Stochastic PDEs, Regularity Structures, and Interacting Particle Systems
这些课堂笔记是由第二位作者在图卢兹、松本和达姆施塔特的短期课程中所作的一系列讲座发展而来的。主要目的是解释Hairer最近在arXiv：1303.5113中开发的“规则结构”理论的某些方面。这一理论为研究一类以前不能处理的随机偏微分方程的适定性提供了一种方法。突出的例子包括KPZ方程以及动态$Φ^4_3$模型。这样的方程可以展开成形式的微扰展开式。粗略地说，正则性结构理论提供了一种方法，可以在多项之后截断这种展开，并解决“余数”的不动点问题。关键的成分是一个新的概念“规律性”的基础上，这种扩展的条款。
2017-07-11 math-ph math.AP math.MP
Central limit theorems for multivariate Bessel processes in the freezing regime II: the covariance matrices
在$N$维中的Bessel过程$(X_{t,k})_{t\ge0}$通过相关的根系和多重常数$k\ge0$进行分类。它们描述了具有$N$粒子的相互作用的Calogero-Moser-Sutherland粒子系统，并且与$β$ -Hermite和$β$ -Laguerre系综有关。最近，几个中心极限定理得到固定的$t>0$，固定的起点，和$k\to\infty$。在本文中，我们推广的CLT在A-情况下，从开始在0到任意的开始分布，通过使用相应的贝塞尔函数的极限结果。我们还确定了高斯极限的协方差阵的特征值和特征向量，并研究了$k\to\infty$和$N\to\infty$的中间粒子在CLT中的应用。
2019-06-17 math-ph math.MP math.PR
Central limit theorems for multivariate Bessel processes in the freezing regime
通过关联的根系和正重数常数对多元Bessel过程进行了分类。它们描述了Calogero-Moser-Sutherland型相互作用粒子系统的动力学。最近，Andraus，Katori和Miyashita导出了这些过程的一些弱大数定律，这些过程具有固定的正时间和趋于无穷大的重数。本文用初等方法导出了A、B、D型根系的相关中心极限定理。在大多数情况下，极限将是正态分布，但在B-情况下，在与根系A相关的分布或半空间上的单侧正态分布出现的情况下，存在冻结极限。我们的结果是连接到中心极限定理Dumitriu和Edelman的β-Hermite和β-Laguerre合奏。
2018-05-22 math-ph math.MP math.PR
Limit theorems for multivariate Bessel processes in the freezing regime
多元Bessel过程描述了Calogero-Moser-Sutherland型相互作用粒子系统的随机动力学，它与$β$ -Hermite和Laguerre系综有关. Andraus、Katori和Miyashita证明，对于固定的起始点，当重数$k$趋于$\infty$时，这些过程承认有趣的极限定律，其中在某些情况下极限由经典Hermite和Laguerre多项式的零点描述。在本文中，我们使用SDES推导出相应的极限法律的形式$\sqrt k\cdot x$为$k\to\infty$与$x$在相应的Weyl室的内部的起始点。我们的极限结果是a.s.在时间上局部一致。此外，在某些情况下，我们提出了相关的中心极限定理。
2018-10-18 math-ph math.CA math.MP
Limit theorems for Bessel and Dunkl processes of large dimensions and free convolutions
我们研究了可能具有多元耦合常数$k\ge0$的$\mathbb R^N$上的Bessel和Dunkl过程$(X_{t,k})_{t\ge0}$.这些过程描述了具有$N$粒子的Calogero-Moser-Sutherland型相互作用粒子系统。对于根系$A_{N-1}$和$B_N$，这些Bessel过程与$β$ -Hermite和$β$ -Laguerre系综有关.此外，对于冻结的情况$k=\infty$，这些过程退化为确定性或纯跳跃过程。我们使用生成器的贝塞尔和Dunkl过程的类型A和B，并推导出类似的Wigner的周期和Marchenko-Pastur极限定律的$N\to\infty$的经验分布的粒子与任意初始经验分布，通过使用自由卷积。特别地，对于B型Dunkl过程，在$\mathbb R$上出现了新的非对称双曲型极限分布.我们的结果意味着，限制措施的形式已经完全由冻结过程决定。此外，在冻结的情况下，我们的方法导致了一个新的简单的证明，分别为Hermite和Laguerre多项式的零点的经验措施的Marcle和Marchenko-Pastur极限定律。
2020-09-29 math-ph math.CA math.MP
Functional central limit theorems for multivariate Bessel processes in the freezing regime
多元Bessel过程$(X_{t,k})_{t\ge0}$描述了Calogero-Moser-Sutherland型相互作用粒子系统，它与$β$ -Hermite和$β$ -Laguerre系综有关.它们依赖于一个根系和一个重数$k$，重数$k$对应于随机矩阵理论中的参数$β$。近年来，对于具有固定$t>0$和固定起始点的$k\to\infty$，得到了几个极限定理.直到最近，Andraus和Voit利用$(X_{t,k})_{t\ge0}$的随机微分方程推导出了$k\to\infty$的极限定理，其起点形式为$\sqrt k\cdot x$，其中$x$位于相应的Weyl腔室的内部。本文给出了$t$中局部一致的相关泛函中心极限定理.高斯极限过程承认明确表示的矩阵指数和相关的确定性动力系统的解决方案。
2019-10-18 math-ph math.CA math.MP
Stochastic particle approximation of the Keller-Segel equation and two-dimensional generalization of Bessel processes
Keller-Segel偏微分方程是一个二维的趋化性模型。当初始密度的总质量为1时，已知一旦细菌对化学引诱剂的敏感性$χ$大于$8π$，就在有限时间内表现出爆破。我们研究了它的近似$N$二维布朗粒子通过奇异吸引核的漂移项相互作用系统。在非常亚临界的情况下，$χ\textless{}2π$，扩散强烈主导这种奇异漂移：我们获得的粒子系统的存在，并证明其流动的经验措施收敛，作为$N\to\infty$和提取的子序列，一个弱解的凯勒-西格尔方程。我们还表明，对于任何$N\ge 2$和任何值的$χ\textgreater{}0$，粒子对碰撞的正概率：奇异的漂移确实访问。然而，当$χ\textless{}2πN$时，可以控制漂移并获得粒子系统的存在，直到至少三个粒子碰撞的第一次。我们检查这个时间是a.s.无穷大，所以粒子系统整体存在成立，当且仅当$χ\leq 8π(N-2)/(N-1)$。最后，我们注意到，在系统中的$N=2$粒子，这两个位置之间的差异提供了一个自然的二维推广的贝塞尔过程，我们详细研究。
2015-07-04 math.PR
Hitting times of interacting drifted Brownian motions and the vertex reinforced jump process
考虑一个负漂移的一维布朗运动，它的首中时满足逆高斯律。此外，在这个首中时的条件下，直到那个时间的布朗运动具有三维贝塞尔桥的定律。在本文中，我们给出了一个推广的结果，一族布朗运动与相互作用的漂移，指标的电导网络的顶点。首中时在规律上等于随机势的倒数，该随机势出现在称为顶点加强跳跃过程的自相互作用过程的分析中（[17，18]）。这些具有相互作用漂移的布朗运动在约束和条件方面具有显着的性质，表现出隐藏的马尔可夫性。这类过程与鞅密切相关，鞅在无限图上的顶点加强跳跃过程和边加强随机游动（[18]）的分析中起着至关重要的作用。
2018-05-09 math.PR
Freezing Limits for Beta-Cauchy Ensembles
与根系$A_{N-1}$和$B_N$相关的贝塞尔过程描述了与$\mathbb R$上的$N$粒子相互作用的粒子系统;它们形成了经典$β$ -Hermite和Laguerre系综的动态版本。本文研究了通过某种从属关系构造的相应柯西过程。这导致在两种情况下都有显式分布的$β$ -Cauchy系综。对于这些分布，我们导出了在冻结状态下固定$N$的中心极限定理，即，当参数趋于无穷大时。结果是密切相关的相应的已知冻结结果$β$ -Hermite和Laguerre合奏和贝塞尔过程。
2022-09-28 math-ph math.CA math.MP
Elliptic Bessel processes and elliptic Dyson models realized as temporally inhomogeneous processes
本文将含参数$D>1$的Bessel过程和含耦合常数$β>0$的相互作用布朗运动的Dyson模型推广到漂移项和相互作用项由Jacobi θ函数的对数导数给出的过程。它们分别被称为椭圆贝塞尔过程（eBES $^{(D)}$）和椭圆戴森模型（eDYS $^{(β)}$）。两者都是在半径为$r >0$的圆$[0, 2 πr)$的圆周上实现的，作为在有限时间间隔$[0, t_*), t_* < \infty$中定义的时间非均匀过程。将它们变换为含时势的薛定谔型方程，证明了eBES $^{(D)}$和eDYS $^{(β)}$可以构造为布朗运动的含时Girsanov变换.在特殊情况下，其中$D=3$和$β=2$，过程的可观测量的定义和过程表示为他们使用的布朗路径缠绕一个圆，并钉在时间$t_*$。我们证明了eDYS $^{(2)}$对任何可观测量都具有行列式鞅表示。然后证明了对于任意有限初始位形，eDYS $^{(2)}$对所有观测量都是决定性的。行列式过程是随机可积系统，因为所有的时空相关函数都是由行列式给出的，行列式由一个称为时空相关核的连续函数控制。
2016-09-22 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Well-posedness of diffusion-aggregation equations with bounded kernels and their mean-field approximations
本文针对有界相互作用力核，在全空间上建立扩散–聚集方程的适定性与正则性，并给出粒子系统与 McKean–Vlasov SDE 间任意代数速率的定量概率估计，从而证明混沌传播。
2023-10-20 math.AP math.PR
A maximal $L_p$-regularity theory to initial value problems with time measurable nonlocal operators generated by additive processes
设$Z=(Z_t)_{t\geq0}$是一个有界三元组$(0,0,Λ_t)_{t\geq0}$的可加过程。假设对于$\mathbb{R}^d$上的任何Schwartz函数$φ$，其傅里叶变换在$C_c^{\infty}(B_{c_s} \setminus B_{c_s^{-1}} )$中，存在正常数$N_0$、$N_1$和$N_2$，使得\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^d}|\mathbb{E}[φ(x+r^{-1}Z_t)]|dx\leq N_0 e^{- \frac{N_1 t}{s(r)}},\quad \forall (r,t)\in(0,1)\times[0,T], \end{equation*}和$$ \|ψ^μ(r^{-1}D)φ\|_{L_1(\mathbb{R}^d)}\leq \frac{N_2}{s(r)},\quad \forall r\in(0,1). $$，其中$s$是尺度函数（定义2.4），$c_s$是与$s$相关的正常数，$μ$是$\mathbb{R}^d$，$ψ^μ(r^{-1}D)φ(x)= \mathcal{F}^{-1} \left[ ψ^μ(r^{-1}ξ) \mathcal{F}[φ]\right](x)$和$$ψ^μ(ξ):=\int_{\mathbb{R}^d}(e^{iy\cdotξ}-1-iy…
2023-02-03 math.AP math.PR
Gaussian fluctuations for interacting particle systems with singular kernels
本文研究具有奇异核的相互作用粒子系统经验测度涨落，证明其收敛于广义 Ornstein-Uhlenbeck 过程，并应用于二维不可压缩 Navier-Stokes 和 Euler 方程的点涡模型。
2024-12-29 math.AP math.PR
Large volatility-stabilized markets
我们研究了相互作用的扩散过程系统的行为，在数学金融文献中称为波动稳定的市场模型，当扩散的数量趋于无穷大。我们表明，经过适当的时间参数的重新缩放，系统的经验措施收敛到退化抛物型偏微分方程的解决方案。一个随机表示后者的一维分布的时变平方贝塞尔过程允许我们给出一个明确的描述的限制。
2011-02-17 math.PR
Quantitative Propagation of Chaos for Singular Interacting Particle Systems Driven by Fractional Brownian Motion
University of L'Aquila（拉奎拉大学）；University of Leeds（利兹大学）；University of Bath（巴斯大学）
本文研究了由分数布朗运动驱动的奇异相互作用粒子系统，证明了在粒子数趋于无穷时传播混沌和均场收敛的定量速率。
2026-11-04 math.AP math.PR
Regularity and stability for the Gibbs conditioning principle on path space via McKean-Vlasov control
本文研究可观测经验均值约束下相互作用扩散系统的 Gibbs 条件原理，借助带分布约束的 McKean-Vlasov 控制分析，建立最优解的正则性与定量稳定性，并得到 HJB 方程和对数密度 Hessian 的新估计。
2025-01-07 math.OC math.PR
Tagged particle processes and their non-explosion criteria
我们从无标记相互作用布朗运动中导出了标记粒子过程。给出了标记粒子过程非爆炸性的一个判据。我们证明了Dirichlet形式的准正则性，描述了从标记粒子看到的环境，这是在以前的文件中使用，以证明相互作用布朗运动的标记粒子的不变原理。
2010-03-25 math-ph math.MP math.PR
Scaling limit of a weakly asymmetric simple exclusion process in the framework of regularity structures
本文在不使用Gaertner变换的情况下，利用正则结构框架证明了圆环上弱不对称简单排他过程的高度函数收敛到KPZ方程的Cole-Hopf解，并解决了重整化过程中的关键技术挑战。
2025-05-01 math-ph math.MP math.PR
The Swapping Mechanism for Interacting Diffusions: Framework, Comparison with Switching, and an Exactly Solvable Example
University of Havana（哈瓦那大学）
研究两个相互作用跳跃扩散过程的交换机制，开发严格框架，建立相关性质，通过对称恒等式联系交换与状态切换，对比两者差异，给出精确可解示例并分析其性质，揭示不对称性、扩散率修正及收敛率等。
2026-07-17 math.PR
The Euclidean $ϕ^4_2$ theory as a limit of an interacting Bose gas
我们证明了当气体密度变大，相互作用范围变小时，在正温度下，具有局部四次自相互作用的二维复欧几里德场论是相互作用玻色气体的极限.场论是以负正则性分布为基础的，它需要通过发散的质量和能量反项进行重整化。我们得到了相对配分函数的收敛性和重正化约化密度矩阵的一致收敛性。证明基于三个主要成分：（a）使用布朗路径的连续性对[32]中引入的泛函积分的无穷维鞍点参数进行定量分析，（b）二维一般非局部场论的Nelson型估计，以及（c）在场空间中逐部分重复高斯积分以获得对重正化关联函数的一致控制。作为我们证明的副产品，在二维和三维中，我们还将[32，56]中关于平均场极限的结果扩展到满足Bourgain [13]提出的最佳可积性条件的无界相互作用势。
2023-01-09 math-ph math.AP math.MP
On the Ergodicity of Interacting Particle Systems under Number Rigidity
本文建立构形空间上概率测度尾平凡性、输运距离有限性与狄利克雷型不可约性的关联，借助数刚性证明了多类行列式/积和式点过程对应的无穷对数相互作用扩散过程的遍历性。
2023-06-14 math-ph math.FA math.MP
Hopf and pre-Lie algebras in regularity structures
这些课堂讲稿旨在介绍arXiv：1303.5113，arXiv：1610.08468和arXiv：1711.10239中发展的正则性结构的代数理论。这个理论的主要目的是建立一个系统的方法来重正化奇异SPDE，连同互补的分析结果，这些作品给出了广泛的一类半线性抛物奇异SPDE在亚临界政权的一般解决方案理论。我们演示了如何“积极的”和“消极的”重整化可以使用相互作用的霍普夫代数，以及如何重整化的非线性SPDE可以计算。对于后者，至关重要的是一个前李结构上的非线性负重整化组的行为通过前李态射。为了展示这些结果的主要方面，而不引入许多符号和假设，我们专注于一般理论的一个特殊情况下，其中只有一个方程和一个噪声。这些讲座笔记是2021年11月在维也纳ESI举行的大师班和研讨会“从重新规范化中出现的更高结构”的迷你课程中提出的材料的扩展。
2022-06-29 math-ph math.MP math.PR
Weak quantitative propagation of chaos via differential calculus on the space of measures
考虑$\mathbb{R}^d$上平方可积律的度量空间$(\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d),W_2)$，其拓扑由2-Wasserstein距离$W_2$导出.设$Φ: \mathcal{P}_2( \mathbb{R}^d) \to \mathbb{R}$为函数，$μ_N$为分布为$μ$的$N$随机变量样本的经验测度。本文的主要结果是证明在适当的正则性条件下，对于某些不依赖于$N$的正常数$C_1, \ldots, C_{k-1}$，我们有\[ |Φ(μ) - \mathbb{E}Φ(μ_N)|= \sum_{j=1}^{k-1}\frac{C_j}{N^j} + O(\frac{1}{N^k}), \]，其中$k$对应于光滑度.我们区分两种情况：a）$μ_N$是$N$的经验度量-来自$μ$的样本; b）$μ$是McKean-Vlasov随机微分方程的边际律，在这种情况下，$μ_N$是相应粒子系统的边际律的经验律。第一种情况下，研究使用功能的衍生物的空间的措施。第二种情况依赖于概率测度流的伊藤式公式，与测度空间上的偏微分方程密切相关，在平均场博弈的文献中称为主方程。我们国家的一般正则性条件，需要为每种情况下，并分析的情况下，泛函的法律的McKean-Vlasov SDES的规律性。最终，这项工作揭示了相互作用的粒子系统的混沌传播的定量估计。此外，我们能够提供弱…
2019-01-08 math.PR
