Painlevé VI and the Unitary Jacobi ensembles
最初出现在常微分方程研究中的六个Painlevé超越在物理问题中有着广泛的应用。其中著名的例子包括由稳态轴对称Einstein流形导出的Ernst方程的对称约化，以及McCoy，Tracy和Wu的二维Ising模型的自旋-自旋相关函数。本文研究的问题源于随机矩阵理论，即Tracy和Widom首先研究的有限$n$ Jacobi酉系综的最小特征值分布。这相当于计算频谱在间隔$[0,t]$上没有本征值的概率。这种集合也出现在多元统计中，称为双威沙特分布。我们考虑一个更一般的模型，其中的Jacobi权重扰动的不连续因素，并研究相关的有限汉克尔行列式。结果表明，Hankel行列式的对数导数满足Painlevé VI的一种特殊的$σ-$形式，这对带隙概率也成立.我们还精确地计算间隙概率的首项为$t\to 1^-$。
2009-12-23 math.CA
On Hankel matrices commuting with Jacobi matrices from the Askey scheme
给出了与Askey方案中的超几何正交多项式对应的Jacobi矩阵可交换的Hankel矩阵的完整刻画。作为本文的主要结果，广义Hilbert矩阵是唯一一个突出的无限秩Hankel矩阵，它如果被看作是$\ell^{2}(\mathbb{N}_{0})$上的一个算子，则可以通过应用交换子方法与上述家族中的Jacobi矩阵对角化.
2019-11-16 math.CA math.SP
Painlevé IV, Chazy II, and Asymptotics for Recurrence Coefficients of Semi-classical Laguerre Polynomials and Their Hankel Determinants
本文研究首一半经典 Laguerre 多项式，证明非对角递推系数满足 Chazy II，并结合库仑流体与离散系统得到递推系数、次首项系数及 Hankel 行列式的大 n 渐近展开。
2022-08-11 math-ph math.CA math.MP
Recurrence coefficients for the time-evolved Jacobi weight and discrete Painlevé equations on the $D_{5}$ Sakai surface
本文从 Sakai 几何理论角度证明，时间演化 Jacobi 权重所对应正交多项式递推系数满足的递推关系等价于标准 d-P(A₃⁽¹⁾/D₅⁽¹⁾) 方程。
2025-11-06 math.CA
Painlevé V and a Pollaczek-Jacobi type orthogonal polynomials
我们研究一个序列的多项式正交关于一个参数的家庭的权重$$ w(x):=w(x,t)=\rex^{-t/x}\:x^{\al}(1-x)^{\bt},\quad t\geq 0, $$定义为$x\in[0,1].$如果$t=0,$这减少到一个转移雅可比权重。我们的梯形算子形式主义和相关的兼容性条件给出了一个简单的确定的递归系数。对于$t>0,$，因子$\rex^{-t/x}$在$x=0.$诱导出一个无穷强零点。借助于相容条件，递推系数用一组满足差分方程组的辅助量表示。这些，当适当地结合一对户田式方程从正交性原则，表明辅助量是一个特定的Painlevé V和/或类似的功能。本文还证明了Hankel行列式的对数导数$$ D_n(t):=\det(\int_{0}^{1} x^{i+j} \:\rex^{-t/x}\:x^{\al}(1-x)^{\bt}dx)_{i,j=0}^{n-1}, $$满足Painlevé V的Jimbo-Miwa-Okamoto $σ-$形式，并且这个量满足一个我们认为是新的二阶非线性差分方程.
2008-12-31 math.CA
Center of mass distribution of the Jacobi unitary ensembles: Painleve V, asymptotic expansions
本文研究了有限$n$ Jacobi酉系综质心的概率密度函数，通过计算线性统计量的指数矩生成函数，揭示了其与Painleve V及渐近展开的联系。
2018-01-23 math.CA
Spectral representation of some weighted Hankel matrices and orthogonal polynomials from the Askey scheme
利用交换子方法给出了几种加权Hankel矩阵的显式谱表示。这些加权Hankel矩阵是在Jacobi矩阵与Askey方案的正交多项式相关的交换子中找到的，其Jacobi参数是指数的多项式函数。我们还提出了两个普遍感兴趣的结果。首先，我们给出了Jacobi矩阵的交换子的完整描述。其次，我们给出了加权Hankel矩阵与Jacobi矩阵可交换的充要条件，从而确定了$\ell^{2}(\mathbb{N}_{0})$上唯一的自伴算子。
2018-11-14 math.CA math.SP
The lowest eigenvalue of Jacobi random matrix ensembles and Painlevé VI
我们提出了两种互补的方法，每一个适用于不同的范围内，评估的Jacobi系综随机矩阵的最低特征值的分布。第一种方法解决了相关的Painleve VI非线性微分方程数值，与适当的初始条件，我们确定。第二种方法通过构造Painleve VI函数的幂级数展开来进行。我们的结果应用在即将发表的论文中，我们在其中模拟的椭圆曲线L-函数族的有限导体和几何正交对称的中心点以上的第一个零的分布。
2010-09-02 math-ph math.CA math.MP
On functions of Jacobi-Weierstrass (I) and equation of Painleve
这篇论文本质上是工作数学CA/0601371的扩展版本，并附有应用程序。本文给出了Jacobi的经典$θ$ -函数和Weierstrass的$σ$ -函数理论中的新结果：常微分方程和级数展开。给出了正则$θ$ -函数的推广，并考虑了它在第六类Painlevé方程（P6）中的应用. Picard--P6的Hitchin通解以相应的$τ$ -函数的对数导数的形式（Painlevé形式）明确表示。
2008-08-26 hep-th math-ph math.CA
On diagonalizable quantum weighted Hankel matrices
将一个半无限加权Hankel矩阵显式对角化为$\ell^{2}(\mathbb{N}_{0})$上的一个算子.该方法利用的事实，该运营商交换与对角化Jacobi运营商对应的Al-Salam-Chihara正交多项式。又一个加权汉克尔矩阵，其与连续$q$ -Laguerre多项式相关的Jacobi算子交换，被对角化。作为应用，导出了几个新的量子正交多项式的积分公式。此外，还提到了一个有关量子希尔伯特矩阵的开放研究问题。
2021-12-11 math.CA math.SP
Hankel Determinant Approach to Generalized Vorob'ev-Yablonski Polynomials and their Roots
广义Vorob'ev-Yablonski多项式是由Clarkson和Mansfield在研究第二类Painlevé族的有理解时引入的。我们提出了新的Hankel行列式的身份，这些特殊的多项式的平方舒尔多项式。作为恒等式的一个应用，我们分析了广义Vorob'ev-Yablonski多项式的根，并给出了在\cite{CM}中数值观察到的高度正则模式的边界曲线的公式。
2015-04-02 math-ph math.CA math.MP
Differential, Difference and Asymptotic Relations for Pollaczek-Jacobi Type Orthogonal Polynomials and Their Hankel Determinants
本文研究奇异摄动Pollaczek-Jacobi型权$$ w(x,t):=(1-x^2)^α\mathrm{e}^{-\frac{t}{1-x^{2}}},\qquad x\in[-1,1],\;\;α>0,\;\;t>0. $$的正交多项式.利用梯形算子方法，建立了一元正交多项式的递推系数$β_n(t)$和次导系数$\mathrm{p}(n,t)$分别满足的二阶差分方程.我们表明，对数导数的$β_n(t)$可以表示在一个特定的Painlevé V超越。利用Dyson库仑流体方法和相应的差分方程，得到了$β_n(t)$和$\mathrm{p}(n,t)$的大$n$渐近展开式.此外，我们研究了相关的汉克尔行列式$D_n(t)$，并表明，一个数量$σ_n(t)$，结盟的对数导数的$D_n(t)$，可以表示在$σ$ -功能的一个特定的Painlevé V。二阶微分和差分方程$σ_n(t)$也得到。最后，我们从$β_n(t)$和$\mathrm{p}(n,t)$与$σ_n(t)$和$D_n(t)$的关系出发，得到了它们的大$n$渐近性.
2021-04-16 math.CA nlin.SI
Semi-classical Jacobi Polynomials, Hankel Determinants and Asymptotics
研究了对称半经典Jacobi权生成的正交多项式和Hankel行列式。利用梯形算子技巧，导出了一元正交多项式的递推系数$β_n(t)$和次导系数$\mathrm{p}(n,t)$所满足的二阶非线性差分方程.这使得我们能够基于Kuijlaars等人的结果[Adv. Math. \textbf{188}（2004）337-398]获得$β_n(t)$和$\mathrm{p}(n,t)$的大的$n$渐近性。此外，我们证明了二阶微分方程所满足的正交多项式，与所有的系数表示的$β_n(t)$。从辅助量的$t$演化出发，证明了$β_n(t)$满足一个二阶微分方程，而$R_n(t)=2n+1+2α-2t(β_n(t)+β_{n+1}(t))$满足一个特殊的Painlevé V方程.此外，我们证明了相关的Hankel行列式的对数导数满足二阶微分和差分方程。Hankel行列式的大$n$渐近性是由它的整表示$β_n(t)$和$\mathrm{p}(n,t)$导出的。
2021-11-03 math-ph math.CA math.MP
Generalized Freud weight, discrete Painlevé I hierarchy and full asymptotics of Hankel determinants
School of Mathematics and Statistics, Hunan University of Science and Technology（湖南科技大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, Huaqiao University（华侨大学数学科学学院）
本文研究广义Freud权对应的正交多项式与Hankel行列式，揭示离散Painlevé I hierarchy的统一结构，推导相关微分方程与恒等式，得到这些量的完全渐近展开并以十次Freud权为例说明。
2026-08-11 math-ph math.CA math.MP
Asymptotics for Hankel Determinants Associated to a Hermite Weight with a Varying Discontinuity
本文研究了由实直线上具有Fisher-Hartwig奇异性的Hermite权的矩构造的$n\times n$ Hankel行列式.我们考虑的情况下，奇异性是在体，是根型和跳跃型。我们得到大$n$渐近这些汉克尔行列式，我们观察到一个临界转变时，跳跃的大小随$n$。这些决定因素出现在稀疏的广义高斯酉系综和建设的特殊功能解决方案的Painlevé IV方程。
2018-03-07 math-ph math.CA math.CV
Orthogonal polynomials: from Heun equations to Painlevé equations
本文研究了四种权函数对应的正交多项式，给出了其满足的二阶线性微分方程及Heun方程，利用等单值形变方法将其转化为Painlevé方程，并讨论了Hankel行列式的渐近行为。
2024-12-19 math.CA
Coefficientwise Hankel-total positivity of the row-generating polynomials for the output matrices of certain production matrices
本文利用生产矩阵理论，给出了广义m-Jacobi-Rogers三角形等行生成多项式的系数式Hankel全正性判别准则，并应用于多种组合多项式，解决了Sokal提出的猜想。
2024-04-22 math.CA math.CO
Painlevé V and time dependent Jacobi polynomials
在本文中，我们研究最简单的变形序列的正交多项式，即取代原来的（或参考）的重量$w_0(x)$定义在一个区间上的$w_0(x)e^{-tx}.$。这是一个众所周知的事实，在这样的变形下的递归系数表示为$α_n$和$β_n$演变在$t$根据户田方程，产生的时间相关的正交多项式，使用Sogo的术语。所得到的“时间相关”雅可比多项式满足线性二阶方程。我们将证明该颂歌的系数与特定的Painlevé V密切相关。此外，我们还证明了与“时间相关”雅可比权重相关的一元正交多项式的$z^{n-1}$系数满足，直到$t,$中的翻译Jimbo-Miwa $σ$ -当递归系数$P_{V};$取决于$t$中的平移和线性分数变换$P_{V}(α^2/2,-β^2/2, 2n+1+α+β,-1/2).$时，组合一对非线性差分方程和一对Toda方程。这将反过来使我们能够证明，与一类Toeplitz加Hankel算子相关的某个Fredholm行列式与Painlevé方程有联系。
2009-05-15 math-ph math.CA math.MP
Zeros of large degree Vorob'ev-Yablonski polynomials via a Hankel determinant identity
本文给出了Vorob'ev-Yablonski多项式$\mathcal{Q}_n(x),x\in\mathbb{C}$平方的一种新的Hankel行列式表示.这些多项式是第二个潘勒韦方程$u_{xx}=xu+2u^3+α$的有理解的主要成分。作为新恒等式的一个应用，我们通过渐近分析与上述Hankel行列式相关的一组（伪）正交多项式，研究了$\mathcal{Q}_n(x)$作为$n\rightarrow\infty$的零分布。我们的方法再现了Buckingham和Miller \cite{BM}最近在相同背景下获得的结果，其中使用了PII方程的Jimbo-Miwa Lax表示及其渐近分析。
2014-01-06 math-ph math.CA math.MP
New explicitly diagonalizable Hankel matrices related to the Stieltjes-Carlitz polynomials
给出了四个新的依赖于参数$k\in(0,1)$的显式可对角化Hankel矩阵的例子. Hankel矩阵被看作是希尔伯特空间$\ell^{2}(\mathbb{N}_{0})$上的矩阵算子，谱问题的求解基于交换子方法的应用.每一个汉克尔矩阵与雅可比矩阵交换，雅可比矩阵与斯蒂尔吉斯-卡利茨多项式的特定家族相关。更多的例子显式可对角化的结构矩阵算子时，也考虑加权汉克尔矩阵。
2019-11-19 math.CA math.SP
Joint moments of characteristic polynomials in the circular Jacobi ensemble and Painlevé equations
University of Bristol（布里斯托大学）；Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）
该研究建立圆雅可比系综中特征多项式联合矩与σ-Painlevé V、III'方程解的联系，解决相关问题并将Hua-Pickrell测度联合矩结果从实参数扩展到复参数。
2026-08-26 math-ph math.CA math.MP
Asymptotics of determinants of Hankel matrices via non-linear difference equations
E.海涅在19世纪研究了一个系统的正交多项式与重量$\left[x(x-α)(x-β)\right]^{-\frac{1}{2}}$，$x\in[0,α]$，$0<α<β$。C. J. Rees在1945年提出的，与重量$\left[(1-x^2)(1-k^2x^2)\right]^{-\frac{1}{2}}$、$x\in[-1,1]$、$k^2\in(0,1)$相关联。这些也被称为椭圆正交多项式，因为权重的矩可以用椭圆积分表示。这样的正交多项式是非常感兴趣的，因为相应的汉克尔行列式，取决于一个参数$k^2$，其中$0<k^2<1$是$τ$ ~功能的一个特定的Painlevé VI，其特殊情况是相关的枚举问题所产生的弦理论。我们表明，递推系数，表示为$β_n(k^2),\;n=1,2,\dots$ ;和${\rm p}_1(n,k^2)$，系数$x^{n-2}$的一元多项式正交关于广义版本的重量研究里斯，$$ (1-x^2)^α(1-k^2x^2)^β,\;\;x\in[-1,1],\;α>-1,\;β\in \mathbb{R}, $$满足二阶非线性差分方程。基于差分方程的大$n$展开与相关汉克尔行列式的前导项的已知渐近性相结合时，产生了汉克尔行列式的完全渐近展开。还讨论了Painlevé方程以及由Rees发现的线性二阶微分方程的推广。
2015-06-16 math-ph math.CA math.MP
Orthogonal polynomials and Hankel Determinants for certain Bernoulli and Euler Polynomials
利用某些多Γ函数的连分式展开式作为主要工具，我们找到了关于奇指数伯努利多项式$B_{2k+1}(x)$和Euler多项式$E_{2k+ν}(x)$的正交多项式，其中$ν=0, 1, 2$ .在这个过程中，我们还确定了相应的Jacobi连分数（或J-分数）和Hankel行列式。在所有这些情况下，汉克尔行列式是$x$中的多项式，它完全分解有理数。
2020-06-26 math.CA math.CV math.NT
Aspects of Toeplitz determinants
我们回顾了一类Toeplitz（以及相关的Hankel和Toeplitz + Hankel）行列式的渐近行为，这些行列式出现在可积模型和其他背景下。我们讨论Szego，Fisher Hartwig渐近，以及它们之间的过渡是如何与Painleve V方程。某些Toeplitz和Hankel行列式在某些双标度极限中还原为Fredholm行列式，这些行列式出现在群表示理论、随机矩阵、随机置换和划分中。Toeplitz行列式的连接有助于评估相关Fredholm行列式的渐近性的情况下的利益，我们审查相应的结果。
2011-10-18 math-ph math.CA math.FA
Rational Solutions of the Painlevé-III Equation
所有的六个Painlevé方程，除了第一个有家庭的合理解决方案，这是经常重要的应用。第三个一般形式的Painlevé方程依赖于两个参数$m$和$n$，当且仅当至少一个参数是整数时，它有有理解。我们使用已知的代数表示的解决方案，研究数值的极点和零点的分布如何表现为$n\in\mathbb{Z}$增加，以及如何与$m\in\mathbb{C}$的图案变化。研究表明，在大$n\in\mathbb{Z}$极限下，以$m\in\mathbb{C}$为辅助参数考虑有理解是合理的.为了分析在这个极限的合理的解决方案，代数技术需要补充的分析，本文的主要新贡献是开发一个Riemann-Hilbert表示的合理的解决方案的Painlevé-III，是服从渐近分析。进一步假设$m$是一个半整数，我们从Riemann-Hilbert表示导出了一个有限维Hankel系统的有理解，其中$n\in\mathbb{Z}$作为一个显式参数出现.
2018-01-13 math-ph math.CA math.MP
Hankel determinants of Eisenstein series
本文证明了经典Eisenstein级数$E_{2n}$的模判别式$Δ$的平方为3 × 3 Hankel行列式的Garvan公式.然后，我们得到了类似的公式，涉及子的Hankel行列式$E_{2r}Δ^m$，$m=1,2,3$和$r=2,3,4,5,7$，和$E_{14}Δ^4$。接下来，我们使用Mathematica来发现，然后使用模形式环的标准结构理论，推导出我们的无限公式族的一般形式，该公式族扩展了$Δ$的经典公式和Garvan的$Δ^2$公式。该通式将$n\times n$汉克尔行列式$\det(E_{2(i+j)}(q))_{1\leq i,j\leq n}$表示为$Δ^{n-1}(τ)$的乘积，$Δ^{n-1}(τ)$是$E_4^3$和$E_6^2$的齐次多项式，如果需要，还可以表示为$E_4$。我们还包括一个简单的验证证明$Δ$的经典2 × 2汉克尔行列式公式。这个证明依赖于Jacobi的Fundamenta Nova中椭圆函数参数的多项式性质。模形式方法为行列式恒等式提供了方便的解释。
2000-12-27 math.CA math.NT
Transition asymptotics for the Painlevé II transcendent
我们考虑第二类Painlevé方程$u_{xx}=xu+2u^3$的实值解$u=u(x|s),x\in\mathbb{R}$，它是用相应的Flaschka-Newell有理微分方程组的单值数据$s\equiv(s_1,s_2,s_3)\subset\mathbb{C}^3$参数化的.我们的分析描述的过渡，作为$x\rightarrow-\infty$，振荡功率衰减渐近之间的$|s_1|<1$（Ablowitz-Segur）的功率增长行为的$|s_1|=1$（Hastings-McLeod）和从后者的奇异振荡功率增长的$|s_1|>1$（Kapaev）。证明了转移渐近性是Boutroux型的，即它们用Jacobi椭圆函数表示。作为我们的结果的应用，我们得到的Airy核行列式$\det(I-γK_{\textnormal{Ai}})|_{L^2(x,\infty)}$在双标度极限$x\rightarrow-\infty,γ\uparrow 1$以及渐近的$K_{\textnormal{Ai}}$的频谱。
2015-02-26 math-ph math.CA math.MP
The hyperbolic maximum principle approach to the construction of generalized convolutions
我们介绍了一个统一的框架，建设卷积和产品公式与一般类的定期和奇异Sturm-Liouville边值问题。我们的方法是基于应用Sturm-Liouville谱理论研究相关的双曲型方程。作为副产品，建立了初值位于抛物线上的退化双曲柯西问题解的存在唯一性定理。研究了Sturm-Liouville算子生成的卷积算子的映射性质。从概率调和分析的各种概念和事实的类比是在卷积测度代数上发展的。各种例子表明，许多已知的卷积型运营商-包括那些与汉克尔，雅可比和指数惠特克积分变换-可以使用这种一般的方法构建。
2019-01-29 math.AP math.CA math.PR
