计数子结构III：四重系统

计数子结构I：颜色临界图

Counting substructures I: color critical graphs

设$F$是一个含有边的图，边的删除减少了它的色数。我们证明了严格的界限上的副本的数量$F$在一个图的规定数量的顶点和边。我们的结果扩展了Simonovits的结果，他们证明了$F$有一个拷贝，以及Rademacher，Erd \H os和Lovász-Simonovits的结果，当$F$是完全图时，他们证明了类似的计数结果。我们定理的一个最简单的例子是下面的新结果。存在一个绝对正常数$c$，使得如果$n$足够大且$1 \le q < cn$，则每个具有$n$偶数边和$n^2/4 +q$边的$n$顶点图至少包含五个循环的$q(n/2)(n/2-1)(n/2-2)$拷贝。类似的陈述适用于任何奇数循环，并且界限是最佳可能的。

计数子结构II：三元系

Counting substructures II: triple systems

对于不同的三元系$F$，我们给出了具有指定顶点数和边数的三元系中$F$的拷贝数的紧下界.这些是第一个这样的结果超图，并延长较早的定理Bollobás，弗兰克尔，Füredi，Keevash，Pikhurko，Simonovits，和Sudakov谁证明了有一个副本的$F$。示例结果如下：Füredi-Simonovits和Keevash-Sudakov分别证明了$n$顶点三元系中三元组的最大个数（对于$n$足够大并且是偶数）不包含Fano平面的副本的是$p(n)={n/2 \choose 2}n.$我们证明存在绝对常数$c$使得如果$n$足够大并且$1 \le q \le cn^2$，则每个具有$p(n)+q$边的$n$顶点三元系至少包含$6q({n/2 \choose 4}+(n/2 -3){n/2 \choose 3}$ $ copies of the Fano plane. This is sharp for $ q \le n/2-2$.我们的证明使用最近证明的超图删除引理和相应的图兰问题的稳定性结果。

Counting substructures and eigenvalues I: triangles

Motivated by the counting results for color-critical subgraphs by Mubayi [Adv. Math., 2010], we study the phenomenon behind Mubayi's theorem from a spectral perspective and start up this problem with the fundamental case of triangles. We prove tight bounds on the number of copies of triangles in a graph with a prescribed number of vertices and edges and spectral radius. Let $n$ and $m$ be the order and size of a graph. Our results extend those of Nosal, who proved there is one triangle if the spectral radius is more than $\sqrt{m}$, and of Rademacher, who proved there are at least $\lfloor\fra…

计数子结构（II）：四边形

Counting substructures and eigenvalues II: quadrilaterals

本文研究谱半径条件下图中4-圈计数下界，证明最小4-圈数为Θ(m²)，改进先前Ω(m)结果，并留下极限问题。

基因调控网络中基因复制下的子网络计数

Counting Subnetworks Under Gene Duplication in Genetic Regulatory Networks

本文通过建立基因复制模型，研究基因调控网络中基因家族特异性子网络模体的计数问题，并区分完全复制与部分复制两种机制，为发现具有显著性的子网络模体提供了方法。