A concise proof of Oppenheim's double inequality relating to the cosine and sine functions
Feng Qi, Bai-Ni Guo
本文给出了与余弦函数和正弦函数有关的Oppenheim二重不等式的一个简明证明。顺便，我们调查一下这个话题。
In this paper, we provide a concise proof of Oppenheim's double inequality relating to the cosine and sine functions. In passing, we survey this topic.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Identities and inequalities for the cosine and sine functions
得到了余弦函数和正弦函数的恒等式和不等式。
Extensions of the Cosine-Sine functional equation
本文的目的是推广余弦-正弦函数方程。
Canonical sine and cosine Transforms For Integrable Boehmians
本文定义了正则正余弦变换和卷积运算，证明了实空间上可积函数空间中的卷积定理。进一步，得到了构造可积Boehmian空间所需的一些结果，然后将这种正则正弦变换和正则余弦变换推广到可积Boehmian空间，并得到了它们的性质。
Two Neumann Series Expansions for the Sine and Cosine Integrals
本文给出了正弦和余弦积分的第一类贝塞尔函数的级数展开式。这些表示不同于许多已知的Neumann型级数展开的正弦和余弦积分，其中包含非整数阶或二次贝塞尔函数项。此外，利用欧拉和理论，我们还得到了涉及贝塞尔函数的积分和正弦、余弦积分的一些封闭形式的估计。
A remark on perturbations of sine and cosine sums
考虑不同正整数的集合$$ M_1 = M_1(λ_1,...,λ_N) = \max_{0\le x \le 2π} |\sum_{j=1}^N \sin{λ_j x}| $$和与G. Benke，我们证明了具有$M_1 = o(N)$或$M_2 = o(N)$的频率$λ_j$的集合是不稳定的，在这个意义上，人们可以分别扰动$λ_j$并得到$M_1 \ge c N$和$M_2 \ge c N$。
The stability of a Cosine-Sine Functional Equation on abelian groups
本文建立了函数方程$$f(x-y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)+h(x)h(y)),\;\; x,y \in G, $$的稳定性，其中$G$是一个阿贝尔群.
Evaluation of some non-elementary integrals involving sine, cosine, exponential and logarithmic integrals: Part II
非初等积分$\mbox{Si}_{β,α}=\int [\sin{(λx^β)}/(λx^α)] dx,β\ge1,α>β+1$和$\mbox{Ci}_{β,α}=\int [\cos{(λx^β)}/(λx^α)] dx, β\ge1, α>2β+1$，其中$\{β,α\}\in\mathbb{R}$，根据超几何函数$_{2}F_3$来计算。另一方面，指数积分$\mbox{Ei}_{β,α}=\int (e^{λx^β}/x^α) dx, β\ge1, α>β+1$用$_{2}F_2$表示。用于评估这些积分的方法包括扩展的被积函数作为泰勒级数和集成的系列项。
Eigenfunctions of the Cosine and Sine Transforms
给出了余弦算子和正弦算子的特征子空间的描述。这两个算子的谱都由两个特征值（1，1，-1）组成，它们的特征子空间是无限维的.这些子空间有许多可能的基，但最流行的是从Hermite函数构造的基。我们提出了其他的“基地”，这不是离散的向量正交序列，但连续的向量正交链。我们的工作可以被认为是Hardy和Titchmarsh在\textit{Self-reciprocal functions}中结果的延续和进一步发展。（Oxford Ser.）\textbf{1}（1930）。
General observations on series whose terms proceed as the sines and cosines of multiples of angles
翻译自拉丁原文，“Observationes generales circa series，quarum termini secretariat sinus vel cosinus angulorum multiorum progrediuntur”（1777年）。Enestrom指数中的E655。欧拉研究$x=\cos ϕ+i\sinϕ$的二项式展开$(1+x)^n$。他做$n=$正整数和负整数，和$n={1/2}, -{1/2}$，以及$ϕ$的特定值。
Asymptotic areas between powers of sine and cosine curves
该研究受Dombrowski和Dresden工作启发，通过明确确定被积函数零点去掉绝对值，利用渐近分析计算伸缩三角和极限，求出特定积分极限精确值并给出相关递归公式。
On Fourier re-expansions
研究了绝对收敛的余弦（正弦）傅里叶级数在正弦（余弦）傅里叶级数中的再展开式的绝对收敛问题的傅里叶变换的一个推广。这些结果揭示了傅里叶变换与它们的希尔伯特变换之间的某些关系。
A New Family of Nonnegative Sine Polynomials
我们提出了一个新的家庭正弦多项式是非负的所有$x$在$[0,π]$。我们还刻画了所有的非负正弦多项式的次数3和所有的非负余弦多项式的次数2。在最新版本中，（1.4）和（1.6）中的错别字被纠正（>=被<=取代）。
Trigonometric weighted generalized convolution operator associated with Fourier cosine-sine and Kontorovich-Lebedev transformations
本研究引入带三角权重γ=sin y、关联傅里叶余弦-正弦与Kontorovich-Lebedev变换的广义卷积算子，证明其在双参数Lebesgue空间的有界性，给出加权L_p范数估计并得到相关卷积积分微分方程的L_1可解条件。
Estimates for the norms of products of sines and cosines
本文证明了$P_n(θ)=\prod_{k=1}^n (1-e^{ikθ})$和$Q_n(θ)=\prod_{k=1}^n (1+e^{ikθ})$的$L^p$范数的渐近公式。这些产物可分别用$\prod_{k=1}^n \sin\Big(\frac{kθ}{2}\Big)$和$\prod_{k=1}^n \cos\Big(\frac{kθ}{2}\Big)$表达。我们证明了一个估计$P_n$在其最大值附近的一个点。最后给出了$Q_n$的傅里叶系数最大值的渐近公式。
Evaluation of some non-elementary integrals involving sine, cosine, exponential and logarithmic integrals: Part I
用超几何函数$_{1}F_2$和$_{2}F_3$计算了非初等积分$\text{Si}_{β,α}=\int [\sin{(λx^β)}/(λx^α)] dx,β\ge1,α\leβ+1$和$\text{Ci}_{β,α}=\int [\cos{(λx^β)}/(λx^α)] dx, β\ge1, α\le2β+1$，其中$\{β,α\}\in\mathbb{R}$，并导出了它们的渐近表达式.形式为$\int [\sin^n{(λx^β)}/(λx^α)] dx$和$\int [\cos^n{(λx^β)}/(λx^α)] dx$的积分，其中$n$是正整数，用$\text{Si}_{β,α}$和$\text{Ci}_{β,α}$表示，然后计算。$\text{Si}_{β,α}$和$\text{Ci}_{β,α}$也评价的超几何函数$_{2}F_2$。因此，超几何函数$_{1}F_2$和$_{2}F_3$用$_{2}F_2$表示，指数积分$\text{Ei}_{β,α}=\int (e^{λx^β}/x^α) dx$（其中$β\ge1$和$α\leβ+1$）和对数积分$\text{Li}=\int_μ^{x} dt/\ln{t}, μ>1$也用$_{2}F_2$表示，并研究了它们的渐近表达式.发现对于$x\ggμ$，$\text{Li}\sim {x}/{\ln{x}}+\ln{\l…
Generalised definitions of certain functions and their uses
给出了指数函数、三角函数、正弦函数、余弦函数和双曲函数的一般定义。在最低阶，这些功能对应于普通指数，三角正弦等的一些属性的广义函数进行了讨论。这些功能的重要性和它们可能的应用也被考虑。
Taylor's series expansions for real powers of functions containing squares of inverse (hyperbolic) cosine functions, explicit formulas for special partial Bell polynomials, and series representations for powers of circular constant
本文利用两个两个平方和的有限乘积的展开式，借助于函数的复合函数的级数展开式，（双曲）正弦和余弦函数与反正弦和余弦函数，并根据部分Bell多项式的性质，建立了两个含平方倒数的函数的实幂的泰勒级数展开式用第一类Stirling数表示的（双曲）余弦函数，给出了在含有反余弦函数平方的函数的导数列上的特定部分Bell多项式的显式表达式，导出了涉及第一类Stirling数的几个组合恒等式，给出了圆周常数Pi及其实幂的几种级数表示，恢复了反（双曲）正弦函数的正整数幂的第一类Stirling数的级数展开式，并导出了其它有用的、有意义的、有意义的结论.
(Anti)symmetric multivariate trigonometric functions and corresponding Fourier transforms
研究了四类依赖于n个变量的特殊函数。我们称它们为对称和反对称的多元正弦和余弦函数。它们是作为矩阵的行列式或反行列式给出的，矩阵的元素是一个变量的正弦或余弦函数。这些函数是拉普拉斯算子的本征函数，满足n维欧几里得空间的某个域F的边界处的特定条件。离散和连续正交F的功能在每个家庭，允许一个引入对称和反对称的多元傅立叶变换，涉及对称和反对称的多元正弦和余弦函数。
Approximations by special values of multiple cosine and sine functions
该研究证明多重余弦、正弦函数的特殊值集合的有理系数线性组合可强逼近实数，且Dirichlet eta与beta函数的特殊值集合也有类似逼近性质，方法受三角积分相关研究启发。
Nonnegative Trigonometric Polynomials and Sturms Theorem
在早期的文章[3]中，我们提出了一种算法，可以用来严格检查特定的余弦或正弦多项式在给定的区间内是否是非负的。该算法被证明是一个不可缺少的工具，在建立一些最近的结果，非负三角多项式。例如，见[2]、[4]和[5]。它继续在几个进行中的项目中发挥重要作用。然而，该算法不能处理涉及余弦和正弦项的一般三角多项式。文[3]中提出了一些处理这类多项式的特殊方法，但一般来说，没有一种方法是令人满意的。本文对文[3]作了补充，提出了一个适用于所有一般三角多项式的算法。它基于经典的Sturm定理，就像早期的算法一样。[3]中的一些参考文献也得到了更新。
Derivatives of tangent function and tangent numbers
本文利用归纳法、FaadiBruno公式和复变函数论中的一些技巧，求出了正切函数、余切函数的高阶导数和正弦函数、余弦函数的幂的显式，得到了两个第二类Bell多项式对正弦函数、余弦函数的逐次导数的显式，给出了正弦函数的奇异恒等式，发现了正切数、Bernoulli数、Genocchi数、欧拉多项式在零点处的特殊值和黎曼ζ函数在偶数处的特殊值的显式公式和递推关系，并对正切函数的五种不同形式的高阶导数和正切、余切、正割、余割、双曲正切的导数多项式作了评述，和双曲余切函数。
Parametric kinds of generalized Apostol-Bernoulli polynomials and their properties
利用拟单性和三角函数的性质，定义了包含一种新的余弦和正弦参数型母函数的广义Apostol-伯努利多项式.本文定义了具有两个新的母函数余弦和正弦参数的三元Apostol-伯努利多项式。然后，我们研究了这类多项式的乘、导算子、微分方程、求和公式和偏微分方程。此外，我们还介绍了Gould-Hopper-Apostol-Bernoulli型多项式、Hermite-Appell-Apostol-Bernoulli型多项式和截尾指数Apostol-Bernoulli型多项式。最后，研究了这些新多项式的特殊情况，并给出了相应的结果。
Some sharp inequalities involving Seiffert and other means and their concise proofs
本文通过建立涉及正弦函数和余弦函数的函数的单调性，给出了一些已知不等式的简洁证明，并找到了一些新的涉及两个正实数$a$和$b$的Seiffert、反调和、质心、算术、几何、调和和均方根均值的尖锐不等式，其中$a$和$b$具有$a\ne b$ .
Which Urbanik class $L_k$, do the hyperbolic and the generalized logistic characteristic functions belong to?
本文以拉普拉斯（双指数）变量序列中的自分解变量为研究对象。证明了双曲正弦变量和双曲余弦变量属于Urbanik类$L_2$和$L_3$的差，而广义Logistic变量至少属于Urbanik类$L_1$ .因此，那些相应的自分解特征函数的某些比率也是自分解的。
A generalization of the Shafer-Fink inequality
本文给出了一个基于正余弦函数的Weierstrass乘积和余切函数的二分公式的技巧，从而推广了经典的Shafer-Fink不等式$ \frac{3 x}{1+2\sqrt{1+x^2}} < \arctan x < \frac{πx}{1+2\sqrt{1+x^2}}$ .还显示了其他代数近似，包括从区间$[-1,1]$中的反正切函数的切比雪夫展开得出的近似。
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