具有已知规范基的模块的张量积的子模块的模块。
For quantum symmetric pairs $(\mathbf{U}, \textbf{U}^\imath)$ of Kac-Moody type, we construct $\imath$canonical bases for the highest weight integrable $\mathbf{U}$-modules and their tensor products regarded as $\mathbf{U}^\imath$-modules, as well as an $\imath$canonical basis for the modified form of the $\imath$quantum group $\mathbf{U}^\imath$. A key new ingredient is a family of explicit elements called $\imath$divided powers, which are shown to generate the integral form of $\dot{\bf{U}}^\imath$. We prove a conjecture of Balagovic-Kolb, removing a major technical assumption in the theory …
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