Orbital stability of two-component peakons
我们证明了两分量峰子解在能量空间中是轨道稳定的。这里所涉及的系统是一个两分量Novikov系统，它是可积Novikov方程的可积多分量推广。通过建立耦合结构守恒量的最优不等式，我们将标量峰子的方法改进到具有真正非线性相互作用的两组分情形。此外，我们还建立了轨道稳定性的列车轮廓的两个组成部分的峰值通过使用精细分析的基础上单调的本地能量和归纳法。
2023-01-06 math.AP nlin.SI
Stability of periodic peakons for the Novikov equation
Novikov方程是一个可积的具有立方非线性项的Camassa-Holm型方程，并且存在周期峰.本文证明了周期峰子是Novikov方程的整体周期弱解，并证明了Novikov方程周期峰子的轨道稳定性.通过利用方程的不变量和控制解的极值，证明了这些周期峰的形状在能量空间中的小扰动下是稳定的。
2018-11-14 math.AP
An integrable pseudospherical equation with pseudo-peakon solutions
本文研究了一个可积伪球面方程，通过守恒量和“拼贴”方法构造了更光滑的伪尖峰解，并利用Miura变换与Degasperis-Procesi方程关联，恢复其尖峰解。
2024-09-09 math-ph math.AP math.MP
Pseudo-peakons and Cauchy analysis for an integrable fifth-order equation of Camassa-Holm type
本文讨论可积的高阶方程{Camassa-Holm（CH）型的\em}。我们的高阶CH-型方程是“几何可积的”，也就是说，它们描述了单参数族的伪球面，在第1节中解释的意义下，它们是可积的零曲率公式（$\simeq$ Lax对）与无穷多个局部守恒律。本文主要研究一个特殊的五阶CH型方程的{ \em pseudo-peakons}解，即一阶导数可微，二阶导数连续有界，但任何高阶导数爆破的弱有界解.进一步研究了该五阶CH-型方程在实直线上的Cauchy问题，并证明了在初始条件$u_0 \in H^s(\mathbb{R})$，$s > 7/2$下的局部适定性.此外，我们还研究了$H^4(\mathbb{R})$中的全局适定性条件以及导致局部解在有限时间内爆破的条件。最后，我们对高阶CH型方程的几何内容作了一些评论。
2022-05-04 math.AP nlin.SI
Local well-posedness and blow-up for a family of $U(1)$-invariant peakon equations
研究了NLS族中统一的可积$U(1)$不变峰子方程族的Cauchy问题。作为主要结果，证明了Besov空间中的局部适定性，并利用$L^1$守恒律建立了爆破.
2020-12-25 math-ph math.AP math.MP
Orbital and asymptotic stability of a train of peakons for the Novikov equation
Novikov方程是一个具有立方非线性项的可积Camassa-Holm型方程。该方程的一个重要特征是存在峰子解和多峰子解，即峰值行波表现为孤子。本文旨在证明峰子序列解的轨道稳定性和渐近稳定性，即多峰子解使得它们的初始构型是有序的。此外，我们给出了单峰子的轨道稳定性的改进，从而可以放弃动量密度的非负性假设。同样的结果也适用于峰子串的轨道稳定性，也就是说，在后一种情况下，我们也可以避免假设初始动量密度为非负。最后，作为这些结果的推论，结合多峰子解的位置矢量和动量矢量的渐近公式，我们得到了初始非良序多峰子的轨道和渐近稳定性.
2020-04-07 math.AP
Stability of peakons for the generalized modified Camassa-Holm equation
本文研究了广义修正Camassa-Holm（gmCH）方程的峰子的轨道稳定性，它是修正Camassa-Holm（mCH）方程的自然高阶推广，并允许Hamilton形式和单峰.我们首先证明了单峰是偏微分方程的通常弱解。给出了一些符号不变性质和守恒密度。其次，通过构造相应的辅助函数$h(t,\,x)$，建立一个关于两个守恒密度与近似解的最大值之间的微妙的多项式不等式，验证了gmCH方程单峰态的轨道稳定性.我们介绍了一种新的方法来证明关键的不等式，这是不同的，用于mCH方程。这扩展了mCH方程峰子稳定性的结果（Comm. Math. Phys.，322：967-997，2013）成功地应用于高阶情况，并且有助于理解高阶非线性如何影响色散动力学。
2018-11-02 math.AP
Similarity reductions of peakon equations: integrable cubic equations
本文研究了两个具有峰值孤子解的可积三次非线性偏微分方程（Modified Camassa-Holm（mCH）方程和Novikov方程）的标度相似解.通过利用适当的倒数变换，将mCH方程和Novikov方程分别映射到负mKdV流和负Sawada-Kotera流，我们证明了这些尺度相似性降低中的每一个都通过速端图变换与Painlevé型方程相关：对于mCH方程，其约化是二阶和二次的，而对于Novikov方程，约化是Painlevé V的特殊情况。此外，我们表明，这两个不同的Painlevé型方程的每一个都与Painlevé III的特殊情况有关，Painlevé III的特殊情况分别来自Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程的相似性约化。对于每一个考虑的立方非线性偏微分方程，我们也给出了明确的参数形式的椭圆函数的周期行波解。我们提出了一些参数图的后者，并通过使用显式的代数解Painlevé III，我们做同样的一些最简单的例子的缩放相似的解决方案，连同描述其领先的顺序渐近行为。
2022-05-29 math-ph math.AP math.CA
Remarks on certain two-component systems with peakon solutions
我们考虑一个拉克斯对夏，乔和周发现的一个家庭的两个组件类似的Camassa-Holm方程，包括一个任意的功能$H$，并表明，这种表观自由可以通过一个组合的倒数变换和规范变换，这减少了系统的三角形形式。根据$H$的选择，得到的三角系统可能是可积的，也可能不是可积的。此外，我们应用Dubrovin和Zhang的形式级数方法证明了具有大于三次齐次非线性项的Camassa-Holm型标量方程是不可积的.
2018-05-09 math-ph math.AP math.MP
Dissipative prolongations of the multipeakon solutions to the Camassa-Holm equation
多峰子是由黎曼流形上的可积测地流描述的Camassa-Holm方程的特解。我们提出了一个双哈密顿系统的明确制定和写下相关的首次积分的公式。然后，我们利用首次积分，提出了一种新的方法来解决多峰子在碰撞时间后的耗散问题。我们证明了碰撞后的$n$ -峰子成为一个$n-1$ -峰子的动量是保持的。
2018-03-27 math.AP math.DG
Orbital stability of peakons for a generalized Camassa-Holm equation with both quadratic and cubic nonlinearity
本文研究了一类具有二次和三次非线性项的修正Camassa-Holm方程峰子的轨道稳定性问题。该方程源自可积理论，并允许峰值孤立子（峰子）和多峰解。通过构造两个合适的分段函数，建立了与两个守恒量及方程解的最大值有关的多项式不等式。解的最大值和峰之间的误差估计则由多项式不等式的结构得出。最后，我们证明了一个波开始接近峰值保持接近它的一些平移在所有以后的时间，也就是说，这些峰值的形状是稳定的小扰动下。
2013-05-01 math.AP nlin.PS
Liouville integrability of conservative peakons for a modified CH equation
修正的Camassa-Holm方程（也称为FORQ）是Camassa-Holm方程中众多具有非光滑孤子（$peakons$）特解的$cousins$之一。解的峰子扇区不是唯一定义的：在一个峰子扇区（耗散）中，Sobolev $H^1$范数不被保留，在另一个扇区（保守）中，在[2]中引入，峰子的时间演化使$H^1$范数不变。在这封信中，它表明，保守的峰子方程的修改Camassa-Holm可以给出一个适当的泊松结构，相对于该方程是Hamilton的，事实上，刘维可积。后者是直接证明利用逆谱技术，特别是渐近分析的解决方案，开发其他地方（在[3]）。
2017-07-17 math-ph math.AP math.CA
Stability of stationary solutions for nonintegrable peakon equations
具有线性色散的Camassa-Holm方程最初是浅水波理论中的一个渐近方程。在它的许多有趣的数学性质，其中包括完整的可积性，也许最引人注目的是，在线性色散是缺席的情况下，它承认弱多孤子解决方案-“peakons”-与峰形对应的一个不连续的一阶导数。存在一类单参数广义Camassa-Holm方程族，它们大多数是不可积的，但都有峰子解。数值研究报告的霍尔姆和Staley表明，这些和其他解决方案的稳定性的变化，因为参数的变化，通过家庭。在这篇文章中，我们描述了这些分歧现象之一的分析结果，表明在一个合适的参数范围内，有固定的解决方案-“leftons”-这是轨道稳定的。
2013-06-08 math.AP nlin.PS
Lax Integrability of the Modified Camassa-Holm Equation and the Concept of Peakons
在这封信中，我们提出的Lax可积非线性偏微分方程的弱解的自然概念是隐含的相应的分配拉克斯对的相容性条件。我们通过比较两个修正的Camassa-Holm方程的弱解的概念来说明我们的建议，指出在峰值扇区（一个家庭的非光滑孤子）中，只有其中之一，即从分布相容条件得到的，支持Sobolev $H^1$范数的时间不变性。
2017-05-15 math-ph math.AP math.CA
Waltzing peakons and compacton pairs in a cross-coupled Camassa-Holm equation
本文考虑两个交叉耦合Camassa-Holm（CCCH）方程组的奇异解。这个CCCH系统允许有峰子解，但它不在二分量CH可积族中。该系统是一对耦合的Hamilton偏微分方程，其两种类型的解在实数线上，每一个解分别具有exp（- |x|）峰子解，且在峰处一阶导数不连续.然而，没有自相互作用，所以这两种类型的峰子解中的每一种都只在另一种类型的诱导速度下运动。我们分析的“华尔兹”的解决方案的行为的情况下，一个单一的绑定peakon对（peakon夫妇），以及超越碰撞的peakon夫妇和反对称的情况下的正面碰撞的peakon夫妇和peakon反夫妇。然后，我们提出了这些碰撞的数值解，这是非弹性的，因为华尔兹peakon夫妇每个拥有一个内部的自由度对应于他们的“节奏”-也就是说，在该期间的两个peakon的相反类型的夫妇循环在相空间中围绕对方。最后，我们讨论了交叉耦合欧拉-庞加莱（CCEP）方程的双光子耦合解，并说明了与三角形和抛物型双光子耦合的峰子耦合相同类型的碰撞。我们完成了一些悬而未决的问题和挑战，为理解CCCH和CCEP方程的耦合动力学。
2011-03-17 math-ph math.AP math.MP
Spectral instability of peakons in the b-family of the Camassa--Holm equations
本文在$L^2(\mathbb{R})$中证明了Camassa-Holm方程的$b$族中峰子的谱不稳定性，其中包括$b = 2$和$b = 3$的可积情形.我们从定义在$H^1(\mathbb{R}) \cap W^{1,\infty}(\mathbb{R})$中的函数上的线性化算子开始，并将其扩展到定义在$L^2(\mathbb{R})$中的较弱函数上的线性化算子。对于$b \neq \frac{5}{2}$，证明了$L^2(\mathbb{R})$中线性化算子的谱覆盖复平面上的一个封闭垂直带.对于$b = \frac{5}{2}$，条带收缩到虚轴，但是由于到峰子的投影及其空间平移，存在额外的一对实本征值。对于$b = 2$的Camassa-Holm方程，谱不稳定性结果与线性不稳定性结果一致.
2021-05-27 math.AP math.CA math.DS
Spectral instability of peakons for the $b$-family of Novikov equations
本文研究三次非线性单参数 $b$-Novikov peakon 方程族，通过延拓线性化算子证明了任意 $b$ 下 peakon 在 $L^2(\mathbb{R})$ 上的谱与线性不稳定性，并证明仅在 $b=3$ 时于 $H^1(\mathbb{R})$ 上稳定。
2024-09-21 math.AP nlin.SI
Spectral and linear stability of peakons in the Novikov equation
本文研究完全可积三次非线性Novikov方程的peakon解，通过扩展线性化算子分析其在不同函数空间中的谱与线性稳定性，证明其在$L^2$和$W^{1,\infty}$中谱不稳定、在$H^1$中线性且谱稳定。
2024-04-07 math.AP nlin.SI
Multi-component generalizations of the {CH} equation: Geometrical Aspects, Peakons and Numerical Examples
将两分量Camassa-Holm方程（CH 2）的拉克斯对形式推广到具有$n$分量和$1\le |k|\le n$速度的可积多分量方程族CH（n，k）.所有的CH（n，k）家族的成员表现出流体动力学性质的相干孤子的粒子特性。我们确定了它们的Lie-Poisson哈密顿结构，并给出了它们的孤子解行为的数值例子。我们集中讨论具有一个或两个速度的CH（2，k）族，包括CH（2，-1）方程在CH 2族的Dym位置.对CH（3，1）系统的简要讨论揭示了当$n\ge3$ .
2010-09-28 math-ph math.AP math.MP
Vector peakon equations and isospectral flows in Clifford algebras
University of Kent（肯特大学）；Loughborough University（拉夫堡大学）；University of Saskatchewan（萨斯喀彻温大学）
基于Clifford代数中的谱问题，研究具有正交对称性的Camassa-Holm型向量扰动可积系统，分析行波解、对称分类、短脉冲极限及测度值解。
2026-10-05 math-ph math.AP math.MP
The local well-posedness, blow-up and global solution of a new integrable system in Besov spaces
该研究在临界与超临界Besov空间中建立一类新可积N-peakon系统柯西问题的局部适定性，推导爆破准则与全局解存在条件，并通过一阶差分法给出相关仿真算例。
2024-06-23 math.AP
On the Cauchy problem for a generalized Camassa-Holm equation with both quadratic and cubic nonlinearity
本文研究了一类具有二次和三次非线性项的广义可积Camassa-Holm方程的Cauchy问题。通过克服复杂的混合非线性结构所带来的困难，我们首先在Besov空间中建立了局部适定性结果，然后给出了强解的精确爆破情形.此外，我们还用解析的方法证明了单峰的存在。
2013-06-05 math.AP
On the Cauchy problem for the integrable Camassa-Holm type equation with cubic nonlinearity
本文研究了一类具有三次非线性项的修正Camassa-Holm方程，该方程是可积的，且存在单峰孤子解和多峰孤子解。这个方程的短波极限称为短脉冲方程。主要研究修正Camassa-Holm方程的Cauchy问题及其解的定性性质。首先证明了该方程在Besov空间范围内是局部适定的。爆破的情况下，最大存在时间的下界，然后确定。详细描述了具有一定初始轮廓的解的爆破机制，并证明了光滑行波解的不存在性。此外，还得到了该方程的强解的持续性。
2012-08-26 math-ph math.AP math.MP
Orbital Stability of Smooth Traveling Solitary Waves to the Fornberg-Whitham Equation
Hubei University of Automotive Technology（湖北汽车工业学院）；College of Charleston（查尔斯顿学院）；China University of Geosciences（中国地质大学）
本文研究Fornberg-Whitham方程的光滑孤立波解的轨道稳定性，采用变分方法证明部分解具有轨道稳定性。
2026-05-19 math.AP nlin.PS nlin.SI
The electrostatic Born-Infeld equations with integrable charge densities
本文研究了静电玻恩-因费尔德能量\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^n}1-\sqrt{1-|D v|^2}\ dx-\int_{\mathbb{R}^n}ρv\ dx, \end{equation*}在无穷远处为零的极小值。我们证明了极小元$u$是严格类空的，并且对于某些$p>n\geq 3$，只要$ρ$在解空间和$ρ\in L^p(\mathbb{R}^n)$的对偶空间中，它就是\begin{equation*}-\operatorname{div}\Big(\frac{D u}{\sqrt{1-|D u|^2}}\Big)=ρ,\end{equation*}的弱解.此外，我们还为某些$α\in (0,1)$提供了$u\in C^{1,α}(\mathbb{R}^n)$。
2021-01-28 math-ph math.AP math.MP
Uniqueness of solutions to the 2D compressible Navier-Stokes equations for bounded densities
Università degli Studi dell’Aquila（阿奎拉大学）；Universität Basel（巴塞尔大学）
该研究证明了二维正压可压缩Navier-Stokes方程在特定正则类及一般C¹压力定律下全局解的唯一性，关键假设为解的散度有界且局部时间可积，相关结果不排除真空且不要求密度的空间正则性。
2026-10-14 math.AP
Multiplicative operators in the spectral problem of integrable systems
本文考虑周期可积偏微分方程的Lax对的谱问题。我们假设这个谱问题是一个多项式的次数$d$的频谱参数$λ$。从这个假设出发，我们找到了求解周期反问题所需的守恒律和超椭圆曲线。一个递推公式的开发，以及$d$额外的条件，提供额外的信息，以整合考虑中的方程。我们还包括两个例子来展示如何开发的技术工作。对于Korteweg-deVries（KdV）方程，乘法方程的次数是$d=1$。因此，我们只有一个条件和一个递推公式。该条件给出了KdV方程在每一阶递归中的守恒密度，恢复了Lax族.对于非线性薛定谔（NLS）方程，乘法算子的次数是$d=2$。因此，我们有一对夫妇的条件，我们用来推导守恒密度常数和拉克斯族这样的方程。另外，我们还明确地写出了与NLS方程相关联的超椭圆曲线。我们的方法可以用于其他完全可积的微分方程，只要我们有一个多项式乘法算子与他们联系。
2018-01-05 math.AP
Nonlocal Lagrange multipliers and transport densities
本文证明了带有分数阶梯度约束的Monge-Kantorovich方程广义解的存在性，通过惩罚化与非线性正则化逼近变分不等式推导出作为拉格朗日乘子的传输密度，并揭示了非局部问题在s趋于1时的局部化极限。
2023-10-21 math.AP
On the dynamics of zero-speed solutions for Camassa-Holm type equations
本文考虑Camassa-Holm（CH）型方程在非零速度峰态区域外的整体解。这些方程包括标准的CH和Degasperis-Procesi（DP）方程，以及不可积的推广，如$b$族、弹性杆和BBM方程。有了这些模型的全局定义的解决方案，我们引入了\emph{zero-speed and breather solutions}的概念，即，在空间的紧致区间上不衰减为零的解，如$t\to +\infty$。我们证明，在适当的衰减假设，这样的解决方案不存在，因为相同的零解决方案是全球吸引的动态，至少在空间间隔的大小$|x|\lesssim t^{1/2-}$为$t\to+\infty$。因此，我们还显示了散射和衰减的CH型方程的长程非线性。我们的证明依赖于引入合适的维里泛函à la Martel-Merle在我们和Ponce之一的作品的精神，和Kowalczyk-Martel适应CH，DP和BBM型动力学，其中一个放置在$L^1_x$，第二个在能量空间$H^1_x$。这两个泛函的结合导致局部空间衰减为零的$|x|\lesssim t^{1/2-}$作为$t\to+\infty$。我们的方法不依赖于方程的可积性，适用于其他不可积的CH型方程。
2018-10-22 math-ph math.AP math.MP
