Matrix Product States, Projected Entangled Pair States, and variational renormalization group methods for quantum spin systems
F. Verstraete, J. I. Cirac, V. Murg
本文综述了利用矩阵乘积态和投影纠缠对态的变分重整化群方法在理论理解和数值实现方面的最新进展。
This article reviews recent developments in the theoretical understanding and the numerical implementation of variational renormalization group methods using matrix product states and projected entangled pair states.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Mathematical open problems in Projected Entangled Pair States
投影纠缠对态（PEPS）是量子多体系统基态的有效参数化。本文的目的是提出，为广大的数学观众，一些数学问题的PEPS。
Projected d-wave superconducting state: a fermionic projected entangled pair state study
我们研究的物理投影d-波配对状态使用他们的费米投影纠缠对态（fPEPS）表示。首先，我们使用高斯fPEPS近似d波Bardeen-Cooper-Schrieffer态。接下来，我们将得到的状态转换为fPEPS张量，并实现Gutzwiller投影，通过修改局部张量元素来消除双重占用。张量网络表示的投影d-波配对状态，使我们能够评估物理量的热力学极限，而不采用Gutzwiller近似。尽管有非常少的变分参数，这种物理动机张量网络状态显示出竞争力的能量为掺杂的t-J模型。我们期望这样的构造为变分张量网络计算提供有用的初始状态和指导。
Chiral projected entangled-pair state with topological order
我们表明，投影纠缠对态（PEPS）可以描述手性拓扑有序相。为此，我们构建了一个简单的PEPS自旋1/2粒子在二维晶格。我们揭示了对称性的PEPS，产生了全球拓扑字符的本地投影仪。我们还提取的特征量的边缘共形场论使用的体积边界对应。
Striped critical spin liquid in a spin-orbital entangled RVB state in a projected entangled-pair state representation
在自旋-$\frac12$和赝自旋- $\frac12$的正方晶格上引入自旋-轨道纠缠共振价键态。像标准的RVB态一样，它是由自旋单态覆盖的晶格的最近邻硬核的叠加，但相邻的单态倾向于具有垂直的取向，更重要的是，每个单态的取向与其两个晶格位置上的轨道状态纠缠。SOE-RVB态可以用键维数为$D=4$的投影纠缠对态（PEPS）来表示。这种表示有助于揭示，状态是一个条纹覆盖的叠加保持拓扑量子数。条纹是临界量子自旋液体。我们提出了一个支持SOE-RVB基态的自旋轨道哈密顿量。
Simulating excitation spectra with projected entangled-pair states
我们开发和基准的技术，用于模拟激发光谱的一般二维量子晶格系统使用的框架投影纠缠对状态（PEPS）。该技术依赖于一个变分的ANEQUALITY捕捉准粒子激发顶部的PEPS基态。我们的方法很好地捕捉到了正方格子横场伊辛模型的准粒子色散关系，并高精度地再现了正方格子海森堡模型中的自旋波速度和自旋波反常.
Variational Approach to Projected Entangled Pair States at Finite Temperature
投影纠缠对态（PEPS）是强关联系统中的一种热态。我们引入了一种新的变分算法来优化这个张量网络。由于考虑了全张量环境，因此随着键维数的增加，优化的PEPS变成精确的Gibbs态。我们的演示以矩阵产品状态（MPS）的1D版本开始，然后推广到2D的PEPS。在量子伊辛模型的基准结果。
Fermionic Implementation of Projected Entangled Pair States Algorithm
提出并实现了一种有效的变分方法，利用费米子投影纠缠对态模拟二维有限尺寸费米子量子系统。这种方法不同于原来的方法，因为不需要额外的弦键来收缩张量网络。该方法是测试一个双线性费米子模型上的正方形晶格的尺寸高达10 × 10，实现了良好的相对精度。对于相互作用的费米子系统也得到了定性的好结果。
Scheme for measurement-based quantum computation on projected entangled-pair states
最近的研究表明，投射纠缠对态可以被认为是基于测量的量子计算的（物理动机）资源态。在这里，我们详细阐述了如何构建一个确定性的测量为基础的量子计算模型的投影纠缠对状态。特别地，我们使用这个方案建立了一个4能级多体模型，用于量子比特上的通用量子计算。我们还导出了该模型的3-局域父哈密顿量，其基态是非简并的。
Projected Entangled Pair States at Finite Temperature: Imaginary Time Evolution with Ancillas
在虚时间中演化出一个带附加环的投影纠缠对态。该张量网络表示2D晶格量子系统的热状态。作为一个基准应用，得到了二维量子伊辛模型在横向场中的有限温度相图。
Approximating local observables on projected entangled pair states
张量网络状态有充分的理由被认为捕获在凝聚态背景下产生的带隙局部哈密顿量的基态，这些状态又被期望满足纠缠面积定律。然而，在设计密度矩阵重整化群方法的高维变体时，二维和更高维系统中收缩投影纠缠对态的计算难度通常被视为一个重大障碍。在这项工作中，我们表明，对于那些预计将提供良好的近似的本地哈密顿量的这种基态的投影纠缠对状态，可以计算本地的期望值在准多项式时间。因此，我们提供了一个复杂性理论的理由，为什么国家的最先进的数值工具在实践中工作得如此之好。我们评论如何传输运营商的这种投影纠缠对状态有一个差距，并讨论局部拓扑量子秩序的概念。最后，我们转向量子计算机上的局部期望值的计算，为小规模量子计算机提供了一个有意义的应用。
A generalization of the injectivity condition for Projected Entangled Pair States
我们引入了一类张量网络态，我们称之为半内射投射纠缠对态（PEPS）。它们扩展了单射PEPS类，并包括其他状态，如正方形晶格中的AKLT和CZX模型的基态。我们构建了半内射PEPS是唯一的基态的父哈密顿算子。我们还确定了两个张量在两个空间维中产生同一族这样的态的充分必要条件。利用这一结果，我们证明了对称保护拓扑相位的第三上同调标记扩展到半内射PEPS。
Simulating one hundred entangled atoms using projected-interacting full configuration interaction wavefunctions corrected by projected density functionals
本文提出了一种结合投影相互作用全配置相互作用与密度泛函理论的方法，用于高效模拟大规模纠缠原子系统，提升量子材料建模的准确性。
Tensor renormalization of quantum many-body systems using projected entangled simplex states
为了研究量子晶格模型的基态性质，我们提出了一类新的张量网络态，我们称之为投影纠缠单形态（PESS）。这些态将投影纠缠对态（PEPS）的对关联基推广到了单形。PESS是单纯态的精确表示，并提供了一个有效的试探波函数，满足纠缠熵的面积定律。我们介绍了一个简单的更新方法来评估的PESS波函数的基础上的时间演化和高阶奇异值分解的张量。通过将这种方法应用于自旋为1/2的反铁磁海森堡模型的kagome晶格，我们得到了准确和系统的结果的基态能量，接近最低的上限尚未估计这个量。
Time evolution of projected entangled pair states in the single layer picture
提出了一种利用投影纠缠对态模拟二维量子多体系统的有效算法。这是通过使用单层张量网络结构来近似环境来完成的，该环境是在时间演化过程中更新张量的背景下产生的。这显著降低了计算成本，并允许在希尔伯特空间的更大子流形中进行模拟，该子流形由张量网络的键维所限定。我们提出的反铁磁各向同性海森伯模型的方法的稳定性的数值证据，发现良好的协议与现有的准确结果。
Fermionic Projected Entangled Pair States at Finite Temperature
提出了一种计算费米投射纠缠对态（PEPS）从无限温度到有限温度的虚时间演化的算法。作为一个基准应用，它适用于无自旋费米子跳跃的正方形晶格受到$p$波配对相互作用。通过微小的偏置，它可以使系统在高温下发生连续的破胶相变。
Variational optimization with infinite projected entangled-pair states
我们提出了一个方案，执行迭代变分优化无限投影纠缠对态（iPEPS），张量网络模拟的二维波函数在热力学极限，计算基态的局部哈密顿量。该方法是基于一个系统的总和的哈密顿贡献，使用角传递矩阵法。具有挑战性的问题的基准结果，包括2D海森堡模型，Shastry-Sutherland模型，和t-J模型，这表明变分方案产生更准确的结果比以前最好的虚时间演化算法，具有类似的计算成本和更快的收敛到基态。
Generative modeling with projected entangled-pair states
我们认为，并证明，投影纠缠对状态（PEPS）优于矩阵产品状态显着的任务生成建模的数据集与内在的二维结构，如图像。我们的方法建立在最近推出的算法采样PEPS，它允许有效的优化和采样的分布。
Perturbative 2-body Parent Hamiltonians for Projected Entangled Pair States
我们构建父哈密顿只涉及本地2体相互作用的广泛的一类投影纠缠对态（PEPS）。利用微扰小工具技术，我们定义了一个微扰哈密顿作用于虚拟PEPS空间与有限阶低能量有效哈密顿，这是一个缺口，挫折免费的父哈密顿所需的PEPS的编码版本。对于拓扑有序的PEPS，低能量有效哈密顿量的地面空间被证明是在相同的相位作为所需的状态的所有订单的微扰理论。作为一个具体的例子，我们构造了双半子弦网络基态的编码父哈密顿量。
Projected entangled-pair states can describe chiral topological states
我们证明了二维空间中的投影纠缠对态（PEPS）可以通过显式构造一类具有非平凡陈数的手性拓扑态来描述。它们是两种不同类型的自由费米子哈密顿量的基态：（i）局部的和无隙的;（ii）有隙的，但跳跃幅度根据幂律衰减。我们推导出拓扑自由费米子PEPS的一般条件，表明它们不能对应于带隙的局部父哈密顿量的精确基态，并提供数值证据表明，它们仍然可以很好地近似拓扑绝缘体的物理性质与局部哈密顿量在任意温度下。
Loop update for infinite projected entangled-pair states in two spatial dimensions
我们提出了一种改进的方法来实现无限投射纠缠对态（iPEPS）的虚时间演化，特别是对于临界系统。引入循环最优截断，沿一个闭环更新张量，旨在消除冗余的内部相关。我们证明了该算法，考虑一个复杂的进化的基础上简单的更新一个小plaquette。该方案也可以应用于完全更新策略。我们用它们模拟了正方晶格上自旋$1/2$反铁磁海森堡模型和横场伊辛模型的基态.
Excitations and the tangent space of projected entangled-pair states
我们开发了用于投影纠缠对态（PEPS）的切空间方法，该方法提供了对强关联二维量子系统的低能部分的直接访问。更具体地说，我们构建了一个变分animator的PEPS基态，允许计算间隙，色散关系，光谱权重直接在热力学极限上的基本激发。解决相应的变分问题需要评估动量转换的两点和三点关联函数的PEPS背景，我们可以有效地计算使用收缩计划。作为应用，我们研究了正方形晶格上的Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki模型的磁振子的谱性质和Kitaev复曲面码的扰动版本中的任意子激发。
Projected Entangled Pair States: Fundamental analytical and numerical limitations
矩阵乘积态（MPS）和投影纠缠对态（PEPS）是分别用于评估一维和高维量子多体系统的强大分析和数值工具。虽然MPS是全面理解，在PEPS的基本问题，相关的分析以及数值，仍然开放，如如何编码对称性在充分的一般性，或如何稳定的数值方法使用规范形式。在这里，我们表明，这些关键问题，以及一些相关的问题，是算法不可判定的，也就是说，他们不能完全解决系统的方式。因此，我们的工作暴露了使用PEPS对量子多体系统进行全面和公正理解的基本限制。
U(1)-symmetric Gaussian fermionic projected entangled paired states and their Gutzwiller projection
我们发展了一种构造粒子数守恒的高斯费米子投影纠缠对态[U（1）-GfPEPS]的形式，并证明了这些态可以描述带绝缘体和带接触点的无带隙费米子的基态.当用它们作为两个Dirac费米子系统（正方格子上的$π$ -通量模型和kagome格子上的$[0,π]$ -通量模型）的变分Ansätze时，我们发现U（1）-GfPEPS，即使在相对较小的键维下，也能精确地近似Dirac Fermi sea基态.通过在这些U（1）-GfPEPS上应用Gutzwiller投影，我们得到了自旋为1/2的U（1）-Dirac自旋液态的PEPS表示.利用最先进的张量网络数值方法，Gutzwiller投影的PDMATHAMM通量态的自旋-自旋关联函数中的临界指数估计为$η\approx 1.7$。
Variational methods for contracting projected entangled-pair states
无限投射纠缠对态（PEPS）的范数或期望值无法精确计算，必须应用近似算法。在过去的几年里，许多有效的算法已经被设计出来-角转移矩阵重整化群（CTMRG）和变分均匀矩阵乘积状态（VUMPS）算法是最常见的-但仍然不清楚它们是否总是导致相同的结果。在本文中，我们确定了PEPS的一个子类，我们可以重新制定的收缩作为一个变分问题，是算法独立的。我们使用这种变分功能来评估和比较CTMRG和VUMPS收缩的准确性。此外，我们设计了一个新的变分压缩格式，我们可以推广到计算一般的N点关联函数。
Gradient methods for variational optimization of projected entangled-pair states
我们提出了一个共轭梯度法的基态优化的投影纠缠对态（PEPS）的热力学极限，作为一个直接执行的变分原理内的PEPS流形。我们的优化是基于一个有效的和准确的评估的梯度的全球能源功能，通过使用有效的角落环境，是强大的相对于初始起点。它的另一个优点是可以直接实现物理和虚拟对称。我们提供的工具来计算静态结构因子直接在动量空间，以及方差的哈密顿量。我们基准我们的方法上的伊辛和海森堡模型，并显示出显着的改进的能量和序参量相比，基于时间演化的算法。
Projected Entangled Pair States with continuous virtual symmetries
我们研究了具有连续虚对称性的投影纠缠对态（PEPS），即，对称性的虚拟自由度，通过一个基本类的模型与SU（2）对称性。这种离散对称性以前已经允许在PEPS形式主义中对拓扑序进行全面的解释。我们构建当地的父哈密顿的开放边界的地面空间是完全参数化的PEPS波函数，并显示如何的基态可以通过一个合适的选择边界条件的唯一。我们还发现，这些模型表现出对数校正的纠缠熵和广泛的地面空间退化的系统与周期性边界，这表明他们不描述传统的间隙拓扑相位，但无论是临界模型或其他一些异国情调的阶段。
Matrix Product States and Projected Entangled Pair States: Concepts, Symmetries, and Theorems
纠缠理论为描述许多身体系统中的相互作用和相关性提供了一种全新的语言。它的词汇表由量子比特和纠缠对组成，语法由张量网络提供。我们回顾了矩阵乘积态和投影纠缠对态如何用局域张量描述多体波函数。这些张量表示如何纠缠路由，作为一种新型的非本地序参量，我们描述了他们的对称性是如何在整个系统中的全球纠缠模式的反射。我们将讨论张量网络如何使实空间重整化群流和不动点的构造成为可能，并研究呈现拓扑量子序的态的纠缠结构。最后，我们总结了矩阵乘积态和投影纠缠对态的数学结果，重点介绍了矩阵乘积矢量的基本定理及其应用。
Variational optimization of projected entangled-pair states on the triangular lattice
本研究提出了一种针对三角晶格投影纠缠对态的变分优化算法，通过自动微分实现能量最小化，提高了变分结果的准确性。
Variational study of hard-core bosons in a 2-D optical lattice using Projected Entangled Pair States (PEPS)
利用基于投影纠缠对态（PEPS）的变分算法研究了二维光晶格上的硬核玻色子系统。我们研究了系统的基态性质以及系统对参数突变的响应。我们已经比较了我们的结果平均场的结果的基础上Gutzwiller的anesthesia。
A canonical form for Projected Entangled Pair States and applications
我们证明了在正方形晶格中定义相同平移不变的内射投射纠缠对态（PEPS）的两个不同张量在平凡规范自由度下必须相同。这使我们能够描述状态中任何局部或空间对称性的存在。作为这些结果的一个应用，我们证明了具有半整数自旋的SU（2）不变PEPS不可能是内射的，这可以看作是Lieb-Shultz-Mattis定理。我们还根据Oshikawa-Yamanaka-Affleck的思想给出了U（1）对称性的自然推广，并证明了具有威尔逊圈的PEPS不可能是单射的.
Normal projected entangled pair states generating the same state
张量网络由一组小秩张量生成，以简洁的形式定义了多体量子态。对应的映射不是一对一的：不同的张量集合可能会产生完全相同的状态。张量网络研究中的一个基本问题自然会出现：这些集合之间的关系是什么？这个问题的答案在一维的设置已经找到了几个应用，如局部和整体对称性的表征，物质和幺正演化的阶段的分类，或重整化过程的不动点的确定。在这里，我们回答这个问题的投影纠缠对状态（PEPS）在任何维度和晶格几何形状，只要张量产生的状态是正常的，这构成了一个重要的和通用的类。
Conversion of projected entangled pair states into a canonical form
我们提出了一个算法，将投影纠缠对态（PEPS）转换成一个标准形式，类似于著名的矩阵乘积态的标准形式。我们的方法是基于变分计量分析的QR张量分解的PEPS列成一个矩阵的产品运营商和有限深度的酉和等距电路。我们描述了一个实用的初始化方案，导致快速收敛的QR优化。我们探讨的性能和稳定性的变分规范算法在范数计算的横向场伊辛和海森堡模型的正方形格子。我们还展示了能量优化的PEPS规范形式的横向场伊辛和海森堡模型。我们希望这种规范形式，开辟了改进的分析和数值方法的PEPS。
Study of anyon condensation and topological phase transitions from a $\mathbb{Z}_4$ topological phase using Projected Entangled Pair States
我们利用投影纠缠对态（PEPS）来研究拓扑量子相变。PEPS形式体系中拓扑序的局部描述使我们能够建立衡量任意子凝聚和去禁闭的序参量，并作为传统序参量的替代.我们应用这些序参量，与任意子-任意关联函数和一些进一步的探针，以表征拓扑相位和相变在一个家庭的模型的基础上的$\mathbb Z_4$对称性，其中包含$\mathbb Z_4$量子双，复曲面代码，双半子，和平凡的阶段。我们发现一个不同的相图，表现出各种不同的相变的第一和第二顺序，我们全面的特点，包括直接过渡之间的复曲面代码和双半元相位。
Algorithms for finite Projected Entangled Pair States
投影纠缠对态（PEPS）是研究强关联二维量子多体系统的一种很有前途的方法。但由于PEPS算法计算量大，要使其在实际中得到广泛应用，还需要不断发展和改进。在这里，我们分析几个算法方面的方法。一方面，我们量化了PEPS的相关长度与其近似收缩精度之间的关系，并讨论了如何在后者中使用纯化。另一方面，我们提出了算法改进的张量的更新，引入大幅增益的数值调节和算法的效率。最后，国家的最先进的一般PEPS代码基准与海森堡和量子伊辛模型的晶格上的$21 \times 21$网站。
Edge theories in Projected Entangled Pair State models
本文在投影纠缠对态（PEPS）模型的框架下研究了带隙量子系统的边缘物理。我们表明，有效的低能量模型的任何区域的作用在边界处的纠缠自由度，对应于位于边缘的物理激发。这使我们能够确定在附近的PEPS模型的边缘哈密顿量，我们证明，通过选择适当的体微扰，边缘哈密顿量可以表现出丰富的相图和相变。虽然在平凡阶段的任何哈密顿模型可以实现在边缘，我们表明，拓扑模型，边缘的哈密顿约束的拓扑顺序在散装，例如可以保护铁磁伊辛链的边缘对自发对称性破缺。
Direct sampling of projected entangled-pair states
变分蒙特卡罗研究采用投影纠缠对状态（PEPS）最近表明，他们可以提供长期存在的问题，如在二维$J_1 - J_2$模型中的相位的性质的答案。这些蒙特卡罗算法中的采样通常使用采用局部更新规则的马尔可夫链蒙特卡罗算法来执行，其通常遭受长的自相关时间和相互依赖的样本。我们提出了一个采样算法，从PEPS产生独立的样本，绕过所有的问题，有限的自相关时间。该算法是一个现有的酉张量网络直接采样算法的推广。我们引入了一个辅助概率分布，从独立的样本可以提取，并将其与重要性抽样，以准确地评估期望值。我们基准我们的算法上的经典伊辛模型和变分优化的二维量子自旋模型。
Corner entanglement scaling with projected entangled pair states
本文提出一种从投影纠缠对态直接提取二维量子临界点角纠缠熵的方法，验证了其随有效关联长度的标度行为，并与其他方法结果一致，展示了诊断强关联临界点的效率。
Gradient optimization of fermionic projected entangled pair states on directed lattices
最近开发的随机梯度方法结合蒙特卡罗采样技术[PRB { \bf 95}，195154（2017）]提供了一种低尺度和精确的方法来优化投影纠缠对态（PEPS）。我们将这种方法推广到了费米子PEPS（fPEPS）。为了简化实现，我们引入了一个费米箭头符号来指定的费米子运营商在虚拟纠缠EPR对的顺序。通过定义与费米箭头相关联的一些局部操作规则，可以实现与标准PEPS非常相似的fPEPS算法。我们基准的相互作用的无自旋费米子模型的方法，和t-J模型。数值计算表明，梯度优化大大改善了简单更新法的计算结果。此外，更大的虚键尺寸（$D$）和截断尺寸（$D_c$）比那些玻色子和自旋系统是必要的收敛结果。与直接压缩方法相比，该方法具有更低的标度，因此为费米子系统的模拟提供了一个强有力的工具。
A Practical Introduction to Tensor Networks: Matrix Product States and Projected Entangled Pair States
这是一个部分非技术介绍张量网络方法的选定主题，基于几个讲座和介绍性研讨会上给出的主题。它应该是一个很好的地方，让新人熟悉该领域的一些关键思想，特别是关于数字。在一个非常一般的介绍之后，我们激发了张量网络的概念，并提供了几个例子。然后，我们继续解释关于矩阵乘积态（MPS）和投影纠缠对态（PEPS）的一些基础知识。还讨论了一维和二维量子晶格系统的一些相关的数值方法的选定细节。
On the stability of the infinite Projected Entangled Pair Operator ansatz for driven-dissipative 2D lattices
本文利用无限投影纠缠对算符（iPEPO）方法计算了驱动耗散XYZ模型的时间演化。Kshetrimayum，H. Weimer和R. Orus，Nat. Commun. 8，1291（2017）]。我们探讨的条件下，这种方法达到稳定状态。特别是，我们研究的条件下，显然收敛的计算可能会变得不稳定的张量网络的ananodic键尺寸的增加。我们将讨论如何获得更可靠的结果。
Accurate simulation for finite projected entangled pair states in two dimensions
基于变分蒙特卡罗抽样方案，我们发展了一种精确有效的二维张量网络算法来模拟量子晶格模型。我们发现，Monte Carlo抽样在处理有限投影纠缠对态时显示出巨大的优势，这使得系统尺寸显著增大，提高了张量网络模拟的精度。我们证明了我们的方法上的正方形晶格反铁磁海森堡模型$32 \times 32$网站，以及一个高度沮丧的$J_1-J_2$模型$24\times 24$网站。计算结果包括基态能量和自旋关联，与现有的量子Monte Carlo方法和密度矩阵重整化群方法的计算结果吻合得很好.因此，我们的方法大大推进了有限系统的二维张量网络的计算，并可能为解决许多具有挑战性的强相关量子多体问题打开了一扇新的大门。
Sequential generation of projected entangled-pair states
我们介绍了plaquette投影纠缠对状态，一类状态在晶格中，可以通过应用顺序幺正作用于重叠区域的plaquette产生。它们满足面积定律纠缠，具有长程相关性，并自然地推广了其他相关类别的张量网络状态。我们确定了一个子类，它可以更有效地以径向方式制备，并且包含等距张量网络状态家族[M]。Zaletel和F. Pollmann，Phys. Rev. Lett. 124，037201（2020）]。我们还展示了如何使用光子源阵列有效地制备这一子类。
PEPSKit.jl: A Julia package for projected entangled-pair state simulations
本文介绍PEPSKit.jl，一个用于模拟二维量子多体系统的Julia包，支持阿贝尔和非阿贝尔对称性及费米子系统，提供地面态、时间演化和有限温度模拟的功能。
Strings, Projected Entangled Pair States, and variational Monte Carlo methods
我们引入弦键态，一类通过将算符弦放置在晶格上获得的状态，它包含了量子信息中的相关状态。对于弦键态，局部观测值的期望值可以有效地计算使用Monte Carlo采样，使它们适合于变分abtax m扩展DMRG到高维和不规则系统。数值结果表明，这些状态的多体系统的模拟的适用性。
Detecting a $Z_2$ topologically ordered phase from unbiased infinite projected entangled-pair state simulations
我们提出了一种基于无偏无限投射纠缠对态（iPEPS）模拟来识别拓扑序的方法，即在张量网络模拟的优化过程中，我们不对张量施加虚拟对称性。作为一个例子，我们考虑在磁场中表现出$Z_2$拓扑秩序的复曲面代码模型的基态。优化是通过一个有效的能量最小化方法的基础上张量环境的总和来计算梯度。我们表明，优化的张量，当带入正确的规范，是近似$Z_2$对称的，他们可以完全对称的后验生成一个稳定的拓扑有序的状态，产生正确的拓扑纠缠熵和模块化的S和U矩阵。为了计算后者，我们开发了一个变种的角转移矩阵方法，这是计算效率比以前的方法的基础上张量重整化群。
Gradient optimization of finite projected entangled pair states
投影纠缠对态（PEPS）方法已被证明是解决二维强关联量子多体问题的有力工具。然而，由于虚键尺寸$D$的计算尺度很大，在实际应用中，PEPS往往局限于相当小的键尺寸，这对于一些高度纠缠的系统（例如，挫挫系统）来说可能不够大。采用时间演化方法和简单的更新方案对基态进行优化可以得到更大的键维。然而，局部张量的环境的粗糙近似的准确性是值得怀疑的。在这里，我们表明，结合时间演化方法与简单的更新，蒙特卡罗采样技术和梯度优化将提供一个有效的方法来计算PEPS基态。利用大规模并行计算的优势，我们可以在不依赖任何对称性的情况下，研究键维数高达$D$ =10的量子系统。在$J_1$ - $J_2$模型上对该方法进行了基准测试，与精确结果相比，精度令人印象深刻。
Determining topological order from infinite projected entangled pair states
提出了一种利用无限投射纠缠对态（iPEPS）计算强关联二维系统的基态，并从中提取拓扑序信息的方法.对于拓扑有序系统，包裹在环面上的iPEPS变成简并的、局部不可区分的基态的叠加。无限矩阵乘积算子（iMPO）形式的投影到具有定义明确的任意子通量的状态上，用于计算拓扑$S$和$T$矩阵（对突现任意子的互统计和自统计进行编码）。该算法被证明是强大的对扰动驱动弦网复曲面代码跨越相变到铁磁相。我们的方法在量子相变附近提供了精确的结果，其中相关长度对于其他数值方法来说是非常大的。此外，我们使用数值优化的iPEPS描述了Kitaev蜂窝模型在复曲面代码阶段的基态，并获得了与理论预测非常一致的拓扑数据。
Fractional quantum Hall states with variational Projected Entangled-Pair States: a study of the bosonic Harper-Hofstadter model
本文针对玻色型Harper-Hofstadter模型，利用变分无限投影纠缠对态（iPEPS）避免虚假有限尺寸效应，识别分数量子霍尔态并表征其体关联指数衰减与手性边缘模特性。
Finite correlation length scaling with infinite projected entangled pair states at finite temperature
利用无限投影纠缠对态（iPEPS）研究了二维量子伊辛和相互作用蜂窝费米子模型的二阶有限温度相变.通过变分张量网络重正化（VTNR）得到了iPEPS的热态表示.我们发现，在临界温度$T_c$的iPEPS相关长度是有限的计算可访问的值的iPEPS键尺寸$D$。出于这一观察，我们调查有限相关长度标度（FCLS），这是以前用于iPEPS模拟的量子临界点在$T=0$，以获得精确的值的$T_c$和通用临界指数的应用。我们发现在$T_c$附近，观测量的行为很好地遵循FCLS的预测。使用FCLS，我们得到$T_c$和临界指数与量子蒙特卡罗（QMC）的结果，除了耦合接近量子临界点，需要更大的键尺寸。
Simulation of three-dimensional quantum systems with projected entangled-pair states
张量网络算法已被证明是研究一维和二维量子多体系统的非常强大的工具。然而，到目前为止，它们在三维（3D）量子系统中的应用受到限制，主要是因为3D张量网络的有效收缩非常具有挑战性。在本文中，我们开发和基准两个压缩方法无限投影纠缠对态（iPEPS）在3D。第一种方法是基于一个有限的张量集群的收缩，包括一个有效的环境来近似完整的3D网络。第二种方法通过首先用边界iPEPS迭代地收缩网络的层，然后使用角传递矩阵重整化群收缩所得的准2D网络来执行网络的完全收缩。立方晶格上的海森堡和玻色-哈伯德模型的基准数据表明，与其他方法相比，该算法提供了有竞争力的结果，使iPEPS成为研究具有挑战性的开放问题的一个有前途的工具。
Long range order and symmetry breaking in Projected Entangled Pair State models
投影纠缠对态（PEPS）提供了一个框架，用于构建一个单一的张量产生的哈密顿量和基态波函数在同一个基础上的模型。一个关键的问题是要描述的行为出现在系统中的性质的张量，从而哈密顿量。本文考虑具有$\mathbb Z_2$在位对称性的PEPS模型，研究长程序和自发对称性破缺的发生。我们展示了长程序如何与PEPS转移算子谱中的简并相联系，以及后者如何在扰动下引起自发对称性破缺。我们提供了一个简洁的描述的对称性破缺态的PEPS张量，并发现，使用对称性破缺态，我们可以得到一个本地纠缠哈密顿量，从而恢复本地的纠缠哈密顿量的所有带隙相位。
Building Projected Entangled Pair States with a Local Gauge Symmetry
张量网络态，特别是投影纠缠对态（PEPS），为格点规范理论的研究提出了一种创新的方法，无论是从纯理论的角度来看，还是作为分析最近提出的格点规范理论量子模拟的工具。在本文中，我们提出了一个框架，描述局部规范不变状态的格点使用PEPS。由此构建的PEPS应包括玻色子态和费米子态，适用于由有限或紧李群定义的格点规范理论中物质和规范场的所有组合。
Fermionic projected entangled-pair states and topological phases
我们研究费米子矩阵乘积算子代数，并确定相关的代数数据。利用这些代数数据，我们构造了二维的费米子张量网络状态，这些状态具有非平凡的保序或内在拓扑序。张量网络状态使我们能够将拓扑相的物理性质与底层的代数数据联系起来。我们通过计算超上同调相位的缺陷性质和模矩阵来说明这一点。我们的形式主义也捕捉马约拉纳缺陷，我们明确显示一类的$\mathbb{Z}_2$安全保护和内在的拓扑阶段。这里提出的张量网络状态非常适合于数值应用，因此为研究相互作用的费米拓扑相开辟了新的可能性。
Stacked tree construction for free-fermion projected entangled pair states
本文提出一种分治方法，通过局部树形张量网络、堆叠组合和局部张量压缩，直接为自由费米子态构造 PEPS 表示，并在一维和二维系统（含受阻原子绝缘体基态）中验证了其有效性。
Simulating fermionic fractional Chern insulators with infinite projected entangled-pair states
本文通过变分优化U(1)对称的费米子无限投影纠缠对态，研究分数量子陈绝缘体相，发现临界键维数并利用体观测量和边缘纠缠谱表征该相。
Determining non-Abelian topological order from infinite projected entangled pair states
我们将Phys.Rev.B101，041108（2020）中介绍的从由无限投射纠缠对态（iPEPS）表示的强关联二维系统的基态提取关于拓扑序的信息的方法推广到非阿贝尔拓扑序。当包裹在环面上时，独特的iPEPS变成简并和局部不可区分的基态的叠加。我们发现数值对称的iPEPS，表示无限矩阵乘积运算符（MPO），和他们的融合规则。这些规则告诉我们如何将对称性组合成投射到具有明确定义的任意子通量的状态上。MPO投影器的线性结构允许直接在无限长柱体的宽度的极限中有效地确定每个状态在无限长柱体上的第二Renyi拓扑纠缠熵。相同的投影仪被用来计算拓扑$S$和$T$矩阵编码的互和自统计的涌现任意子。通过Fibonacci和Ising非阿贝尔弦网模型的例子说明了该算法。
Simulation of the Ring-exchange Models with Projected Entangled Pair States
提出了利用投影纠缠对态（PEPS）模拟环交换模型的算法。我们推广虚时演化（ITE）方法来优化具有环交换作用的模型的PEPS波函数。我们比较了不同近似对环境的影响。为了理解优化过程中的数值不稳定性，我们引入了PEPS的“奇异性”，并开发了一个调节程序，可以有效地减少PEPS的奇异性。我们用环面码模型对我们的方法进行了基准测试，得到了非常精确的基态能量和拓扑纠缠熵。我们还将我们的方法与二维环交换模型进行了比较，发现基态具有较强的矢量手征序。该算法可以成为研究环相互作用模型的有力工具。在这项工作中开发的方法，例如，减少奇异性的正则化过程也可以应用于其它模型。
Infinite Projected Entangled-Pair State algorithm for ruby and triangle-honeycomb lattices
无限投射纠缠对态（iPEPS）算法是研究热力学极限下二维量子晶格哈密顿量基态性质的最有效方法之一。在这里，我们展示了如何使用角转移矩阵（CTM）重整化群进行2D张量网络收缩，该算法可以适用于探索红宝石和三角蜂窝晶格上的最近邻局部哈密顿算子。此外，我们展示了如何CTM方法可以用来计算每个晶格位置的基态保真度和边界密度算子和纠缠熵（EE）的无限圆柱。作为基准，我们将iPEPS方法应用于具有各向异性相互作用的红宝石模型，并探索系统的基态性质。通过测量无限长圆柱上的两点耦合、基态保真度和电子效率，我们进一步提取了模型在不同耦合状态下的相图。我们的相图是在协议与以前的研究模型的精确对角化。
Gauging the variational optimization of projected entangled-pair states
本文分析了PEPS变分优化中规范自由度的影响，发现基于梯度的优化会利用规范自由度导致张量网络收缩不准确并产生人为偏低的变分能量，并提出了一种规范固定优化策略以提高优化稳健性。
Spectral functions with infinite projected entangled-pair states
本文扩展无限投影纠缠对态方法，通过实时演化与角转移矩阵重正化群计算非等时关联函数，实现谱函数的高效求解，并在二维横向场伊辛模型中验证了其准确性。
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