Equitable partitions of Latin-square graphs
研究了拉丁方图的公平划分问题，并对商矩阵不具有特征值$-3$的图给出了一个完全分类.
2018-02-03 math.CO
Arctic Boundaries of the Ice Model on Three-Bundle Domains
本文考虑任意三丛区域上的六顶点冰模型，它是正方形（或等价地，均匀随机交替符号矩阵）上的区域壁冰模型的推广。我们表明，该模型表现出北极边界现象，其边界是由显式代数曲线的工会。这最初是由Colomo-Sportiello在2016年预测的，作为他们为定位北极边界而引入的一般启发式方法的最初应用之一，称为（几何）切线法。我们的证明使用的概率分析的非交叉有向路径合奏提供一个数学理由，他们的切线法启发式在这种情况下，这可能是独立的利益。
2022-02-15 math-ph math.CO math.MP
Transfer matrices and partition-function zeros for antiferromagnetic Potts models. VI. Square lattice with special boundary conditions
使用转移矩阵方法，研究了零温度下正方形晶格q态Potts反铁磁物质（=正方形晶格色多项式）的配分函数零点，这些配分函数零点是从具有自由边界条件的m x n网格中通过邻接最左列中所有位点的一个新顶点和邻接最右列中所有位点的第二个新顶点获得的。我们提供的数值证据表明，配分函数的零变得密集的限制曲线B_ \infty（sq）外的复q平面上的普通（如自由或圆柱）边界条件的模型。尽管如此，无限体积自由能在这个区域是完全解析的。
2011-09-20 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
There is no perfect Mondrian partition for squares of side lengths less than 1001
该研究通过计算验证了边长不超过1000的正方形不存在完美Mondrian划分，同时证明长宽均不超过400的矩形也无此类划分，推进了几何分割领域的相关结论。
2023-11-04 math.CO
On $k$-measures and Durfee squares of partitions
最近，Andrews，Bhattacharjee和Dastidar引入了整数划分的$k$ -测度的概念，并证明了一个令人惊讶的恒等式：具有$k$-测度$m$的$n$的划分的个数等于具有边为$m$的Durfee正方形的$n$的划分的个数.作者要求这一结果的双射证明，并建议进一步探索$n$的分区数的性质，其中$k$ -测量$m$为$k \geq 3$。在本文中，我们将完成这些任务。也就是说，我们得到了Andrews，Bhattacharjee和Dastidar的结果的一个简短的组合证明，并且利用这个证明，我们很容易地将这个结果推广到$k$ -测度上.
2022-06-06 math.CO
Sequentially congruent partitions and partitions into squares
本文通过构造双射证明序列一致划分与平方数划分计数相等，并推广至k次幂划分。
2020-06-06 math.CO math.NT
Durfee squares, symmetric partitions and bounds on Kronecker coefficients
解决了关于对称群的Kronecker系数$g(λ,μ,ν)$的两个公开问题.首先，我们证明了分区$λ,μ,ν$与固定Durfee平方的大小，克罗内克系数增长最多多项式。其次，我们证明了自共轭分拆$λ$的最大Kronecker系数$g(λ,λ,λ)$超指数增长。我们也给应用程序显式的特殊情况。
2022-12-21 math.CO math.RT
On the Kronecker product of Schur functions of square shapes
本文受Saxl猜想和张量平方猜想启发，研究方形Young图对应的对称群不可约表示的张量平方，给出了计算特定Kronecker系数的公式，并证明了部分划分族的正性。
2023-09-02 math.CO
The minimal sum of squares over partitions with a nonnegative rank
受Defant和Propp（2020）关于函数的不可逆度与其迭代的不可逆度之间的联系的问题的启发，我们解决了最小化具有非负秩的$n$的分区上的平方和的组合最优化问题。用$(m_n)_{n\in\mathbb{N}}$表示极小值序列，证明了$m_n=Θ\left(n^{4/3}\right)$ .因此，我们改进了$2$的因数的下界提供的Defant和Propp为二阶迭代。
2022-05-04 math.CO
Square Property, Equitable Partitions, and Product-like Graphs
图$G$的边集满足无弦正方形上的限制条件的等价关系在笛卡尔图积和图丛理论中起着至关重要的作用。我们在这里表明，这样的关系在一个自然的方式诱导公平分区的顶点集的$G$，这反过来又引起商图，可以有一个丰富的产品结构，即使$G$本身是素数。
2013-09-02 cs.DM math.CO
Division sudokus: Invariants, enumeration and multiple partitions
除法数独是一种拉丁方，它的六个共轭数独都是正方形。我们列举了一个合适的等价除法数独，介绍了强大的不变量的除法数独，也研究了拉丁方，是除法数独关于多个分区在同一时间。我们使用近场和仿射几何来构造素数幂秩的除法数独，这些数独具有丰富的划分。
2021-01-11 math.CO
Schur-positivity in a Square
确定一个对称函数是否是舒尔正的是一个普遍的问题，一般来说，这是一个众所周知的困难问题。本文研究了一类对称函数族的Schur正性。给定一个划分λ，我们用λ^c表示它在一个正方形划分（m^m）中的补。本文对s_{μ'} s_{μ^c} - s_{λ'} s_{λ^c}型对称函数猜想了一个Schur正性准则，其中λ是权的一个划分|μ|-1包含在μ中，并且μ的补数与λ的补数取在相同的正方形分区中。我们证明了在许多情况下的猜想。
2013-10-10 math.CO
Kronecker products, characters, partitions, and the tensor square conjectures
我们研究了著名的Saxl猜想，该猜想指出对称群S_n的某些不可约表示的张量平方包含所有不可约表示作为其组成部分。我们的主要结果是，它们包含表示对应的挂钩和两行杨图。为此，我们发展了一个新的充分条件的积极的Kronecker系数的字符，并使用边缘钩tableaux结合已知的结果单峰的某些分拆函数的组合。我们还对S_n的随机特征标给出了一些联系和推测。
2013-04-04 math.CO math.RT
Partitions for semi-magic squares of size three
在Clebsch-Gordan系数理论中，我们可以把定义域空间看作是大小为3的弱半幻方的集合。在这个集合上考虑了两个分区：一个是基于顶线的三角形-六边形模型，另一个是基于有限群作用下的轨道。除了给出McMahon公式的另一个证明外，我们还给出了一个生成函数，它可以计算Clebsch-Gordan系数的所谓平凡零点及其相关的准多项式。
2019-11-03 math.CO math.RT
New results for the Mondrian art problem
蒙德里安问题包括将边长为$n\in \NN$的正方形分割成具有自然边长的非全等矩形，使得分割正方形的矩形的最大面积和最小面积之间的差$d(n)$最小。在本文中，我们计算了$d(n)$上的一些边界的矩形划分的数量。这些界限为我们提供了$n \in \NN$的某些值的最佳划分。我们提供了一个序列的正方形分区，使$d(n)/n^2$趋于零$n$足够大。对于“完美”分区的情况下，也就是说，与$d(n)=0$，我们表明，对于任何固定的权力$s_1,\ldots, s_m$，边长为$n=p_1^{s_1}\cdots p_m^{s_m}$的正方形，可以有一个完美的蒙德里安分区，只有当$p_1$满足一个给定的下限。此外，如果$n(x)$是边长$x$（与$n\le x$）的平方没有一个完美的分区的数量，我们证明了它的“密度”$\frac{n(x)}{x}$是渐近的$\frac{(\log(\log(x))^2}{2\log x}$，这改善了以前的结果。
2020-07-19 math.CO
T=0 Partition Functions for Potts Antiferromagnets on Square Lattice Strips with (Twisted) Periodic Boundary Conditions
我们精确计算了q态Potts反铁磁体的零温配分函数（等价地，色多项式）对于两族任意长的正方形格子的带图，在横向方向上具有周期边界条件，在纵向方向上具有（i）周期（ii）扭曲周期边界条件，使得带状图嵌入在（i）环面（ii）克莱因瓶上。在无限长的极限下，我们计算了熵的指数W（q），证明了它对（i）和（ii）是相同的，并确定了它的解析结构。
2000-01-27 cond-mat.stat-mech math.CO
Partitions, pairs of trees and Catalan numbers
在“Square partitions and Catalan numbers”（arXiv 0912.4983）中，Bennett等人提出了一种递归算法，可以从一个或多个分区创建一个分区族。他们主要感兴趣的情况下，当我们开始与一个单一的广场分区或与几个分区只有一个部分。这些划分族的基数分别是加泰罗尼亚和选票数。在本文中，我们提出了一个封闭的描述这些家庭。我们还提出了双射之间的分区和集合的树木和森林列举的加泰罗尼亚投票号码。
2010-06-29 math.CO
Square Partitions and Catalan Numbers
对于每个整数$k\ge 1$，我们定义了一个算法，该算法将所有分区的某个子集与其最大值至多为$k$的分区相关联。如果我们从一个正方形的分区$λ$开始，即$λ=λ_1\ge...\geλ_k>0$和$λ_1=k,λ_k=1$，那么应用$\ell$ times算法会产生一个集，其基数是加泰罗尼亚数$c_{\ell-k+1}$（自对偶情况）或加泰罗尼亚数的两倍。该算法定义了一棵树，并研究了该树的传播，该树不属于通常加泰罗尼亚树的同构类。该算法也可以修改，以产生一个双参数的家庭的集合和所产生的基数集的选票号码。最后，我们给出了关于$2\ell+m$变量对称函数环的一个特殊模的秩的猜想。
2009-12-25 math.CO math.RT
Combinatorial results on $t$-cores and sums of squares
我们把$t$ -核和自共轭$t$ -核之间的联系归结为平方和。为此，我们提供了明确的映射之间的$t$核心分区和自共轭$t$核心分区的正整数$n$表示某些数字的平方和。例如，自共轭$4$ -核心分区$λ=(4,1,1,1)$唯一地对应于解$61=6^2+5^2$ .作为推论，我们完全分类之间的关系$t$ -核心和Hurwitz类数。使用这些工具，我们看到某些集合的表示为平方和自然分解成家庭的$t$ -核心。最后，我们构建了一个明确的地图分区解释之前研究的平等$2\operatorname{sc}_7(8n+1) = \operatorname{c}_4(7n+2)$ Bringmann，凯恩，和第一作者。
2022-04-19 math.CO math.NT
Rado's criterion over squares and higher powers
我们建立了五个或更多变量的广义毕达哥拉斯方程的分区正则性。此外，我们展示了如何Rado的分区正则方程的特征仍然有效的正$k$次幂的集合，提供的方程至少有$(1+o(1))k\log k$变量。因此，我们完全描述了哪些对角形式是分区规则的，哪些不是，给定足够多的变量。此外，我们证明了一个过饱和版本的Rado定理的线性方程限制到平方减一或几何光滑的数字。
2018-09-19 math.CO math.NT
Squareness for the Monopole-Dimer model
最近引入的二聚体-二聚体模型是二聚体模型的一个精确可解的广义符号。我们证明了在不动点自由对合下，图不变量上的二聚体-二聚体模型的分拆函数是一个完满平方。我们给出了一个组合解释的平方根的分拆函数，这样的图在一个新的一类图的两种类型的边缘，我们称之为双子叶植物的双聚体模型。后者的分拆函数可以写成行列式，这次是一个复杂的邻接矩阵。该公式推广了T. T.平面双子格子图的虚定向的吴氏赋值。作为应用，我们计算了一类具有正权的非平面双子族的分拆函数。
2020-01-01 cond-mat.stat-mech math.CO
