Liénard型方程$\ddot{x}+f(x)\dot{x}+g(x) = 0$可积情形的群论识别（I）：具有非最大Lie点对称数的方程

二次Li $\acute{\textbf{e}}$ nard型方程$\ddot{x}+f(x)\dot{x}^2+g(x)=0$的Lie点对称分类

Classification of Lie point symmetries for quadratic Li$\acute{\textbf{e}}$nard type equation $\ddot{x}+f(x)\dot{x}^2+g(x)=0$

本文对二次Li $\acute{e}$ nard型方程$\ddot {x} + f(x){\dot {x}}^{2} + g(x)= 0$的Lie点对称群进行了完全分类，其中$f(x)$和$g(x)$是$x$的任意函数.对称性分析分为两种情况，$(i)$最大（八参数）对称群和$(ii)$非最大（三，二和一个参数）对称群。我们确定的最一般形式的二次李$\acute{e}$纳德方程在这些情况下。在八参数对称群的情况下，所确定的一般方程既可线性化又可等时。我们提出了具体的例子物理兴趣。对于非最大的情况下，所确定的方程都是可积的，包括几个物理上有趣的例子，如马修斯-拉克什曼南振荡器，粒子上的旋转抛物井等，我们还分析了基本的等价变换。

混合二次线性Li $\acute{\textbf{e}}$ nard型方程$\ddot{x}+f(x)\dot{x}^2+g(x)\dot{x}+h(x)=0$的完全Lie点对称分类

On the complete Lie point symmetries classification of the mixed quadratic-linear Li$\acute{\textbf{e}}$nard type equation $\ddot{x}+f(x)\dot{x}^2+g(x)\dot{x}+h(x)=0$

在本文中，我们开发了一个系统的和自洽的程序的基础上的一组兼容性条件，以确定所有的最大（八个参数）和非最大（一个和两个参数）的对称群与混合二次线性Li $\acute{e}$纳德型方程，$\ddot {x} + f(x){\dot {x}}^{2} + g(x)\dot{x}+h(x)= 0$，其中$f(x),\,g(x)$和$h(x)$是$x$的任意函数。借助于这个过程，我们证明了对称函数$b(t)$在非极大值情况下为零，而在极大值情况下则不然。在此基础上，将对称性分析分为两种情况：最大对称群$(b\neq0)$的$(i)$和非最大对称群$(b=0)$的$(ii)$。然后，我们确定的最一般形式的混合二次线性李$\acute{e}$纳德型方程在这些情况下。在八参数对称群的情况下，所确定的一般方程变为可线性化的。我们提出一个物理兴趣的具体例子。在非极大对称群的情况下，所确定的方程都是可积的。通过给出通解或构造与时间无关的哈密顿量，证明了所有方程的可积性。我们还分析了潜在的等价变换。

Liénard型方程$\ddot{x}+f(x)\dot{x}+g(x) = 0$中可积方程的群论识别：第II部分：具有极大Lie点对称性的方程

A Group Theoretical Identification of Integrable Equations in the Liénard Type Equation $\ddot{x}+f(x)\dot{x}+g(x) = 0$ : Part II: Equations having Maximal Lie Point Symmetries

在这第二组的两个文件的李对称性分析的一类Liénard型方程的形式$\ddot {x} + f(x)\dot {x} + g(x)= 0$，其中过点表示微分关于时间和$f(x)$和$g(x)$是光滑函数的变量，我们隔离的方程具有最大的李点对称性。众所周知，任何二阶非线性常微分方程，只要具有八参数李点对称性，都可以通过点变换线性化为自由粒子方程。因此，所有确定的方程都是可线性化的。我们还证明了只有当$f_{xx} =0$（下标表示微分）时，才能得到上述Liénard方程的极大Lie点对称.此外，我们还讨论了本文中所确定的所有非线性方程的线性化变换和解。

Integrable coupled Li$\acute{e}$nard-type systems with balanced loss and gain

A Hamiltonian formulation of generic many-particle systems with space-dependent balanced loss and gain coefficients is presented. It is shown that the balancing of loss and gain necessarily occurs in a pair-wise fashion. Further, using a suitable choice of co-ordinates, the Hamiltonian can always be reformulated as a many-particle system in the background of a pseudo-Euclidean metric and subjected to an analogous inhomogeneous magnetic field with a functional form that is identical with space-dependent loss/gain co-efficient.The resulting equations of motion from the Hamiltonian are a system o…

关于修正的Emden型方程$\ddot{x}+αx\dot{x}+βx^3=0$的通解

On the general solution for the modified Emden type equation $\ddot{x}+αx\dot{x}+βx^3=0$

本文证明了修正的Emden型方程（$\ddot{x}+αx\dot{x}+βx^3=0$）对$α$和$β$的任意值都是显式可积的或求积可积的.我们还证明了在参数$α$和$β$的整个范围内，该系统具有适当的与时间无关的哈密顿函数.此外，我们还证明了该积分与两个著名的非线性模型，即无力Duffing型振子方程和二维Lotka-Volterra（LV）方程密切相关，从而后两个模型的完全可积性也可以用该积分来理解.

KdV6：一个可积系统

KdV6: An Integrable System

$K^2 S^2 T [5]$最近推导出了一个新的6阶$^{th}$波动方程$KdV6$：$(\partial^2_x + 8u_x \partial_x + 4u_{xx})(u_t + u_{xxx} + 6u_x^2) = 0$，发现了一个线性问题和对其的自动B ${\ddot{\rm{a}}}$ ckclund变换，并推测了其通常意义上的可积性。我们证明了这个猜想，通过构建一个无限的交换层次$KdV_n6$与一个共同的无限集的保守密度。给出了一个适用于任何双Hamilton系统（如所有标准Lax方程，连续的和离散的）的一般构造，给出了它的一个非完整扰动，并证明了这个扰动是保持可积性的.这一猜想在几个典型的例子中得到了验证：经典长波方程、户田格（连续和离散）和欧拉顶。