Emissivities for the various Graviton Modes in the Background of the Higher-Dimensional Black Hole
本文采用解析延拓方法，数值计算了时空背景为$(4+n)$维非旋转黑洞时，标量模、矢量模和张量模体引力子的Hawking发射率.当没有额外维度时，引力子的总辐射率仅为自旋0场的5.16%。然而，当额外维度存在时，这个比率因子迅速增加。例如，当额外维度的数量为1、2和6时，该因子分别变为147.7%、595.2%和3496%。这一事实表明，随着额外维数的增加，引力子模的霍金辐射变得越来越显著和占主导地位。
2006-05-12 hep-th
Electric/Magnetic Field Deformed Giant Gravitons in Melvin Geometry
$AdS_5 \times S^5$时空中的旋转D3-膜可以被吹胀成球形BPS组态，它具有与点状引力子相同的能量和量子数，被称为巨引力子。只有当它的角动量小于$P_c$的临界值时，组态才是稳定的。本文研究了变形$AdS_5 \times S^5$时空的电磁Melvin几何中巨引力子的性质，这是我们在上一篇论文（hep-th/0512117，Phys.Rev.D73（2006）026007）中得到的.我们发现在磁性梅尔文时空中巨引力子的能量比点状引力子的能量低。此外，角动量的临界值是磁场通量$B$的增函数。特别地，当角动量增加时，巨引力子的半径最初是角动量的增函数，当达到最大值后，它变成角动量的减函数。在这些区域，巨引力子仍然是一个稳定的结构，与未变形理论相反。最后，超过角动量的临界值，巨引力子比点状引力子具有更高的能量，最终变得不稳定。我们的分析表明，电梅尔文场将始终使巨引力子不稳定。
2006-02-22 hep-th
Gravitons scattering from classical matter
考虑了引力子从经典质量体组成的复合扩展系统中的低能散射，利用有效量子引力的Feynman规则，计算了相应的散射截面，得到了引力耦合常数的最低阶幂.对于旋转行星或恒星的引力子散射，证明了有效量子引力拉格朗日量中物质-引力子耦合的经典极限导致低能散射振幅，这与经典广义相对论中的表达式一致.
2008-03-19 gr-qc hep-th
Squeezed gravitons from superradiant axion fields around rotating black holes
National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；University of Valencia and CSIC（瓦伦西亚大学和西班牙国家研究委员会）；King’s College London（伦敦国王学院）
研究通过旋转黑洞周围的超辐射轴子场产生压缩重子态，揭示GR效应主导压缩效应，且纠缠态结构受GR或CS效应影响显著。
2025-12-19 gr-qc hep-th quant-ph
Boundary-Boundary Duality on Regular Black Holes, Supersymmetric Solitons and Holographic Spinning Plasma Disks
Universidad de Concepción（康塞普西翁大学）；UNESP-Universidade Estadual Paulista（圣保罗州立大学）
该研究构造了四维爱因斯坦-麦克斯韦理论的新精确旋转解，揭示正则黑洞等几何的边界-边界对偶，为全息理论提供了关键证据。
2026-09-07 hep-th
Giant Gravitons and Volume Minimisation
本文建立了 $D\leq 4$ 维场论超共形指数的巨型引力子展开与 GMS 主体积形式的精确对应，证明了大 $N$ 下 BPS 旋转黑洞的熵函数可通过极值化缠绕数对应的 Kähler 模恢复，揭示了旋转黑洞几何与体积最小化的深刻联系。
2025-11-03 hep-th
On-shell Bootstrap for n-gluons and gravitons scattering in (A)dS, Unitarity and Soft limit
提出基于三点振幅递归自举 (A)dS 中 n 点胶子和引力子振幅的算法，通过因子化及平直空间和软极限约束确定接触项，并映射到宇宙学关联函数，首次得到 AdS 中五引力子振幅。
2024-03-16 gr-qc hep-th
Axions, Black Holes and the Detection of Gravitons: from Astrophysics to Cosmology
University of Valencia（瓦伦西亚大学）；CSIC（西班牙国家研究委员会）；National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；King's College London（伦敦国王学院）
研究通过旋转黑洞附近的轴子云产生纠缠压缩引力子态，探讨其在天体物理和宇宙学中的探测可能性及对宇宙学参数的约束。
2025-12-16 gr-qc hep-th
Simply rotating higher dimensional black holes in Einstein-Gauss-Bonnet theory
在$D$维Einstein-Gauss-Bonnet理论中，利用旋转参数$a$的幂的微扰展开，构造了轴对称渐近平坦黑洞度规.在五维时空中，我们找到了描述渐近平坦黑洞的场方程的两个解，尽管其中只有一个是质量微扰的，也就是说，当黑洞质量为零时，它进入闵可夫斯基时空。对于任意的$D$，我们得到了$O(αa^3)$阶的微扰黑洞解，其中$α$是Gauss-Bonnet耦合，而质量上无微扰的$D=5$解的解析形式为$O(αa^7)$阶.为了检验$a$展开式的收敛性，我们分析了该时空中光子轨道的特征，计算了光子轨道的频率和光子球的半径。
2020-10-14 gr-qc hep-th
Nonthermal radiation of rotating black holes
克尔黑洞的非热辐射被认为是产生的粒子通过有效狄拉克能隙的隧穿。在主导的半经典近似中，这种方法也适用于玻色子。我们对光子和引力子的半经典结果与以前得到的结果并不矛盾。对于中微子，我们精确的量子力学计算的结果大约是以前的两倍。
2001-08-08 gr-qc hep-th
Static and rotating electrically charged black holes in three-dimensional Brans-Dicke gravity theories
我们得到了（2+1）维Brans-Dicke型Einstein-Maxwell-Dilaton理论的静态和旋转带电黑洞。该理论由三个场，引力子，电磁场，和两个参数，宇宙学常数和Brans-Dicke参数来描述。它包含了八种不同的情况，其中一种被区分为特殊情况，弦论，广义相对论和一个理论相当于四维广义相对论与一个基灵矢量。我们求出了ADM的质量、角动量、电荷和介子电荷，并计算了解的Hawking温度。详细研究了黑洞几何中零粒子和类时粒子的因果结构和测地线运动。
2001-05-18 gr-qc hep-th
Graviton Emission in the Bulk from a Higher-Dimensional Schwarzschild Black Hole
我们考虑（4+n）维非旋转黑洞蒸发为引力子。我们计算了体中引力子的能量发射率，得到了三种类型（S，V，T）引力微扰所满足的主方程的解析解。我们的结果，在低能量区有效，显示了矢量辐射的优势，为每个值n，而次显性标量和张量辐射的能量发射率的相对大小取决于n。由于引力谱中没有占主导地位的l= 0，1模，引力子的低能发射率远低于标量场。然而，更高的分波可能会在更高的能量下改变这种行为。计算出的低能量发射率，为所有类型的自由度随n下降，虽然全能量发射率，在所有频率上集成，预计将增加与n，在以前研究的情况下，一个散装标量场。
2006-02-22 astro-ph gr-qc hep-ph
Massive spin-2 fields on black hole spacetimes: Instability of the Schwarzschild and Kerr solutions and bounds on the graviton mass
任意自旋的大质量玻色子场由标准模型的一般推广预言。最近的研究表明，存在一个包含质量引力在内的双度规引力理论族，它们在非线性水平上没有Boulware-Deser鬼。这为描述引力场中自旋为2的大质量粒子的动力学提供了可能性。在此背景下，我们发展的大规模自旋-2波动的研究-包括大规模引力子-周围史瓦西和缓慢旋转的克尔黑洞。我们的工作有两个重要成果。首先，我们表明，史瓦西几何是线性不稳定的小张量质量，对球对称模式。其次，我们提供了坚实的证据，克尔几何也是一般不稳定的，无论是对球模和对长寿命的超辐射模式。在没有非线性效应的情况下，自旋黑洞的观测结果将引力子的质量限制在5 × 10 ^{-23} eV以下。
2013-07-11 astro-ph.HE gr-qc hep-th
Pair Production of small Black Holes in Heterotic String Theories
我们研究了在环面上紧化的杂种优势串和FHSV模型中小BPS BH的配对产生。在回顾了微扰BPS谱中小BH的识别之后，我们计算了由无质量矢量玻色子或引力子引发的过程的树级振幅。然后，我们分析所产生的截面的能量和角分布。最后，我们简要地评论scenari与大额外的维度和推广我们的结果，非BPS，非极值和旋转BH的。
2010-02-16 hep-th
Superradiant Axionic Black-Hole Clouds as Seeds for Graviton Squeezing
本文证明广义相对论和Chern-Simons引力在超辐射Kerr黑洞轴子云背景下可产生多模压缩引力子对，其中轴子湮灭过程主导压缩效应，并探讨了LIGO数据对长寿命轴子云的排除及未来探测前景。
2025-10-09 gr-qc hep-ph hep-th
Absorption Effects due to Spin in the Worldline Approach to Black Hole Dynamics
我们将有效点粒子方法推广到包含自旋的黑洞动力学。在这种方法中，耗散效应被捕获的自由度本地化上的？黑洞的吸收特性由关联函数决定，在长波近似下，关联函数可与引力子吸收截面相匹配。对于旋转的黑洞，超辐射是主要的贡献。然后用有效理论预测了非相对论性双星系统动力学中由于自旋引起的能量损失。相对于非旋转的情况下，三个权力的相对速度的增强。然后，我们将结果推广到双星系统中的其他类型的组分，如旋转中子星。最后计算了在给定时空背景下自旋黑洞吸收的能量损失。
2012-01-18 gr-qc hep-th
Superradiance and Instability of Black Holes
讨论了高维旋转黑洞的超辐射现象与不稳定性之间的关系。特别指出，无质量标量场围绕简单旋转的Kerr-adS黑洞的超辐射不稳定性意味着该黑洞在张量型扰动下的引力不稳定性.
2007-12-18 gr-qc hep-th
Analytic explanation of the strong spin-dependent amplification in Hawking radiation from rotating black holes
对黑洞灰体因子的数值研究表明，高速旋转黑洞的Hawking辐射与自旋密切相关，自旋最高的粒子（引力子）在能谱中占主导地位.到目前为止，还没有对这种效应的分析解释或描述。利用“引力磁性”，或者说麦克斯韦电磁场方程和爱因斯坦引力方程之间的形式类比，我们能够在旋转的黑洞的自旋和发射出的粒子的自旋之间建立联系。也就是说，粒子的内在自旋产生了一个“质量偶极矩”，它与外部重力磁场相互作用，而外部重力磁场的来源是黑洞的旋转。我们证明了旋转的黑洞倾向于摆脱它的自旋，也就是说，倾向于发射自旋与它自己的自旋平行的粒子。我们还表明，发射的概率随着发射粒子的自旋增加而增加。如果一个黑洞是高度旋转的，即接近极值，放大因子可能是巨大的。当应用于银河系中央的黑洞时，相同的物理机制表明，围绕这些黑洞运行的粒子的自旋应该与黑洞的自旋密切相关，这可能对被认为来自这些空间区域的宇宙射线产生影响。
2011-01-19 gr-qc hep-ph hep-th
The gyromagnetic factor of charged rotating black holes in various dimensions from scattering amplitudes
Dipartimento di Fisica, Università di Roma “La Sapienza”（罗马大学物理系）；Sezione INFN Roma1（INFN罗马第一分部）
通过散射振幅计算带电旋转黑洞的gyromagnetic因子，发现其在不同维度中的表达式为$\mathfrak{g}=(d-1)/(d-2)$，仅在3+1维中最小耦合可描述黑洞。
2026-02-08 gr-qc hep-th
Integrability of Five Dimensional Minimal Supergravity and Charged Rotating Black Holes
我们探讨了五维极小超引力在三个交换Killing向量存在下的可积性。我们认为，看到的可积性结构的理论之一，必须执行一个埃勒斯减少到两个维度。直接降维到二维并不能使我们以一种容易的方式看到理论的可积性。这种情况与真空五维引力相反。基于陪集G2/（SL（2，R）× SL（2，R））的对称7 × 7陪集表示矩阵，导出了最小超引力下的Belinski-Zakharov（BZ）拉克斯对.我们阐明我们的BZ拉克斯对和群论拉克斯对以前已知的文献之间的关系。BZ拉克斯对使我们能够将著名的BZ修整方法推广到五维最小超引力。我们证明了三维隐对称变换对BZ dressing方法的作用仅仅是对BZ向量的群作用。作为我们的形式主义的一个例子，我们得到了双自旋五维Myers-Perry黑洞通过应用孤子变换的Schwarzschild黑洞。通过对Reissner-Nordstrom黑洞进行孤子变换，我们得到了Cvetic-Youm黑洞.
2009-12-16 hep-th
Quantum-Corrected Evaporation and Absorption Cross-Section of Near-Extremal Rotating Black Holes
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Leinweber Institute for Theoretical Physics, University of Michigan（密歇根大学莱因韦伯理论物理研究所）
研究量子修正对近极值旋转黑洞蒸发和吸收截面的影响，揭示量子效应与经典结果的关联，发现量子修正减缓了晚期蒸发过程。
2026-03-22 gr-qc hep-th
Microcanonical Action and the Entropy of a Rotating Black Hole
作者最近提出了引力场量子态密度的“微正则泛函积分”表示。这一实时泛函积分的相位由"微正则”或Jacobi作用决定，其极值是在固定总能量下的经典解，而不是像Hamilton作用那样在固定总时间间隔下。这种方法是完全通用的，但特别适合于引力系统，因为对它们来说，总能量可以简单地固定为引力场的边界条件。本文叙述如何求出广义相对论的雅可比作用量。我们对旋转黑洞的复度规进行了计算，并讨论了结果与态密度和黑洞熵的关系。（献给Yvonne Choquet-Bruhat，以纪念她的退休。
1993-03-08 astro-ph gr-qc hep-th
Spin Resonance Effect on Pair Production in Rotating Electric Fields
本文提出了二维均匀含时电场中Dirac方程的一种新的解析方法，它将二分量旋量及其导数的Cauchy问题表示为含时本征旋量和含时能量本征值的跃迁率的时间序积分.在以后的时间从过去的无穷大的真空中演变，并不断地进行本征旋量之间的过渡和与时间相关的能量本征值的正负频率之间的过渡。电子和正电子对的产生由未来无穷远处的负频率的系数给出，该系数从过去无穷远处的正频率演化而来。在绝热情况下，当本征旋量和能量本征值转动的时间尺度远大于电子的康普顿时间时，我们发现自旋共振效应对电子对产生的影响，它简单地由自旋转动、电子对产生和能量本征值之间的连续传输系数决定，而不改变自旋态.
2016-01-18 hep-ph hep-th
Pole-Skipping in Rotating BTZ Black Holes
本研究拓展旋转BTZ黑洞极点跳跃研究至自旋1/2、1、2/3场，推导解析极点跳跃点，验证非极端黑洞频率公式，发现极端黑洞的特殊主导频率无法通过非极端极限得到。
2023-06-26 hep-th
Emission of Massive Scalar Fields by a Higher-Dimensional Rotating Black-Hole
本文对高维简单旋转的黑洞在体膜和膜上发射的大质量标量场进行了全面的研究。我们得到了吸收几率的近似、解析和精确数值结果，并证明了对于体质量m_Φ< 1 TeV和膜上质量m_Φ< 0.5 TeV的标量场，在低能和中能区，这两组结果非常一致.利用吸收概率的数值，导出了霍金辐射的功率发射谱，并与额外维数、黑洞的角动量和发射场的质量进行了比较.我们计算的总发射率在散装和膜上，并表明，虽然膜通道仍然是占主导地位的一个，散装在膜能量比显着增加（高达33%）时，考虑到发射场的质量。
2010-03-26 astro-ph.HE gr-qc hep-ph
Magnetic Black Holes Are Also Unstable
已知大多数黑洞在发射霍金辐射时是不稳定的（在渐近平坦的时空中）。如果黑洞是非极端的，它们有正的温度，并发出热量。如果它们是极端旋转的黑洞，它们仍然会自发地发射出引力子和光子等粒子。如果它们是极端带电的黑洞，它们就不稳定地发射电子或正电子。唯一的例外是极端磁荷的黑洞，如果不存在任何磁单极子供它们发射的话。然而，在这里我们表明，即使在这种情况下，真空极化导致所有磁性黑洞不稳定，以发射更小的磁性黑洞。
2004-02-29 gr-qc hep-th
Scattering of cosmic strings by black holes: loop formation
我们研究了附近旋转的黑洞对长宇宙弦的形变。我们研究了克尔黑洞的引力场引起的宇宙弦变形是否会导致宇宙弦环的形成。进入旋转黑洞的能层的弦段会变形，如果它足够扭曲，它可以自相交，切断一个宇宙弦环。我们发现，通过这种机制形成一个环是一个罕见的事件。它只会出现在碰撞相空间的一个小区域，这取决于弦速度，碰撞参量和黑洞角动量。我们的结论是，一般来说，宇宙弦只是被旋转的黑洞散射或捕获。
2006-09-21 astro-ph gr-qc hep-ph
Influence of the back reaction of the Hawking radiation upon black hole quasinormal modes
我们考虑被共形标量场包围的BTZ黑洞。在广义相对论中，共振\emph{quasinormal}（QN）模式在黑洞对外部扰动的响应中占主导地位。同时，蒸发黑洞的度规也受到霍金辐射的影响。我们估计了由霍金辐射的反作用所规定的BTZ黑洞的准正规谱的移动。对于2+1维黑洞的情况，修正后的（通过$\sim \hbar$）度规是一个\emph{exact}解[C.Martines，J.Zanelli（1997）]。此外，在这种情况下，量子修正只来自物质场，而不是引力子环，即可以自洽地解决反反应对QN振铃的影响问题。对QNM修正的主要贡献仅仅是$ω^{2}$与$-(\fracΛ{M})^{3/2} (4 L^{2} +M) \hbar$成比例的位移。它对大黑洞来说可以忽略不计，但对小黑洞来说是必不可少的，从而导致品质因数的显著增加。因此，预计小蒸发黑洞比大黑洞是更好的振荡器。
2004-06-11 hep-th
Spin-Hair Induced Chaos of Spinning Test Particles in Rotating Hairy Black Holes
Shanghai University（上海大学）
研究旋毛黑洞中自转测试粒子的有限时间不稳定性，通过引力解耦生成，使用Mathisson-Papapetrou-Dixon方程和Tulczyjew自旋补充条件描述粒子运动，发现自旋曲率耦合和毛几何结构能改变轨道，导致有限时间增长，不稳定性在特定区域出现，重新组织强场相空间区域。
2026-05-19 gr-qc hep-th nlin.CD
Stationary Solutions from the Large D Membrane Paradigm
最近的研究表明，黑洞在大量维度D中的动力学可以被改写为在背景时空中传播的探测膜的动力学，它求解了没有物质的爱因斯坦方程。这个膜的运动方程是简单的声明的应力张量和电荷电流定义在这个膜上。本文给出了静止膜在任意空背景中的有效运动方程，包括有电荷和无电荷两种情况。事实证明，满足这些有效方程的与静止膜相关的热力学量也满足黑洞热力学第一定律。这些定态膜方程有一些有趣的解，如在平坦和AdS背景下的带电旋转黑洞解，以及在大D背景下的黑环解。
2018-07-04 hep-th
Rotating metrics and new multipole moments from scattering amplitudes in arbitrary dimensions
本文利用散射振幅在任意维度计算旋转物体的第三后闵可夫斯基阶真空度规，发现D=4时最小耦合对应Kerr黑洞，而D>4中存在新的应力四极矩且黑洞解不对应最小耦合。
2024-06-28 gr-qc hep-ph hep-th
Evaporation of Echoing Black Holes
我们计算的灰体因子和蒸发率的旋转黑洞在假设的反射表面稍微外视界半径的存在下，假设它自发地发射热辐射由于量子引力效应，如防火墙或拉伸地平线。作为由反射表面和角动量势垒之间的腔引起的共振的结果，灰体因子在频率空间中受到调制。考虑到这种效应的中微子，光子和引力子的多角模式，我们数值计算的质量和角动量的时间发展的黑洞，并显示，激发反射表面缩短量子黑洞的寿命。
2022-08-30 gr-qc hep-ph hep-th
Asymptotically flat black holes in 2+1 dimensions
在$2+1$维中，渐近平坦的黑洞是罕见的。我们研究了最近发现的新质量引力的纯二次版本的黑花解（具有变形视界的渐近平坦黑洞）、静态黑洞、旋转黑洞和动态黑花解（具有辐射引力子的黑洞）。我们展示了它们是如何出现在这个理论中的，我们还证明了它们也是新的大质量引力的无限阶扩展版本的解，即新的大质量引力的Born-Infeld扩展与截断的Einsteinian片。同样的度量也解决了这些理论的拓扑扩展版本，修改了守恒电荷和物理量，如Wald熵。除此之外，我们还发现了这些扩展引力模型的新的共形平坦辐射型解。我们还表明，这些指标不会出现在爱因斯坦的引力耦合到物理完美的流体。
2016-04-05 gr-qc hep-th
Dark radiation constraints on light primordial black holes
轻黑洞可能在非常早期的宇宙中通过巨大的原始密度波动的坍缩而形成。这些原始的黑洞（PBH），如果足够轻的话，由于霍金辐射的发射，现在已经蒸发了;因此它们不可能代表今天暗物质的相当大的一部分。然而，它们可能在早期宇宙学时代留下了印记。我们将讨论在大爆炸核合成（BBN）开始之前由（旋转）PBH发射的无质量引力子的影响，并得出结论，这种对暗辐射的贡献受到宇宙微波背景（CMB）（未来CMB阶段4）和BBN在PBH质量范围的较轻部分的限制，假设它们主导宇宙的能量密度。
2022-02-10 astro-ph.CO astro-ph.HE gr-qc
Exact Four-Dimensional Dyonic Black Holes and Bertotti-Robinson Spacetimes in String Theory
将二维带电黑洞和二维具有协变常电场的anti-de Sitter空间的共形场论构造为$SL(2,R)/Z$ WZW陪集模型.二维带电黑洞通过Kaluza-Klein约化与Banados，Teitelboim和Zanelli的2+1维旋转黑洞相联系，我们的构造与其实现为WZW模型相对应.四维时空的解决方案是通过张拉这些二维理论与$SU(2)/Z(m)$陪集模型。这些描述了一个家庭的双态黑洞和Bertotti-Robinson宇宙。
1994-03-31 gr-qc hep-th
Hidden simplicity in the scattering for neutron stars and black holes
Higgs Centre for Theoretical Physics, School of Physics and Astronomy, The University of Edinburgh（爱丁堡大学物理与天文学学院希格斯理论物理中心）；Theoretical Physics Department, CERN（欧洲核子研究中心理论物理部）
本文通过 Kerr 生成函数研究中子星在 Kerr 黑洞背景下的非线性潮汐效应，利用旋量展开实现多环积分子的张量约简，提供各环阶的紧凑结果。
2026-04-14 gr-qc hep-th
From Quantum Amplitudes to Spacetime Geometry: a Multipolar Framework for Black Hole Signatures
Scuola di dottorato in Scienze astronomiche, chimiche, fisiche, matematiche e della terra “Vito Volterra”（维托·沃尔特拉天文、化学、物理、数学和地球科学博士学校）
本文提出一种多极框架，通过量子振幅与经典引力可观测量的对应关系，研究黑洞特征及高维解的多极结构。
2026-01-21 gr-qc hep-th
Gapless Topological Order, Gravity, and Black Holes
在这项工作中，我们证明了线性化引力具有广泛的基态简并性的无隙拓扑序。这一现象与烧绿石U（1）自旋液体的拓扑有序性和Hawking等人最近的工作密切相关。他用软光子和引力子定理证明了线性引力中的真空不是唯一的。我们首先考虑晶格模型，其低能量的行为所描述的电磁和线性引力，然后认为，这些模型的拓扑性质进行到连续。我们表明，这些模型可以有许多基态，而不作假设的拓扑结构的时空或有关的高能量性质的理论，并表明，无限家庭的对称性所描述的霍金等。只是不同的拓扑扇区。我们认为，在这种情况下，黑洞出现在IR理论的拓扑缺陷，这表明一个潜在的方法来理解防火墙悖论和引力理论中的信息编码。最后，我们使用软玻色子定理的见解，使连续规范群和无隙拓扑序之间的连接解除规范理论。
2018-08-28 cond-mat.str-el hep-th
Analytic parity-violating greybody factors of a dynamical Chern-Simons black hole
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
该研究在动力学Chern-Simons引力中解析求解非旋转黑洞的低频散射，给出引力子-赝标量转换概率和灰体吸收不对称性的精确公式，揭示宇称破缺效应及其与准正则模分裂的联系。
2026-10-08 astro-ph.HE gr-qc hep-th
