如何在扩展器上玩独特的游戏

用双采样器进行表译码

List Decoding with Double Samplers

我们加强了Dinur和Kaufman首次引入的“双采样器”的概念[Proc. 58 th FOCS，2017]，这是具有额外组合属性的采样器，我们使用高维扩展器证明了其存在性。ABNNR码结构[IEEE trans. Theory，38（2）：509- 516，1992]通过以具有中等距离的基码$C$开始，然后使用采样器放大距离来实现大距离。我们表明，如果采样器是一个更大的双采样器的一部分，那么建设有一个有效的列表解码算法。即使ABNNR构造不应用于基码$C$而是应用于任何字符串，我们的算法也有效。在这种情况下，所得到的代码是近似列表可解码的，即输出列表包含对原始输入的近似。我们的列表解码算法的工作原理如下：它使用一个本地的投票计划，它构造一个独特的游戏约束图。约束图是一个扩展器，所以我们可以有效地解决唯一的游戏。这些解是列表解码器的输出。这是一种新颖的使用独特的游戏算法作为一个子程序在解码过程中，而不是更常见的情况下，独特的游戏是用来证明硬度的结果。双采样器和高维扩展器在实用性上类似于伪随机对象，但它们在组合性质上大大超过了随机对象。我们相信，这些对象具有重要的潜力，编码理论的建设，并认为这项工作证明了双采样器在这种情况下的权力。

2021-05-06cs.CCcs.DS

一般图的小集扩张检验

Testing Small Set Expansion in General Graphs

我们考虑一般图的小集合扩张的测试问题。一个图$G$是一个$(k,ϕ)$ -扩展器，如果体积的每个子集至多$k$具有至少$ϕ$的电导。小集合扩张由于与唯一对策猜想、局部图划分算法和局部可测码等问题密切相关而受到广泛关注。我们给出了测试者的双侧错误和单侧错误的邻接表模型，允许度和邻居查询的输入图的预言。测试者将$n$ -顶点图$G$、体积边界$k$、扩展边界$ϕ$和距离参数$\varepsilon>0$作为输入。对于双侧误差测试器，概率至少为$2/3$，如果图形是$(k,ϕ)$ -扩展器，则接受图形，如果图形是$\varepsilon$ -远离任何$(k^*,ϕ^*)$ -扩展器，则拒绝图形，其中$k^*=Θ(k\varepsilon)$和$ϕ^*=Θ(\frac{ϕ^4}{\min\{\log(4m/k),\log n\}\cdot(\ln k)})$。测试器的查询复杂度和运行时间为$\widetilde{O}(\sqrt{m}ϕ^{-4}\varepsilon^{-2})$，其中$m$是图的边数。对于单侧误差测试器，它接受每个$(k,ϕ)$ -扩展器，并且概率至少为$2/3$，拒绝每个$\varepsilon$ -远离$(k^*,ϕ^*)$ -扩展器的图，其中对于任何$0<ξ<1$，$k^*=O(k^{1-ξ})$和$ϕ^*=O(ξϕ^2)$。此测试仪的查询复杂度和运行时间为$\w…

2015-01-05cs.DS

在全局超收缩图上求解唯一博弈问题

Solving Unique Games over Globally Hypercontractive Graphs

本文针对全局超收缩图上的仿射唯一博弈问题，提出新的平方和半定规划舍入方案，通过消除伪分布中的全局相关性，在任意小常数完备性下获得不随图参数退化的可靠性保证，表明此类图上 UG 是容易的。

2023-04-14cs.CCcs.DS

显式无损顶点扩展器

Explicit Lossless Vertex Expanders

本文首次显式构造了常数度无损顶点扩展器，并推广到双正则二分图，进而实现具有线性时间解码的新量子LDPC码族。

2025-04-21cs.CCcs.DMcs.DS

用低直径图分解逼近唯一对策

Approximating Unique Games Using Low Diameter Graph Decomposition

当约束图允许良好的低直径图分解时，我们设计了唯一博弈的近似算法。对于$K_r$ -minor free graphs中的${\sf Max2Lin}_k$问题，当存在满足$1-\varepsilon$分数约束的指派时，我们提出了一个算法，该算法产生满足$1-O(r\varepsilon)$分数约束的指派，其近似比与字母表大小无关.一个推论是一个改进的近似算法的${\sf MaxCut}$问题的$K_r$ -小自由图。对于$K_r$ -未成年人自由图中的一般唯一游戏，我们提供了另一种算法，产生一个分配满足$1-O(r \sqrt{\varepsilon})$分数的约束。我们的方法是四舍五入的线性规划松弛找到一个最小子集的边缘相交的所有不一致的循环。我们表明，它是可以直接应用的约束图的低直径图分解技术，而不是在以前的独特的游戏算法的标签扩展图的工作。当约束图是亏格$g$时，同样的方法也适用，并且我们在${\sf Max2Lin}_k$问题中用$\log g$代替$r$，在一般问题中用$\sqrt{\log g}$代替$\sqrt{\log g}$，得到了类似的结果。前一个结果推广了Gupta-Talwar关于${\sf Max2Lin}_k$情形下唯一对策的结果，后一个结果推广了Trevisan关于一般唯一对策的结果.

2017-11-29cs.DS

对唯一游戏的容忍测试

Tolerant Testing for Unique Games

National Institute of Informatics（国立情报学研究所）

该研究提出了一种在邻接表模型中具有次线性查询复杂度的容忍测试器，用于唯一游戏，无需依赖扩张或聚类假设。通过区分最优违反约束分数为ε和至少ρ的实例，改进了唯一游戏的容忍测试方法，并针对二分图情况提供了专用测试器，提升了容忍性和查询复杂度保证。

2026-05-18cs.DS

完全图上唯一对策的投票算法

Voting algorithms for unique games on complete graphs

约束满足问题的近似算法被称为鲁棒的，如果它输出满足$(1 - f(ε))$ -任何$(1-ε)$ -可满足实例上的约束的分数的分配，其中损失函数$f$使得$f(ε) \rightarrow 0$为$ε\rightarrow 0$。此外，鲁棒算法的运行时间不应该以任何方式依赖于$ε$。在本文中，我们提出了这样一个算法的最小唯一的游戏完全图$q$标签。具体地，损失函数是$f(ε) = (ε+ c_ε ε^2)$，其中$c_ε$是取决于$ε$的常数，使得$\lim_{ε\rightarrow 0} c_ε = 16$。我们的算法的运行时间是$O(qn^3)$（不依赖于$ε$），并可以运行在时间$O(qn^2)$使用一个随机的实现稍大常数$c_ε$。我们的算法是组合的，并使用投票来找到一个分配。此外，它可以用来提供一个PTAS完全图上的最小唯一游戏，恢复Karpinski和Schudy的结果与一个简单的算法和证明。我们还证明了NP-硬度的最小唯一的游戏完全图和（使用随机减少），即使在这种情况下，约束形成一个循环置换，这也被称为最小线性方程mod $q$完全图。

2022-11-08cs.DS

超立方体上的独特游戏

Unique Games on the Hypercube

本文研究了约束图为布尔超立方体时唯一对策猜想的有效性。我们构造了Max-2-LIN $(\mathbb{Z}_2)$的Goemans-Williamson半定规划（SDP）在超立方体上的一个几乎最优的完整性间隙实例.我们猜想，添加三角形不等式的SDP提供了一个多项式时间的算法来解决唯一的游戏上的超立方体。

2014-05-03cs.CCcs.DS

Strong Unique Games近似算法和困难性

Approximation Algorithms and Hardness for Strong Unique Games

唯一对策问题是算法和复杂性理论中的中心问题。给定一个唯一对策的实例，强唯一对策问题要求找到顶点的最大子集，使得在它们上诱导的唯一对策实例是完全可满足的。本文对强唯一对策给出了新的算法和硬度结果。给定一个实例的标签集大小$k$，其中一组$(1 - ε)$ -分数的顶点诱导一个实例，这是完全可满足的，我们的第一个算法产生一组$1 - \widetilde{O}({k^2}) ε\sqrt{\log n}$分数的顶点，使他们诱导的唯一游戏是完全可满足的。在相同的设置中，我们的第二个算法产生一组$1 - \widetilde{O}({k^2}) \sqrt{ε\log d}$（这里$d$是图的最大顶点度）分数的顶点，使得在它们上诱导的唯一对策是完全可满足的。我们的结果的技术核心是强唯一对策和图中的小集顶点扩展之间的新联系。补充这一点，假设唯一的游戏猜想，我们证明了它是NP-难计算的一组大小大于$1 - Ω( \sqrt{ε\log k \log d})$，所有的约束条件，这一套诱导满足。给定一个无向图$G(V,E)$，奇循环横截问题要求删除最少部分的顶点，以使剩余顶点上的导出图是二分的。作为我们的主要算法结果的推论，我们得到了一个算法，输出一个集合$S$，这样在$V \setminus S$上导出的图是二分的，和$|S|/n \leq O(\sqrt{ε\log d})$（这里$d$是最大…

2020-05-18cs.CCcs.DS

独特游戏的流媒体硬度

Streaming Hardness of Unique Games

我们研究了流模型中唯一游戏实例的近似值问题。一个简单的计数的数量的约束除以$p$，字母大小的唯一游戏，给出了一个平凡的$p$ -近似，可以计算在$O(\log n)$空间。同时，以高概率，$\tilde{O}(n)$约束的样本足以估计$(1+ε)$精度的最优值。我们证明，任何单通流算法，实现$(p-ε)$ -近似需要$Ω_ε(\sqrt{n})$空间。我们的证明是通过减少从下界的通信问题，这是一个$p$ ary变量的布尔隐藏匹配问题的文献中研究。考虑到Unique Games作为简化到其他优化问题的起点的效用，我们对Unique Games近似的强硬度可能会导致其他CSP类问题的流近似性的\emph{stream}硬度结果下降。

2018-11-12cs.CCcs.DS

唯一对策的统计物理方法

Statistical physics approaches to Unique Games

我们展示了如何从统计物理学的两种技术可以适用于解决臭名昭著的独特的游戏问题的一个变种，可能开辟新的途径独特的游戏猜想。我们称之为Count Unique Games的变体是一个promise问题，其中“yes”情况保证了对Unique Games实例的一定数量的高度可满足的分配。在标准的唯一博弈问题中，“是”的情况只保证至少有一个这样的分配。我们展示了有效的算法计数独特的游戏的基础上近似一个合适的分区函数的独特的游戏实例通过（i）零自由区域和多项式插值，和（ii）集群扩展。我们还表明，一个适度的改进参数，我们给出的结果将驳斥唯一的游戏猜想。

2019-11-04cs.CCcs.DMcs.DS

如何玩独特的游戏对一个半随机的administrator

How to Play Unique Games against a Semi-Random Adversary

在本文中，我们研究了唯一对策问题的平均情况复杂性。我们提出了一个自然的半随机模型，其中一个独特的游戏实例是在几个步骤中生成的。首先，对手选择一个完全可满足的唯一游戏实例，然后她选择所有边的ε分数，最后用新的约束替换（“破坏”）与这些边对应的约束。如果所有步骤都是对抗的，对手可以获得任何（1-n）可满足的实例，那么问题就和最坏情况一样难。在我们的半随机模型中，其中一个步骤是随机的，所有其他步骤都是对抗性的。我们发现，已知的算法独特的游戏（特别是，所有的算法，使用标准的SDP放松）无法解决半随机的独特的游戏。我们提出了一个算法，以高概率找到一个解决方案，满足（1-delta）部分的所有约束在半随机的情况下（我们要求图的平均度是欧米茄（log k）。为此，我们考虑了一个新的非标准的SDP程序的独特的游戏，这是不是一个放松的问题，并显示如何分析它。我们提出了一个新的舍入方案，同时使用SDP和LP的解决方案，我们相信是独立的利益。我们的结果只适用于小于某个绝对常数的情形。我们证明了当λ> 1/2时，在其中一个模型中，问题是困难的，其结果假设2-to-2猜想。最后，我们研究了最多（1-n）可满足的唯一博弈的半随机实例。我们提出了一个算法，以高概率，区分的情况下，当实例是一个半随机的实例和情况下，当实例是（任意）（1-delta）可满足的实例，如果δ> c δ。

2011-04-19cs.CCcs.DS

紧群上的非唯一对策与cryo-EM中的方向估计

Non-unique games over compact groups and orientation estimation in cryo-EM

Princeton University（普林斯顿大学）

设$\mathcal{G}$是一个紧群，令$f_{ij} \in L^2(\mathcal{G})$ .我们将非唯一博弈（NUG）问题定义为寻找$g_1,\dots,g_n \in \mathcal{G}$以最小化$\sum_{i,j=1}^n f_{ij} \left( g_i g_j^{-1}\right)$。通过对$f_{ij}$在$\mathcal{G}$上进行傅立叶变换，将NUG问题松弛为半定规划（SDP），从而有效地求解。NUG框架可以被看作是正交群上的小Grothendieck问题和唯一博弈问题的推广，并且包括许多实际相关的问题，例如在$d$ -维和低温电子显微镜中的方向估计中在单位球上配准带限函数的最大似然估计。

2015-05-14cs.CVcs.DSmath.OC

近似算法的极限：PCPs和唯一博弈（DIMACS系列讲义）

Limits of Approximation Algorithms: PCPs and Unique Games (DIMACS Tutorial Lecture Notes)

这些是2009年7月20-21日在罗格斯大学核心大楼DIMACS中心举行的DIMACS研讨会“近似算法的极限：PCP和独特游戏”的讲义。本教程由DIMACS Special Focus on Hardness of Approximation、DIMACS Special Focus on Mathematic Foundations of the Internet和Center for Computational Intractability联合主办，并得到了美国国家安全局和美国国家科学基金会的支持。该教程的演讲者是Matthew Andrews、Sanjeev Arora、Moses Charikar、Prahladh Harsha、Subhash Khot、Dana Moshkovitz和Lisa Zhang。他们是Ashkan Aazami，Dev Desai，Igor Gorobrsky，Geetha Jagannathan，Alexander S。Kulikov，Darakhshan J. Mir，Alantha Newman，Aleksandar Nikolov，David Pritchard and Gwen Spencer.

2010-02-20cs.CCcs.DS

唯一对策猜想、割问题的完整性缺口及负型矩阵在$\ell_1$中的可嵌入性

The Unique Games Conjecture, Integrality Gap for Cut Problems and Embeddability of Negative Type Metrics into $\ell_1$

本文证明了Goemans和Linial的一个猜想，即每一个负型度量嵌入到$\ell_1$中，且具有常数的畸变.我们发现，对于一个任意小的常数$δ> 0$，对于所有足够大的$n$，有一个$n$点负型度量，需要失真至少$(\log\log n)^{1/6-δ}$嵌入到$\ell_1.$令人惊讶的是，我们的建设是受独特的游戏猜想（UGC）的霍特，建立一个以前未被怀疑的连接之间的概率检验证明系统（PCP）和度量嵌入的理论。我们首先证明，UGC意味着一个超常数硬度的结果（非均匀）Sparcident切割问题。虽然这个硬度的结果依赖于UGC，我们证明，然而，相应的PCP减少可以用来构建一个“完整性差距实例”的Sparcadium切。为此，我们首先构建了一个完整性差距的唯一游戏的自然SDP放松的例子。然后，我们“模拟”的PCP减少和“翻译”的完整性差距的独特的游戏实例的完整性差距的Spartament切割的实例。这使我们能够证明一个$(\log \log n)^{1/6-δ}$完整性间隙的Sparling-Cut，这是已知的是等价的度量嵌入下界。

2013-05-20cs.CCcs.DSmath.MG