The Complex Geometry of Weak Piecewise Smooth Solutions of Integrable Nonlinear PDE's of Shallow Water and Dym Type
推广了求解非线性可积偏微分方程的代数几何方法，得到了一类非线性发展方程$N$ -分量组的新的分段光滑弱解.此类包括Dym和浅水方程层次中的方程等。本文的主要目标是给出这些非线性偏微分方程的显式θ-泛函解，它们与超椭圆雅可比行列式的非线性子簇相关联。本文的主要结果是双重的。首先，我们展示了可积偏微分方程的一些特殊功能，承认分片光滑弱解，这使得他们不同于方程的解决方案是全球亚纯，如KdV方程。其次，我们融合了代数几何和弱解的PDE的技术，以获得进一步的洞察力，和明确的公式，分段光滑的有限间隙解决方案。
2001-05-09 nlin.CD nlin.SI
Bidirectional shallow-water wave turbulence
University of Michigan（密歇根大学）；Université Côte d'Azur et CNRS（蔚蓝海岸大学与法国国家科学研究中心）；New York University（纽约大学）
本文研究了双向一维浅水波在Boussinesq方程类中的行为，通过正常形式变换得出交互系数，发现可积的Kaup-Boussinesq方程中交互系数为零，而非可积模型产生非平凡波动能方程。
2026-03-27 nlin.CD nlin.SI
Stability of shear shallow water flows with free surface
在Benney方程的框架下研究了具有自由表面的无粘剪切浅水流动的稳定性。这是通过调查广义双曲的积分微分Benney方程组。结果表明，所有具有单调凸速度剖面的剪切流都是稳定的。推导并研究了对应于分段线性连续和不连续速度剖面的流体力学近似模型。结果表明，这些近似具有哈密顿结构和一个完整的系统的黎曼不变量，这是发现在一个明确的形式。给出了多层流动控制方程双曲性的充分条件。将上述结果推广到分层流体的情况不太明显，然而，已经确定涡量具有稳定作用。
2016-10-14 nlin.SI physics.flu-dyn
Nonlocal symmetry, Darboux transformation and soliton-cnoidal wave interaction solution for the shallow water wave equation
在经典的浅水波理论中，在Boussinesq近似下存在两个可积的一维浅水波方程[Hirota-Satsuma（HS）型和Ablowitz-Kaup-Newell-Segur（AKNS）型].本文主要研究AKNS型可积SWW方程。从它的拉克斯对出发，导出了平方谱函数形式的非局部对称性。通过引入任意的谱参数，得到了大量的非定域对称性。这些非局部对称性可以局部化，并将SWW方程推广到含有辅助因变量的扩大系统。然后通过求解初值问题，得到了系统的达布变换。得到了与非局部对称性和显式群不变解相关的相似约化。结果表明，孤立子与椭圆余弦波相互作用的解可以解析地得到，它表示孤立子处于椭圆余弦周期波背景上。用图形显示了孤子与椭圆余弦周期波相互作用解的有趣特征。
2017-03-28 math-ph math.DS math.MP
Orbital Stability of Smooth Traveling Solitary Waves to the Fornberg-Whitham Equation
Hubei University of Automotive Technology（湖北汽车工业学院）；College of Charleston（查尔斯顿学院）；China University of Geosciences（中国地质大学）
本文研究Fornberg-Whitham方程的光滑孤立波解的轨道稳定性，采用变分方法证明部分解具有轨道稳定性。
2026-05-19 math.AP nlin.PS nlin.SI
Hasimoto Transformation and Vortex Soliton Motion Driven by Fluid Helicity
当哈密顿量是动能的局部感应近似（LIA）时，已知关于Rasetti和Regge [1975]的Dirac括号的涡丝运动通过Hasimoto变换（HT）与非线性薛定谔方程相关。当哈密顿量为欧拉流体螺旋度$\int\mathbf{u}\cdot {\rm curl} \mathbf{u}$的LIA时，Rasetti-Regge Dirac括号下的涡丝运动方程通过HT映射为可积的复修正Korteweg-de Vries（cmKdV）方程，即非线性薛定谔方程族中的第二个方程.
2004-09-20 nlin.SI
Shallow Water Waves and Solitary Waves
百科全书式文章，涵盖海洋学和大气科学中使用的浅水波模型。章节：主题的定义;介绍和历史观点;完全可积的浅水波方程;地球物理学流体动力学的浅水波方程;孤立波解的计算;数值方法;水波实验和观测;未来方向和参考书目。
2013-08-25 nlin.SI physics.flu-dyn
A new integrable structure associated to the Camassa-Holm peakons
本文通过三个矩阵生成的闭合泊松代数，提出了Camassa-Holm尖峰动力学Ragnisco--Bruschi推广的单参数可积扩展，得到新的双参数N体尖峰解，并给出两种r-矩阵显式构造。
2023-11-16 math-ph math.MP nlin.SI
Water Waves and Integrability
欧拉方程描述无粘性流体的运动。在浅水的情况下，当一个摄动的渐近展开的欧拉方程（到一定程度的小尺度参数），某些可积方程的关系出现。本文综述了近年来利用可积方程模拟浅水波运动的一些结果。
2007-07-12 math-ph math.MP nlin.SI
Complex sine-Gordon-2: a new algorithm for multivortex solutions on the plane
我们提出了一个新的涡升变换的第二可积复化的sine-Gordon方程在平面上。新的转换是一个产品的四个Schlesinger地图的Painlevé-V本身，并允许一个更有效的建设的$n$ -涡的解决方案比以前报道的转换，包括产品的$2n$地图。
2005-02-21 nlin.PS nlin.SI
Soliton Turbulence in Shallow Water Ocean Surface Waves
我们分析浅水风浪在Currituck声音，北卡罗来纳州和实验证实，第一次，在海浪中的$soliton$ $turbulence$的存在。孤立子湍流是一种非线性波动的奇异形式，其中低频能量也可以被视为$dense$ $soliton$ $gas$，理论上由Korteweg-deVries（KdV）方程的孤立子极限描述，一个$completely$ $integrable$ $soliton$ $system$：因此短语“孤立子湍流”与“可积孤立子湍流”同义。“对于周期性/准周期性边界条件，KdV的$ergodic$ $solutions$可以通过$finite$ $gap$ $theory$（FGT）精确求解，这是我们数据分析的基础。我们发现，大振幅测量波列附近的能量峰值的风暴具有低频功率谱的行为作为$\simω^{-1}$。我们使用线性傅立叶变换来估计功率谱的幂律，并从数据中过滤$densely$ $packed$ $soliton$ $wave$ $trains$。我们应用FGT确定$soliton$ $spectrum$，发现低频$\simω^{-1}$区为$soliton$ $dominated$。孤子有$random$ $FGT$ $phases$，一个$soliton$ $random$ $phase$ $approximation$，这支持我们的解释的数据孤子湍流。从$…
2014-07-03 nlin.PS nlin.SI physics.ao-ph
On the time-evolution of resonant triads in rotational capillary-gravity water waves
我们调查的共振相互作用的情况下产生的自由表面的旋转水流的毛细重力表面波的单向传播的效果。具体来说，我们假设一个恒定的涡量在身体的流体，物理上对应于一个基本的电流与线性水平速度剖面。我们考虑三个不同的模式的相互作用，我们得到的动力学方程的共振三波。设常涡度为零，我们恢复了著名的可积三波系统。
2019-11-13 nlin.SI physics.flu-dyn
Miura Reciprocal transformation for two integrable hierarchies in 1+1 dimensions
本文提出了两类1+1维偏微分方程，其第一和第二成员分别是浅水波Camassa-Holm和Qiao方程。这两个层次可以通过倒数方法分别转化为Calogero-Bogoyanlevski-Schiff方程（CBS）及其修改版本（mCBS）。考虑到CBS和mCBS之间存在一个Miura变换，我们将通过Miura变换和互逆变换的复合得到初始层次之间的关系。
2013-01-16 math-ph math.MP nlin.SI
Evolution of solitary waves and undular bores in shallow-water flows over a gradual slope with bottom friction
本文在变系数Korteweg-de Vries方程的框架下研究了浅水孤立波和非线性周期波在有底摩擦的缓坡上的传播。我们使用的Whitham平均法，使用最近的发展，这一理论的扰动可积方程。这种一般的方法，使我们不仅能够提高已知的孤立孤立波和周期性波列的绝热演化的存在下，地形和底摩擦，模拟Chezy法，但也很重要的是，研究这些因素的影响上的传播起伏的孔，这是基本上不稳定的系统正在考虑中。特别是，它示出的可变地形和底部摩擦的组合作用，一般施加一定的全球性的限制，使领先的孤立波的传播的演变可以是基本上不同的孤立波具有相同的初始振幅。这种非局部效应是由于波纹孔内的非线性波相互作用，并可能导致额外的孤立波振幅增长，这是不能预测的孤立波在缓慢变化的介质中的传播的传统绝热方法的框架。
2007-03-31 nlin.PS nlin.SI
A New Integrable Equation with Peakon Solutions
我们考虑一个新的偏微分方程，一个类似的形式的Camassa-Holm浅水波方程，这是最近得到的Degasperis和Procesi使用的方法的渐近可积性。通过构造新方程的拉克斯对，我们证明了新方程的精确可积性，并通过一个倒易变换解释了它与Kaup-Kupershirt族中的一个负流的关系.导出了守恒量的无穷序列，并提出了双哈密顿结构。该方程承认多峰子的叠加形式的精确解，我们描述了可积的有限维峰子动力学和比较它与Camassa-Holm峰子的类似结果。
2002-05-12 nlin.CD nlin.SI
Investigation of shallow water waves near the coast or in lake environments via the KdV-Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff equation
本文研究描述海岸及湖泊浅水波的 KdV-CBS 方程，基于二元 Bell 多项式获得双线性 Bäcklund 变换、Lax 对与无穷守恒律，并结合同宿测试和符号计算构造多类混合解。
2024-05-10 nlin.SI
On the Integrability of a Class of Nonlinear Dispersive Wave Equations
本文研究了一类描述连续介质中非线性色散波的1+1维模型的可积性，如圆柱可压缩超弹性杆、浅水波等，其完全可积的情形与Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程一致.
2006-06-15 nlin.SI
Lie symmetries and singularity analysis for generalized shallow-water equations
利用不变点变换理论和奇异性分析方法，对广义Camassa-Holm方程和广义Benjamin-Bono-Mahoney方程进行了全面的研究.从李理论出发，我们发现这两个方程在同一个三维李代数下是不变的，这个三维李代数就是Camassa-Holm方程所承认的同一个李代数。我们确定的一维最优系统的承认李对称性，我们进行了一个完整的分类，我们研究的两个方程的相似性解决方案。利用点对称性或奇异性分析对约化方程进行了研究。最后，将奇异性分析直接应用到偏微分方程上，由此我们推断所研究的广义方程通过了奇异性检验，是可积的。
2020-06-01 math-ph math.AP math.MP
Experimental evidence of a hydrodynamic soliton gas
本文报道了在浅水区34米长的波浪水槽中实现双向气体孤子的实验。我们利用正弦波的分裂来注入连续的孤子，这些孤子沿着槽来回传播。尽管有不可避免的阻尼，孤子在衰减时仍保持其轮廓。其结果是形成一个稳定的状态，其特征在于由一个致密的孤立子气体的统计性质是很好地描述了一个纯粹的可积动力学。气体中的基本成分，即两个孤立子的相互作用，进行了详细的研究和比较有利的Kaup-Boussinesq可积方程的解析解。高分辨率的空间-时间测量的表面高程波水槽提供了一个独特的工具，实验研究的整个频谱的激励。
2019-04-26 nlin.PS nlin.SI physics.flu-dyn
Unfolding of singularities and differential equations
托姆的灾变和微分方程之间的相互关系重新审视。证明了A、D、E型奇点的临界点的奇异变形可用Hamilton-Jacobi型方程组描述。对于特殊的非线性开折，相应的方程等价于经典浅水方程和无色散Toda方程等可积的二分量流体动力学型方程组。这类可积系统的特殊性在于，服从Euler-Poisson-Darboux方程的相应族的母函数中包含了高阶规范形和高阶余秩奇异性的信息。
2012-01-09 math-ph math.MP nlin.SI
Solutions to the wave equation for commuting flows of dispersionless PDEs
本研究从可积系统视角出发，通过微分约束约化方法求解变速波动方程，得到固定速度下的完备解，并给出带对称性、守恒量的哈密顿可积系统实例。
2023-12-14 math-ph math.MP nlin.SI
Two-layer interfacial flows beyond the Boussinesq approximation: a Hamiltonian approach
本文利用Hamilton偏微分方程的可积系统理论及其近可积变形，研究了二维无限大槽道中两层分层流动的Euler系统垂向平均演化方程。平均方程组的哈密顿结构直接由欧拉方程组的哈密顿结构通过哈密顿约化得到。长波渐近与Boussinesq近似忽略流体的惯性，然后应用到减少的领导阶垂直平均方程的浅水Airy系统，并因此，在一个非平凡的方式，无色散的非线性薛定谔方程。无色散极限的完全非Boussinesq系统可以被看作是这个众所周知的方程的变形。在微扰研究这种变形，它表明，在第一阶的变形系统具有无穷序列的运动常数，从而铸造这个系统的框架内完全可积方程。构造了变形模型的Riemann不变量，并利用速图公式得到了完全可积系统的局部解。
2015-12-23 math-ph math.MP nlin.SI
Discovery of Quasi-Integrable Equations from traveling-wave data using the Physics-Informed Neural Networks
本研究应用物理信息神经网络（PINNs）识别二维准可积方程（ZK和RLW），针对逆向过程中的误识别问题，引入守恒律增强、初始条件变化和摩擦微扰方法，显著提升了方程识别精度。
2025-04-29 hep-th nlin.SI physics.flu-dyn
