Suppose $S$ is an affine, noetherian scheme, $X$ is a separated, noetherian $S$-scheme, $\mathcal{E}$ is a coherent ${\mathcal{O}}_{X}$-bimodule and $\mathcal{I} \subset T(\mathcal{E})$ is a graded ideal. We study the geometry of the functor $Γ_{n}$ of flat families of truncated $\mathcal{B}=T(\mathcal{E})/\mathcal{I}$-point modules of length $n+1$. We then use the results of our study to show that the point modules over $\mathcal{B}$ are parameterized by the closed points of ${\mathbb{P}}_{X^{2}}(\mathcal{E})$. When $X={\mathbb{P}}^{1}$, we construct, for any $\mathcal{B}$-point module, a graded ${\mathcal{O}}_{X}-\mathcal{B}$-bimodule resolution.
The geometry of eight points in projective space: Representation theory, Lie theory, dualities
本文讨论了P^1中8点空间（GIT商）M_8的几何，以及P^3中8点GIT商的Gale-quotient N '_8。空间M_8在P^{13}中有一个自然的嵌入，或者更准确地说，是S_8-表示V_{4,4}的投影化。在P^{13}中存在一个S_8-斜三次C。M_8落在斜三次曲线C上的事实是M_8关于超椭圆曲线公式的一个推论，但更确切的是：M_8是C的奇异轨迹。这些构造产生了M_8的自由分解，并且通常用于确定截断P^1中n个点的GIT商的“单一”方程。空间N '_8在P^{13}中具有自然嵌入，或者更精确地，PV_{2,2,2,2}。存在一个含有N '_8的斜五次曲线Q，N'_8是斜五次曲线Q的奇异轨迹.斜三次C和斜五次Q是射影对偶的。(In特别地，它们是令人惊讶的奇异的，在具有非常低程度的对偶的意义上。对偶映射下的斜三次曲面上的因子是割线簇Sec（M_8），收缩Sec（M_8）- - > N '_8通过二次曲面上的8个点的空间因子化N_8。我们猜想被对偶映射吹倒的斜五次曲线上的因子是N '_8（四割线并的闭包）的四割线簇，而五次曲线Q是三割线簇.由此产生的图片扩展了经典的对偶性在6点的情况下之间的塞格雷三次三倍和Igusa四次三倍。我们注意到，有许多几何上的自然变种是（相关）显着奇异三次超曲面的奇异轨迹。本文的部分内容出现在arXiv/0809.1233中。
Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）；Harvard University Department of Mathematics（哈佛大学数学系）；FB Mathematik und Informatik, Universität Münster（明斯特大学数学与计算机学院）
本文研究张量三角几何中的几何点，通过高阶扎里斯基几何中的自由构造构造反例，讨论构造谱，并利用这些谱构建几何 incarnations of 原子素。
