The complex WKB method for difference equations and Airy functions
考虑差分Schr{<$}dinger方程$ψ$（z + h）+ $ψ$（z -- h）+ v（z）$ψ$（z）= 0，其中z是复变量，h > 0是参数，v是解析函数.当h $\rightarrow$ 0时，该方程的分析解在v（z）= $\pm$ 2的点附近具有标准的准经典行为。研究了在z 0附近满足v（z 0）= $\pm$ 2和v（z 0）= 0的分析解.对于有限差分方程，这些点是为微分方程定义的简单转折点的自然类似物-- $ψ$（z）+ v（z）$ψ$（z）= 0。在这样一个点的h-独立邻域中，我们得到了差分方程分析解的一致渐近展开。
2018-11-22 math-ph math.CA math.MP
WKB-expansion of the HarishChandra-Itzykson-Zuber integral for arbitrary beta
本文研究了非酉对称的广义Harish Chandra-Itzykson-Zuber矩阵积分的渐近展开式，其中β是参数β（通常β = 1，2和4对应于正交、酉和辛群积分）.对于k和β的一般值，从热核微分方程导出f的WKB展开式。从带状多项式方面的扩展，一个得到的扩展在权力的tau的β =1，和推广被认为是一般β。一个对偶关系，和变换的产品对对称函数到tau多项式，是用来获得一般β的f（τ ij）的表达。
2006-04-18 math-ph math.MP
WKB Analysis of PT-Symmetric Sturm-Liouville problems
大多数关于PT对称量子力学哈密顿量的研究都考虑了无限域上的薛定谔本征值问题。本文探讨了有限域上施加边界条件的后果。与正则Hermitian Sturm-Liouville问题的情况一样，对于大的$n$，PT对称Sturm-Liouville问题的特征值像$n^2$一样增长。然而，新颖之处在于，有限域上的PT特征值问题通常表现出一系列的临界点，在这些临界点处，特征值对不再是真实的，并且成为彼此的复共轭。对于这里考虑的势，这一系列临界点与复平面中虚轴上的转折点有关。WKB分析用于计算实特征值的渐近行为和临界点的位置。该方法被证明是令人惊讶的准确，即使在低能量。
2012-01-05 hep-th math-ph math.MP
Construction of an approximate solution of the Wigner equation by uniformization of WKB functions
在这篇论文中，我们构造了一个近似级数解的维格纳方程的艾里函数，这是半经典集中在某些拉格朗日曲线在二维相空间。这些曲线由相关的一维薛定谔算符的本征值和哈密顿函数定义，它们在相空间中的量子干涉机制中起着至关重要的作用。我们假设薛定谔算符的势是一个单势阱，使得谱是离散的。该结构从解的本征函数级数展开开始，通过将分离变量的基本技术与Moyal星指数算子的谱结果相结合，首次以系统的方式导出。维格纳方程的本征函数是薛定谔本征函数的维格纳变换，它们可以通过薛定谔本征函数的WKB展开的维格纳变换的一致定相近似，用艾里函数来近似。本征函数级数的近似是维格纳方程的近似解，其通过投影到位形空间上提供了近似的波幅，没有转折点奇点。一般认为，即使在焦散线上，导出的波振幅也是有界的，并且是正确缩放的，因为对于具有有限能量的WKB初始波函数，只有近似项的有限项是有意义的。计算的细节是针对谐振子的简单势提出的，以便能够分析地检查我们的近似。但是，同样的结构可以应用于任何势阱，其行为类似于阱底部附近的谐振子。
2017-06-09 math-ph math.MP
WKB analysis of the Regge-Wheeler equation down in the frequency plane
本文分析了黑洞引力波的Regge-Wheeler方程在大负虚频下的性质，从而计算出了向外传播到无穷远的引力波的剪切强度。在有限的重叠区域，结果与数值结果吻合得很好。量子引力_ 20_，L217（2003）]。要求这些波也能出射到视界，随后得到了高阻尼史瓦西准正规模的解析公式，包括前导修正。正如在WKB量化中，例如，对于谐振子，不同空间区域的解必须通过一个连接公式连接起来，这个公式在它们之间的边界附近是有效的，在那里WKB崩溃了。对于振子，这个边界由经典转折点给出;有趣的是，这里的联系涉及黑洞奇点r=0周围的展开。
2003-11-12 gr-qc hep-th math-ph
Resummed Wentzel-Kramers-Brillouin Series: Quantization and Physical Interpretation
WKB（Wentzel-Kramers-Brillouin）微扰级数是求解线性波的一种广泛使用的技术，通常是发散的，充其量也就是渐近的，因此阻碍了前几个领先阶效应之外的预测。在这里，我们报告了一个封闭形式的公式，精确求和的扰动WKB级数的所有订单的两个转折点问题。该公式被优雅地解释为使用空间变化的波数和与波transmittance相关的系数的乘积来评估的作用;单位transmittance产生玻尔-索末菲量子化。
2022-02-22 math-ph math.MP quant-ph
Exact WKB analysis of the vacuum pair production by time-dependent electric fields
基于精确的WKB分析，我们研究了含时强电场的真空对产生。我们确定的系统与真空对生产的斯托克斯图的一般结构，并表明生产对的数量是由斯托克斯段连接对的转折点的连接矩阵的产品。我们推导出一个明确的公式，生产对的数量，假设半经典的限制。所得公式可以理解为Berry发散渐近级数方法的推广，并且与Brezin和Izykson的世界线瞬子方法和Bogoliubov系数的最速下降估计等半经典方法一致.我们还利用该公式讨论了外加强电场的时间依赖效应，包括微扰多光子对产生与非微扰Schwinger机制的相互作用，以及动力学辅助Schwinger机制.
2021-03-23 hep-ph hep-th math-ph
WKB Methods for Finite Difference Schrodinger Equations
本文为有限差分薛定谔方程发展全阶 WKB 方法，构造一般量子动量并发现额外周期因子，进而利用贝塞尔函数的 resurgence 性质建立连接公式，用于构造离散谱并与已有文献对比。
2024-10-21 hep-th math-ph math.MP
A Riemann-Hilbert representation for Sobolev orthogonal polynomials
Laboratoire de Physique ENS de Lyon（里昂高等师范学校物理实验室）；École Normale Supérieure de Lyon（里昂高等师范学校）
本文将索伯列夫正交多项式表示为I型多重正交多项式，利用二阶常微分方程的WKB渐近性质建立其黎曼-希尔伯特问题，推导得到投影核的克里斯托费尔-达布型公式。
2026-08-11 math-ph math.CA math.MP
Asymptotic distribution of zeros of polynomials satisfying difference equations
本文提出了一种求满足差分方程B（x）pn（x+δ）-C（x，n）pn（x）+D（x）pn（x-δ）=0的正交多项式pn（x）零点渐近分布的方法.计算了Meixner多项式和Meixner-Pollaczek多项式零点的渐近分布和极值零点的渐近性。Meixner多项式零点的分布具有一些微妙的特征。我们表明我们的方法的WKB技术和基于Nevai-Ullman分布的方法的关系。
1999-09-17 math-ph math.MP
Exceptional orthogonal polynomials, QHJ formalism and SWKB quantization condition
我们研究了最近获得的精确可解模型的量子Hamilton-Jacobi（QHJ）方程，并与新发现的例外多项式相关联，证明了QHJ形式再现了精确的本征值和本征函数.本征函数在复杂位置具有零点和极点的事实导致了量子动量函数$p(x)$的非常规奇异结构，即波函数的对数导数，这形成了QHJ量子化方法的关键。这些系统的奇异性结构与已知的精确可解和准精确可解模型的比较揭示了有趣的差异。我们发现这些新势的动量函数的奇点位于上述两个不同的模型之间，与它们有相似之处。这促使我们研究超对称WKB（SWKB）量子化条件的精确性。有趣的奇异性结构的$p(x)$和超势的这些模型具有重要的后果的SWKB规则，并在我们的证明其准确性，这些量子系统。
2011-12-11 math-ph math.MP quant-ph
The Newman-Penrose Formalism for Riemannian 3-manifolds
我们将广义相对论中的Newman-Penrose形式主义应用到三维黎曼几何中，并证明了以下结果。给定一个无边界的黎曼3-流形和一个具有测地流的光滑单位向量场${\boldsymbol k}$，如果${\boldsymbol k}$的一条积分曲线在一点上是超曲面正交的，那么它在该曲线上的每一点上都是超曲面正交的.此外，如果${\boldsymbol k}$是完备的，超曲面正交的，并且满足$\text{Ric}({\boldsymbol k},{\boldsymbol k}) \geq 0$，那么它的散度一定是非负的。作为应用，我们证明了如果黎曼3-流形是闭的，且单位长度的测测地流${\boldsymbol k}$满足$\text{Ric}({\boldsymbol k},{\boldsymbol k}) > 0$，则${\boldsymbol k}$不可能是超曲面正交的，从而恢复了最近的一个结果.接下来转向数量曲率，我们导出了单位向量场${\boldsymbol k}$满足条件$R({\boldsymbol k},\cdot,\cdot,\cdot) = 0$的数量曲率的发展方程。当数量曲率为非零常数时，证明了超曲面正交单位向量场${\boldsymbol k}$满足$R({\boldsymbol k},\cdot,\cdot,\cdot) = 0$当且仅当它是Killing向量场.
2015-02-03 math-ph math.DG math.MP
Nonlinear eigenvalue problems
本文研究了非线性微分方程y '（x）= \cos [πxy（x）]在初始条件y（0）=a下的渐近性.虽然微分方程是非线性的，这个初值问题的解决方案承担一个惊人的相似的解决方案的时间无关的薛定谔本征值问题。当x从x=0增加时，y（x）振荡，因此类似于经典允许区域中的量子波函数。在临界值x= x_{crit}，其中x_{crit}取决于a，解y（x）经历转变;振荡突然停止，y（x）随着x--> \infty单调衰减到0。这种跃迁类似于波函数中的跃迁，当一个波函数进入经典禁带时，在转折点处发生这种跃迁。此外，初始条件a落入离散类中;在第n类初始条件a_{n-1} <a<a_n（n= 1，2，3，.）中，y（x）在振荡区域中恰好表现出n个最大值。这些类的边界a_n类似于量子力学本征值。大$n$的$a_n$的渐近计算类似于量子力学中本征值的高能半经典（WKB）计算。本文的主要结果是：当n--> \infty时，a_n~A \sqrt{n}，其中A=2^{5/6}.数值分析表明，第一个Painleve超越具有与方程y '（x）= \cos [πxy（x）]非常相似的特征值结构，并且第n个特征值随n的增长类似于常数乘以n^{3/5}，即n--> \infty .最后指出，常数A在数值上非常接近复变理论中幂级数常数P的下界，这与泰勒级数部分和的零点的渐近行为有关。
2014-01-23 math-ph math.MP nlin.CD
On the behavior at infinity of solutions to difference equations in Schroedinger form
我们对离散薛定谔方程的解在无穷远处的行为提供了几种观点。首先，我们研究对离散薛定谔方程的势函数不同的数量，可以被认为是小的，在一个合适的意义上的指数n \rightarrow \infty。通过对原系统解的增长率作简单的假设，我们证明了扰动系统在无穷远处具有一组具有相同行为的基本解，并采用常数变分方法对第二方程的解进行收敛迭代.我们利用解集之间的关系导出解的指数二分性，并阐明转移矩阵的结构。后来，我们提出了一个尖锐的离散模拟的Liouville-格林（WKB）变换，使它能够推导出指数行为在无穷远的一个单一的差分方程，通过明确地构建一个比较方程，我们的扰动结果适用。此外，我们指出了一个确切的关系连接的对角部分的格林矩阵的渐近行为的解决方案。有了这两个工具，就有可能确定一个Agmon指标，在某些情况下，任何递减的解都必须呈指数递减。离散薛定谔问题的讨论及其与实直线上的正交多项式的联系在附录中给出。
2011-09-22 math-ph math.CA math.MP
