AI 中文总结
该研究受Dombrowski和Dresden工作启发，通过明确确定被积函数零点去掉绝对值，利用渐近分析计算伸缩三角和极限，求出特定积分极限精确值并给出相关递归公式。
AI 中文摘要
受2025年Dombrowski和Dresden工作的启发，我们求出了极限\(\lim_{k\to\infty}\int_0^{\rho\pi}|\sin^n(kx)-\sin^nx|dx\)和\(\lim_{k\to\infty}\int_0^{\rho\pi}|\cos^n(kx)-\cos^nx|dx\)（\(k,n\in\mathbb{N}\)且\(\rho\ge 0\)）的精确值。此外，还给出了几个将这些积分联系起来的简单递归公式。关键技术是明确确定被积函数的零点，以便去掉绝对值并通过渐近分析将问题简化为计算伸缩三角和的极限。
英文摘要
Motivated by Dombrowski and Dresden's work in 2025, we find the exact values of the limits \[\lim_{k\to\infty}\int_0^{ρπ}|\sin^n(kx)-\sin^nx|dx\quad\text{and}\quad \lim_{k\to\infty}\int_0^{ρπ}|\cos^n(kx)-\cos^nx|dx\] for $k,n\in\mathbb{N}$ and $ρ\ge 0$. In addition, we provide several simple recursive formulas which relate these integrals together. The key technique is to locate the zeros of the integrands explicitly, which allows removal of the absolute value and reduces the problem to evaluating limits of telescoping trigonometric sums via asymptotic analysis.
Comments31 pages
