Monotonicity of time-dependent transportation costs and coupling by reflection
在研究扩散过程反射耦合的基础上，在黎曼流形上，在Bakry-Emery曲率维数条件下，证明了热分布之间的不定常输运费用随时间的单调性.费用函数来自于空间形式上热分布之间的全变差。作为推论，我们得到了热分布之间的全变差的一个比较定理。此外，我们还证明了在一致曲率维数和直径上界下，我们的单调性在底层空间的格罗莫夫-豪斯多夫收敛下是稳定的.
2012-04-15 math.AP math.DG math.PR
Extrinsic geometry of calibrated submanifolds
本文针对稳定子群可迁作用的校准α提出李理论条件“顺应性”，证明其适用于多类经典校准并完成刻画，同时刻画了平行顺应校准下黎曼浸入的外蕴几何约束，推广了超极小曲面概念。
2024-04-11 math.DG
Sharp Sobolev inequalities on noncompact Riemannian manifolds with ${\sf Ric}\geq 0$ via Optimal Transport theory
本文基于 Optimal Mass Transportation 理论，在具有非负 Ricci 曲率的非紧黎曼流形上建立了 sharp $L^p$-Sobolev 和对数 Sobolev 不等式，并为体积非塌陷估计提供了初等证明。
2024-07-26 math.AP math.DG math.FA
Transportation-Cost Inequalities on Path Space Over Manifolds with Boundary
设$L=\DD+Z$对于完备黎曼流形上的可能有边界的$C^1$向量场$Z$.利用均匀距离，证明了（反射）$L$ -扩散过程在道路空间上的多个运输成本不等式与曲率条件$\Ric-\nn Z\ge - K$和边界凸性（如果存在）等价。这些不等式即使在无边界流形上也是新的，并利用度量的共形变换使边界从非凸到凸，部分地推广到非凸流形上。
2009-08-20 math.DG math.PR
Optimal transport and regularity of weak Kantorovich potentials on a globally hyperbolic spacetime
本文研究全局双曲时空上代价为 $c_2$ 的最优输运问题，通过分析弱 Kantorovich 势（$\pi$-解）的正则性，证明两 Borel 概率测度间最优输运映射的存在性、唯一性与结构。
2025-06-09 math-ph math.DG math.MP
Nonclassical minimizing surfaces with smooth boundary
本文在$\mathbb{R}^4$（任意接近于欧氏度量）和光滑的简单闭曲线$Γ\subset \mathbb R^4$上构造了一个黎曼度量$g$，使得由$Γ$张成的唯一面积极小曲面具有无穷拓扑.此外，度量几乎是Kähler和面积最小化表面校准。
2019-06-29 math.AP math.DG
Displacement interpolations from a Hamiltonian point of view
最优运输理论中最著名的结果之一是关于黎曼瓦瑟斯坦度量的熵泛函的凸性与基本黎曼流形的里奇曲率下界之间的等价性。这个结果也被推广到Finsler流形和具有里奇流背景的流形。本文从哈密顿系统的角度研究位移插值，并给出了上述结果的统一方法。
2013-07-20 math.DG
Riemannian Ricci curvature lower bounds in metric measure spaces with $σ$-finite measure
利用度量空间中的最优输运和梯度流技巧，推广了黎曼曲率维数条件$RCD(K,\infty)$的概念（在参考测度是有限的情况下）由第一和第二作者Giuseppe Savare '，对于参考测度是$σ$ -有限的情况;以这种方式该理论包括自然的例子如被赋予勒贝格测度的欧几里得$n$维空间，和非紧流形与有界几何赋予黎曼体积测度。本文的另一个主要目标是简化$RCD(K,\infty)$的公理化（即使在有限参考测度的情况下），用$CD(K,\infty)$的经典概念代替严格$CD(K,\infty)$的假设。
2013-02-17 math.DG math.MG
Coupling of Brownian motions and Perelman's L-functional
我们证明了在黎曼度量在向后里奇流下演化的流形上，两个布朗运动可以以这样一种方式耦合，即它们的归一化L-距离的期望是不增加的。作为一个直接的推论，我们获得了一个新的证明，最近的结果Topping（J。636（2009），93-122），即热方程的两个解之间的归一化L-运输成本也是非递增的。
2010-07-08 math.DG math.PR
Continuity and injectivity of optimal maps for non-negatively cross-curved costs
考虑将一个质量分布输送到另一个质量分布上，选择该输送以优化总期望成本，其中从x输送到y的每单位质量的成本由光滑函数c（x，y）给出。如果源密度f^+（x）在开区域U' \subset R^n中远离零和无穷大有界，并且目标密度f^-（y）在其支集clV \subset R^n上远离零和无穷大有界，该支集相对于U'是强c凸的，并且运输成本c是非负交叉曲线的，我们推导出U'内部最优映射的连续性和内射性（使得关联势u属于C^1（U'））。这个结果在低/内部正则性设置中提供了关键的一步：在随后的论文[15]中，我们使用它来建立关于球面的任意乘积上的黎曼距离平方的最优映射的正则性。本文还提供了Figalli和Loeper在较弱的（实际上是必要的）假设A3 w [17]下得出最优映射的二维连续性结论所需的论证。在高维中，如果密度f^ \pm是Hölder连续的，我们的结果允许从Liu，Trudinger和Wang [33]的工作中推导出映射在U'内的连续可微性（实际上，相关势的C^{2，α}_{loc}正则性）.
2009-11-20 math.AP math.DG
Parabolic optimal transport equations on manifolds
本文研究了一类抛物型方程在紧致黎曼流形上的最优输运问题的解，该问题具有一般的费用函数。我们证明了，如果费用满足强MTW条件和远离奇异性，则具有任何适当初始条件的抛物流解始终存在，并且指数收敛于最优运输问题的解.这样的结果特别适用于球体上的圆度量的距离平方成本和远场反射器天线成本等。
2010-08-23 math.DG
Stability of submanifolds with parallel mean curvature in calibrated manifolds
在具有$(m+1)$ -校准$Ω$的黎曼流形$\bar{M}^{m+n}$上，证明了具有常数中曲率$H$和校准的扩展切空间$\mathbb{R}H\oplus TM$的$m$ -子流形$M$是保持封闭$Ω$ -体积的变分的面积泛函的临界点.这恢复了Barbosa，do Carmo和Barenburg所描述的情况，当$n=1$和$Ω$是$\bar{M}$的体积元素时。对于第二种变分，我们将$Ω$ -Jacobi算子与之联系起来，定义了$Ω$ -稳定性.在自然条件下，我们证明了欧氏$m$ -球面是$\mathbb{R}^{m+n}$的唯一$Ω$ -稳定子流形.研究了具有全测地$(m+1)$维纤维的广义空间形式$M^{m+n}$的测地$m$ -球的$Ω$-稳定性.
2010-10-21 math-ph math.DG math.MP
Yang-Mills flow on special-holonomy manifolds
本文研究特殊完整流形上的Yang-Mills流，证明曲率分量上确界界可排除有限时间奇点，并证明无限时间冒泡集由$(n-4)$-形式校准。
2019-02-08 math.DG
Parallel calibrations and minimal submanifolds
给出黎曼流形$M$上的一个平行校准$ϕ\in Ω^p(M)$，证明了具有非零临界值的$ϕ$ -临界子流形是极小子流形。证明了$ϕ$临界子流形是$\mathscr{C}^\infty(M)$线性子空间$\sP \subset Ω^p(M)$的积分流形.特别地，被校准的子流形必然是系统的积分子流形。（平行校准的例子包括Calabi-Yau流形上的特殊拉格朗日校准，$G_2$ -流形上的（共）关联校准，以及$\tSpin(7)$ -流形上的Cayley校准。
2009-12-04 math.DG
Angles between curves in metric measure spaces
本文的目的是在度量（和度量测度）空间的框架下研究两条曲线之间的夹角。更确切地说，我们给出了度量空间中两条曲线夹角的一个新概念。这种概念与最优运输有着天然的相互作用，特别适合于满足曲率维数条件的度量测度空间。实际上，主要结果之一是$RCD^{*}(K,N)$度量测度空间上余弦公式的有效性。因此，新引入的概念与黎曼流形、Ricci极限空间和Alexandrov空间的相应经典概念是相容的。
2017-01-18 math.DG math.MG
Hölder continuity and injectivity of optimal maps
考虑将一个质量分布输送到另一个质量分布上，选择该输送以优化总预期成本，其中从x输送到y的每单位质量的成本由平滑函数c（x，y）给出。如果源密度f^+（x）在开区域U' \subset R^n中远离零和无穷大有界，并且目标密度f^-（y）在其支撑\cl V \subset R^n上远离零和无穷大有界，该支撑相对于U'是强c-凸的，并且运输成本c满足Trudinger和Wang \cite{TrudingerWang07p}的A3 w条件，我们推导出U'内部最优映射的局部Hölder连续性和内射性（使得相关势u属于C^{1，α}_{loc}（\U '）））。这里指数α>0只取决于维数和密度的界限，而不取决于c。我们的结果提供了一个关键的一步，在低/内部的正则性设置：在续集\cite{FigalliKimMcCann09p}，我们用它来建立正则性的最佳映射的黎曼距离平方上的任意产品的领域。本文介绍了三个关键工具。也就是说，我们首先找到一个变换，在A3 w下使c-凸函数水平集凸（也是由刘\cite{Liu09}独立于我们获得的）。然后，我们得到了新的Alexandrov型估计的水平集凸c-凸函数，和拓扑引理表明最优映射不混合内部与边界。Figalli和Loeper \cite{FigalliLoeper08p}需要这个不需要A3 w的拓扑引理来得出二维最优映射的连续性。在高维中，如果密度f…
2011-07-06 math.AP math.DG
HV Geometry for Signal Comparison
本文在信号空间上构建同时度量水平与垂直形变的 Riemannian 几何，支持不连续和带符号信号，证明测地线性质并给出数值计算方法。
2023-04-23 math.DG math.MG math.OC
Convex functions defined on metric spaces are pulled back to subharmonic ones by harmonic maps
如果$u : Ω\subset \mathbb{R}^d \to {\rm X}$是一个在度量空间${\rm X}$中取值的调和映射，${\sf E} : {\rm X} \to \mathbb{R}$是一个凸函数，在它产生一个${\rm EVI}_0$ -梯度流的意义下，我们证明了拉回${\sf E} \circ u : Ω\to \mathbb{R}$是次调和的.该性质在光滑Riemannian流形设置或${\rm X}$上的曲率限制中是已知的，而我们在这里以完全一般性的方式证明了它。此外，我们建立了广义最大值原理，在这个意义上，$L^q$规范的${\sf E} \circ u$ $\partial Ω$控制$L^p$规范的${\sf E} \circ u$在$Ω$的一些精心挑选的指数$p \geq q$，包括情况$p=q=+\infty$。特别地，当${\sf E}$是Wasserstein空间上的测地凸熵时，我们的结果适用，从而解决了Y的一些问题。Brenier，“扩展的Monge-Kantorovich理论”，最优运输和应用（Martina Franca，2001），数学讲义第1813卷，第91-121页。施普林格，柏林，2003年。
2021-07-20 math.AP math.DG math.MG
Positive biorthogonal curvature on $S^2 \times T^2$ via affine connection
本文通过引入带反对称挠率且经非平凡上同调类校准的仿射联络，克服 \\(S^2 \times T^2\\) 上 \\(χ=0\\) 的拓扑约束，在不要求度量相容性的条件下构造出严格正双正交曲率。
2025-07-17 math.DG
