Spatial birth and death processes as solutions of stochastic equations
空间生灭过程作为一个随机方程组的解得到。过程需要是局部有限的，但可能涉及一个无穷总体在整个（非紧）型空间。条件的存在性和唯一性，并为时间和空间遍历。对于具有常数死亡率的出生和死亡过程，出生率的次临界条件意味着该过程是遍历的，并且指数快速地收敛到平稳分布。
2006-05-23 math.PR
On the cycle maximum of birth-death processes and networks of queues
本文将生灭过程中的循环极大值作为刻画单队列和开放Kelly-Whittle排队网络中循环极大值的基础。对于正的常返生灭过程，我们证明了样本极大值序列是随机紧的。对于瞬态生灭过程，我们证明了样本极大值序列在极大值有限的条件下是随机紧的。我们证明了在Kelly-Whittle网络中记录客户总数的马尔可夫链是一个出生-纯灭过程，其出生率和死亡率由适当定义的封闭网络序列中的归一化常数决定。这些归一化常数的显式或渐近表达式允许渐近评估的出生率和死亡率，这反过来又允许表征的周期最大值在一个单一的忙循环，和收敛的序列的样本最大值的凯利-惠特尔网络的队列。
2022-05-31 math.PR
On variation of eigenvalues of birth and death matrices and random walk matrices
本文的目的是双重的：首先改进生灭矩阵和随机游动矩阵的极值特征值变化的已知结果;其次解决了一个关于这些矩阵的特征值变化的30年前的公开问题。关键词：生灭矩阵，随机游动矩阵，特征值，单调性
2019-06-19 math.PR
Birth-Death processes with two-type catastrophes
研究两类灾难作用下的一般生灭过程，利用无灾难过程的转移概率 Laplace 变换表达带灾难过程，并给出首次有效灾难发生时间的密度、期望与方差结果。
2024-04-07 math.PR
Non-Local Solvable Birth-Death Processes
本文利用正交多项式和非局部导数的特征函数的谱分解，研究了一类与生灭过程有关的非局部差分微分方程的强解，该生灭过程是Pearson扩散的离散逼近.此外，我们给出了这类解在时变生灭过程中的随机表示，并研究了它们的不变量和极限分布。最后，我们描述了上述时变生灭过程的相关结构。
2020-08-17 math.PR
Bilateral Birth and death process in quantum calculus
本文给出了路集$\mathbb{R}_q=\{q^n,\quad n\in\mathbb{Z}\}$上控制双边生灭过程的方程的完全解，其中生灭率为$λ_n=q^{2ν-2n}$和$μ_n=q^{-2n}$，其中$0<q<1$和$ν>-1$.这里采用的数学方法是基于$q$-贝塞尔傅里叶分析。
2021-06-27 math.PR
Applying Brownian motion to the study of birth-death chains
利用布朗运动的基本性质，得到了生灭链的两个结果。首先，计算灭绝的概率。其次，给出了生灭链的转移概率的充分条件，以保证链的期望值收敛于一个极限。布朗运动局部时理论在第二个结果的证明中起了重要作用。
2011-03-22 math.PR
An Optional Stopping-like theorem for large stopping times on birth-death chains
给出了一类生灭链在大停时下具有类鞅行为的定理的初等证明。这是作者在前一篇文章中的一个定理的推广和新的证明。
2011-03-24 math.PR
Second Order Properties of Thinned Counts in Finite Birth--Death Processes
The University of Melbourne（墨尔本大学）；The University of Queensland（昆士兰大学）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
本文研究了有限生灭过程中稀疏计数的二阶性质，推导了渐近方差率公式，并通过排队模型示例展示了其适用范围。
2026-01-11 math.PR
On the Strong Ratio Limit Property for Discrete-Time Birth-Death Processes
本文直接用离散纯灭过程的一步转移概率给出了该过程具有强比极限性质的一个充分条件。该条件包含了所有已知的充分条件。
2018-05-15 math.PR
On some transformations of bilateral birth-and-death processes with applications
一种方法产生简单的双边出生和死亡过程之间的关系概述。这使得人们可以将两个过程的出生率和死亡率联系起来，使得它们的转移概率、首次穿越时间密度和最终穿越概率通过某种乘积形式的表达式相互关联。
2008-03-10 math.PR
Sensitivity analysis of Quasi-Birth-and-Death processes
我们进行灵敏度分析的水平依赖QBD与医疗系统建模中的应用程序的特别关注。
2023-02-04 math.PR
Hitting Time Distributions for Denumerable Birth and Death Processes
证明了以$\ift$为出口或入口边界的可数状态空间上生灭过程的首中时的拉普拉斯变换显式公式。这将著名的Keilson定理从有限状态空间推广到无限状态空间。我们还将这些公式应用于强遍历生灭过程的最快强平稳时，并得到了分离的显式收敛速度。
2010-07-07 math.PR
Markov birth-and-death dynamics of populations
研究了具有有限个粒子的空间生灭过程作为一类随机方程的唯一解。给出了此类解的存在唯一性以及对初始条件的连续依赖性的条件。爆炸的可能性和与启发式生成器的过程进行了讨论。
2015-02-24 math.PR
How do birth and death processes come down from infinity?
我们精细地描述了“从无限下降”的出生和死亡的过程，最终成为灭绝。我们的生物学动机是研究最初很大的调节种群的减少。在出生率和死亡率的一般假设下，我们描述了大整数的首中时的行为。我们让两个政权出现，并推导出一个表达式的速度从无穷大。在死亡率为正则变化的情形下，我们也得到了一个中心极限定理和小时间内灭绝的渐近概率。最后，我们将所得结果应用于不同环境中的生灭过程，其中环境影响竞争。
2013-10-28 math.PR
Symmetry in the Green's function for birth-death chains
探讨了生灭链概率格林函数中的一个对称关系。两个证明，其中每一个都利用已知的对称性的格林函数在其他情况下。第一种方法以布朗运动的局部时为主要工具，而第二种方法则以电网络理论的互易原理为主要工具。我们还表明，第二个证明很容易扩展到涵盖生死链（又名。状态依赖的随机游动）。
2016-02-18 math.PR
Truncated correlations in the stirring process with births and deaths
我们考虑在$\mathbb Z$的$\La_N:=[-N,N]$区间中的搅拌过程，其中出生和死亡分别发生在$I_+:=(N-K,N]$、$K>0$和$I_-:=[-N,-N+K)$区间中。我们证明了截断矩的界均匀$N$，产生强分解性能。
2011-04-19 math.PR
A local large deviation principle for inhomogeneous birth-death processes
本文考虑连续时间生灭纯灭过程，其中跳率渐近多项式依赖于过程位置。我们得到了一个粗糙的指数渐近概率的漂移包含在一个给定的连续非负函数的邻域内的重标度过程。
2018-06-23 math.PR
Alternating birth-death processes
考虑了$\mathbb{N}_0$上的连续时间马尔可夫过程，该过程可解释为非自治随机环境中的广义交替生灭过程纯灭过程.取决于环境的状态，过程要么增加直到环境改变，过程开始减少直到环境再次改变，并且过程重新开始增加，等等，或者它开始减少，由于环境改变而反转其方向，等等。出生率和死亡率取决于出生-纯灭过程的状态（身高、总体规模），环境的转换率也取决于出生-纯灭过程的状态。此外，出生或死亡事件可能会引发环境的立即变化。我们的主要结果是一个明确的表达式的平稳分布，如果系统是遍历的，提供遍历性条件以及。去除反射边界在零，我们得到一个双边版本的$\mathbb{Z}$上的交替出生-纯灭过程，这对于合适的参数星座是遍历的。我们确定平稳分布。这个双侧版本是经典电报过程的局部非齐次离散空间版本。我们证明了在随机环境中的交替生灭过程提供了一个多功能的模型从不同的应用领域。从文献中的例子进行了讨论。
2020-05-11 math.PR
Dynamics of advantageous mutant spread in spatial death-birth and birth-death Moran models
有利突变在群体中的传播是群体遗传学的一个基本问题。虽然经典的Moran模型是针对混合种群的，但人们早就认识到，在现实世界的应用中，种群通常具有显式的空间结构，这可以显着影响动态。在上皮组织中癌症发生的背景下，最近的几项工作已经分析了整数格上有利突变体传播的动力学，使用粒子系统理论中的偏置投票模型。在这个空间版本的莫兰模型中，个体首先根据其适应度进行繁殖，然后替换相邻的个体。从生物学的角度来看，相反的动态，即个体首先死亡，然后根据其适应性被相邻个体取代，同样相关。在这里，我们调查这个有偏见的选民模型的死亡-出生模拟。我们构建的过程数学，推导出相关的对偶过程，建立一个单一的突变体的生存概率的界限，并证明该过程具有渐近形状。我们还简要地讨论了替代出生-死亡和死亡-出生动态，这取决于突变体适应度优势如何影响动态。我们发现，出生死亡和死亡出生配方的有偏见的选民模型是等价的，当健身影响前事件的模型的每次更新，而出生死亡模型是从根本上不同的死亡出生模型时，健身影响后事件。
2022-09-23 math.PR q-bio.PE
Reproduction of initial distributions from the first hitting time distribution for birth-and-death processes
对于生灭过程，我们证明了每个初始分布都是从首中时分布再生的。通过对分布函数应用通过生成器的本征函数定义的微分算子来进行再现。利用广义二阶微分算子的谱理论，研究了非对称随机游动。
2022-03-23 math.PR
Computing cutoff times of birth and death chains
Diaconis和Saloff-Coste的早期工作给出了生灭链发生最大分离截断的谱判据。Ding、Lubetzky和Peres给出了在相同设置下发生最大全变差截止值的相关标准。在这里，我们提供了互补的结果，使我们能够计算的截止时间和窗口中的各种例子。
2015-02-02 math.PR
Spectral computations for birth and death chains
考虑了$n$ -路上生灭链的谱，给出了一个迭代格式，该迭代格式能以指数收敛速度计算任意特征值，且与$n$无关.这使得人们能够确定整个频谱，以$n^2$基本操作。利用同样的思想，我们还提供了一个下界的频谱差距，这是正确的顺序上的某些类的例子。
2013-05-02 math.PR
Lineage-through-time plots of birth-death processes
我们计算的密度和期望数的谱系重建树与$n$现存物种。这是通过对树的年龄进行调节以及假设树的年龄具有统一的先验来完成的。
2007-11-02 math.PR
A note on scaling limits for truncated birth-and-death processes with interaction
本文考虑有限状态空间上由相互作用的生灭过程组成的有限系统所构成的马尔可夫链。研究了马尔可夫链在状态空间变大时的渐近行为。特别地，我们证明了适当标度的马尔可夫链收敛到一个扩散过程，并在特殊情况下导出了极限扩散过程的平稳分布存在的条件。
2016-11-11 math.PR
The Cutoff Phenomenon for Random Birth and Death Chains
对于支持度等于$[n] = \{1, 2,..., n \}$的任意分布$π$，研究了对所有$i, j \in [n]$满足$π(i) K[i,j] = π(j) K[j,i]$的三对角随机阵$K$的集合$\mathcal{A}_π$.这些矩阵对应于具有平稳分布$π$的生灭链。我们研究矩阵$K$均匀地从$\mathcal{A}_π$，以下的工作Diaconis和木材的情况下$π(i) = \frac{1}{n}$。我们分析了一个“块采样器”版本的算法，从$\mathcal{A}_π$随机绘制，并使用这种分析的结果得出结论，典型的矩阵。主要结果是一个软参数比较随机生灭链序列的截止到一个特殊的家庭的生灭链具有相同的平稳分布的截止。
2012-12-21 math.PR
Ray-Knight compactification of birth and death processes
该研究针对生灭过程非唯一情形的构造问题，提出用Ray-Knight紧化方法，兼具解析与概率方法优势，推导了生成元并给出新的概率构造。
2024-08-18 math.PR
On Time-Changed Linear Birth-Death Process with Immigration at Extinction
本文研究了灭绝时带移民的时间改变线性生灭过程，提出TFLBDPwI模型，利用Adomian分解法求其暂态概率，推导前两阶矩，并详细分析特殊情形的分布性质。
2024-11-13 math.PR
Intertwining of birth-and-death processes
人们早就知道，对于起始于零的生灭过程，给定水平的首次通过时间分布为独立指数分布的随机变量之和，其参数是停止过程特征值的负值。最近，Diaconis和Miclo通过在一般的生灭过程和一个其出生率为特征值的负值的过程之间构造一个耦合，给出了这一事实的概率证明，该过程的出生率从高到低排序，其死亡率为零，使得后一个过程总是领先于前一个过程，并且两者同时到达给定的水平。本文推广了他们的方法，构造了第三个过程，它的出生率是特征值的负值，死亡率为零，总是滞后于原过程，并且同时到达.
2010-12-21 math.PR
Intertwinings and Stein's magic factors for birth-death processes
本文研究了自然整数空间N上生灭过程半群与离散梯度的二阶交织。它比Chafa和Joulin最近的工作更进了一步，Chafa和Joulin建立并应用于生死半群的一阶缠绕分析。类似于一阶关系，二阶缠绕涉及生灭和Feynman-Kac半群以及N上的加权梯度，并且可以被视为二阶导数关系。作为我们的主要应用，我们提供了新的定量界的斯坦因子的离散分布。为了说明这种方法的相关性，我们还推导出近似结果的混合泊松和几何定律。
2017-12-14 math.PR
Functional Central Limit Theorems for Local Statistics of Spatial Birth-Death Processes in the Thermodynamic Regime
本文给出了$\mathbb{R}^d$中动态泊松过程局部泛函的过程级正规逼近结果。我们在这里研究的动力学是马尔可夫出生-纯灭过程。我们证明功能极限定理在所谓的热力学制度。我们的结果适用于几个感兴趣的随机几何文献中的泛函，包括子图和组件计数的随机几何图。
2022-10-24 math.PR
Long term behaviour of locally interacting birth-and-death processes
本文研究了由有限连通图的顶点标记的局部相互作用生灭过程组成的有限系统的长期演化。在常顶点度图和星图的情况下，得到的渐近行为的详细描述。该模型的动机是模拟人口之间的相互作用，并与相互作用的粒子系统，吉布斯模型与无界自旋，以及瓮模型与相互作用。
2014-06-24 math.PR
Stability on {0,1,2,...}^S: birth-death chains and particle systems
最近在[5]中通过考虑概率母函数的零点集，发展了测度对{0，1}^n -稳定性的强负相关性质.我们将这一性质推广到更一般的反应扩散过程和独立马尔可夫链的集合。在一个维度的广义稳定性现在是独立的有趣的，我们的出生死亡链保持它的特点。
2011-04-26 math.PR
Minimal quasi-stationary distribution approximation for a birth and death process
在第一部分中，我们证明了吸收生灭过程的$ξ\_1$ -正常返性的一个Lyapunov型准则，并提供了关于最小拟平稳分布的吸引区域的新结果。在第二部分中，我们研究了一个Fleming-Viot型粒子系统的遍历性和收敛性，该粒子系统的粒子作为一个生灭过程独立演化，当它们碰到$0$时，它们相互跳跃。我们的主要结果是粒子系统的经验平稳分布序列收敛于生灭过程的最小准平稳分布。
2015-01-28 math.PR
Random walk in a null recurrent birth-and-death dynamical environment
IME-USP（圣保罗大学数学与计算研究所）
本文研究零常返生灭动力环境中的随机游走，证明其位置标度极限为布朗运动的次线性时间变换，确立次扩散性，与遍历版本的扩散性结果形成对比。
2026-10-07 math.PR
Conditions for recurrence and transience for time-inhomogeneous birth-and-death processes
本文推导了时间非齐次生灭过程（视为正偏置漂移随机游走）的常返与暂态条件，建立的一般性结果涵盖了Menshikov和Volkov的已知特例。
2023-05-09 math.PR
On Spatial Point Processes with Uniform Births and Deaths by Random Connection
研究了欧几里得空间中一类生灭过程，其中出生率为常数，给定点的死亡率为当前构形中其他点在其位置上对某个响应函数$f$产生的散粒噪声.一个等效的观点是，配置的每对点在由$f$确定的指数时间建立随机连接，这导致两个点中的一个点死亡。我们专注于这种类型的空间运动不变的过程。在$f$上的一些自然条件下，我们通过耦合论证构造了这类点过程的唯一时间平稳区。然后，我们使用生灭结构，建立一个层次的平衡积分关系之间的阶乘矩措施。最后，我们证明了时间平稳点过程在其点之间存在一种排斥，我们称之为$f$ -排斥。
2014-08-29 math.PR
Time-fractional Birth and Death Processes
本文给出了时间分数生灭过程$N_α(t)$的不同表示，它的转移概率由时间分数微分方程控制.更具体地说，我们提出了两个等价的特征的轨迹：第一个作为一个随时间变化的经典生灭过程，而第二个是一个马尔可夫更新过程。此外，我们提供的渐近行为的过程条件不被杀死的结果。最重要的是，准极限分布和准平稳分布的概念并不一致，这是过程的长记忆性质的结果。作为一个应用例子，我们重新审视线性的情况下，我们的主要定理的后果。
2020-04-29 math.PR
Approximation of birth-death processes
本文研究生灭过程在 $|ν|=\infty$ 等情形下的轨迹描述难题，提出用两类更简单的生灭过程逼近原过程，并证明相应概率测度在 càdlàg 函数空间上的弱收敛。
2024-09-08 math.PR
On convergence of dynamics of hopping particles to a birth-and-death process in continuum
我们证明了连续介质中的某些类生灭过程（Glauber动力学）可以作为相互作用跳跃粒子动力学（Kawasaki动力学）的标度极限导出
2008-03-25 math-ph math.MP math.PR
Shell Polynomials and Dual Birth-Death Processes
本文的目的是澄清某些方面的生死过程之间的关系，解决Stieltjes矩问题的措施，和一套参数定义的多项式序列是正交的，这样的措施。除了给出这些关系的基本特征的概述，揭示了在很大程度上由Karlin和McGregor，我们调查的二重性概念的生灭过程引入Karlin和McGregor和它的解释的上下文中的壳多项式和相应的正交多项式。这种解释导致增加了对二元性的洞察力，同时它建议修改出生-死亡过程的相似性概念。
2016-05-18 math.CA math.PR
Birth-death processes are time-changed Feller's Brownian motions
本文通过特定时间变换建立 Feller 布朗运动与生灭过程的双向等价关系，并给出参数精确对应与构造性路径表示框架。
2025-07-25 math.PR
Lattice birth-and-death processes
将自旋来自非负整数的粒子系统的格生灭马尔可夫动力学构造为某些随机方程的唯一解。证明了该过程的路径唯一性、强存在性、马尔可夫性和联合唯一律，并给出了该过程的一个鞅刻画。利用李雅普诺夫函数给出了不变分布存在的充分条件。我们将所得结果应用于Bolker-Pacala-Dieckmann-Law模型和聚集模型的离散模拟。
2020-07-06 math.PR
Spectral analysis of bilateral birth-death processes: some new explicit examples
我们考虑了几个双边生灭过程的谱分析，并显式地计算了谱矩阵和相应的正交多项式。我们还使用谱表示来研究过程的一些概率性质，如递归性、不变分布（如果存在）或概率流。
2021-05-30 math.CA math.PR
On a bilateral birth-death process with alternating rates
我们考虑一个双边出生-纯灭过程，其特征是从偶数态的转移率为常数$λ$，从奇数态的转移率可能不同$μ$.我们确定了偶态和奇态的概率母函数，以及任意初态的过程的转移概率、均值和方差。分析了零状态下被反射边界限制在非负整数的生-纯灭过程的一些特征。特别地，利用拉普拉斯变换方法，我们得到了从状态1到零状态的转移概率的级数形式。
2013-10-22 math.PR
Inferring birth versus death dynamics for ecological interactions in stochastic heterogeneous populations
本文针对随机异质群体提出一种基于种群规模时间序列的推断方法，用于区分出生与死亡动态中的生态相互作用类型，并利用随机波动估计确定性模型中不可识别的额外参数。
2025-06-03 math.PR q-bio.PE
Multiplicity free actions, birth and death processes on partitions, and Biane's quantum Ornstein-Uhlenbeck semigroups
本文引入了一族多变量连续时间纯生链和纯死链，其生灭率定义为多重自由作用的广义二项式系数.某些引入的过程的状态空间是一些划分的集合（等价地，Young图）。链原来是通过限制Biane的量子Ornstein-Uhlenbeck半群的交换C*-代数相关的Gelfand对建立在海森堡群的经典马尔可夫过程。
2019-05-29 math.PR math.RT
Absorbing-reflecting factorizations for birth-death chains on the integers and their Darboux transformations
本文考虑了一种新的方法，通过一个吸收和一个反射生灭链将离散生灭链的转移概率矩阵分解为状态0，反之亦然。首先考虑整数上生灭链的反射吸收分解。我们给出了两个自由参数的条件，使得每个因子是一个随机阵。通过反转因子的顺序（也称为达布变换），我们得到整数上的“几乎”生灭链的新家族，唯一的区别是我们有新的概率从状态$1$到状态$-1$，反之亦然。另一方面，只有当两个因子都在状态$0$分裂成两个独立的生灭链时，整数上生灭链的吸收-反射因式分解才是可能的。因此，考虑在状态$1$和$-1$之间具有额外转移的“几乎”生灭链的吸收-反射因式分解以及某些条件更有意义。这个因式分解现在是唯一的，通过反转因子的顺序，我们得到了整数的生灭链。在这两种情况下，我们确定的谱矩阵与达布变换，第一个是Geronimus变换和第二个Christoffel变换的原始谱矩阵。我们应用我们的结果的例子链恒定的转移概率。
2020-11-26 math.CA math.PR
Ergodic Properties of Quantum Birth and Death Chains
我们研究了一类量子马尔可夫过程，一方面，它的灵感来自于量子光学中的微脉塞实验，另一方面，它的灵感来自于经典的生灭过程。我们证明了一些一般的几何性质和不可约的非退化参数。此外，我们分析了相应的转移算子的遍历性。对于齐次出生率和死亡率，我们展示了如何通过显式计算完全确定这些。对于经典生灭链，我们得到了无限空间上一类丰富而简单的量子马尔可夫链，它只允许局部跃迁，但具有多种遍历性质.
2013-06-17 math.OA math.PR
Did the ever dead outnumber the living and when? A birth-and-death approach
本文试图从分析的角度对《世界人口解释：死亡人数超过活着的人，还是反之亦然？》一书中提出的问题进行形式化的分析。赫芬顿邮报，\cite{HJ}。我们开始开发简单的确定性马尔萨斯增长模型的问题（出生率和死亡率是常数或时间依赖），然后运行到线性出生和死亡马尔可夫链模型和年龄结构模型。
2014-08-06 cond-mat.stat-mech math.PR q-bio.PE
Fecundity regulation in a spatial birth-and-death process
研究了局部有限构形空间上的马氏生灭过程，它描述了一个具有密度依赖的生殖力调节机制的生态模型。我们建立了这个过程的存在性和唯一性，并分析了它的性质。特别是，我们显示了全球的人口密度的时空有界性，并使用构造的福斯特-李雅普诺夫型函数，我们研究返回时间到某些水平集的回火配置。我们还找到了退化不变分布唯一的充分条件。
2019-03-14 math.PR
A Hard-core Stochastic Process with Simultaneous Births and Deaths
考虑$\mathbb{R}^d$上生灭的随机空间点过程，其核心性质是任意两点的半径一半的球在任意时刻都不重叠.我们给出了明确的建设过程。在更多的条件下，我们通过构造一个平稳区证明了该马尔可夫过程的随机稳定性。用于构建静态状态的主要工具是过去技术的耦合形式。进一步，我们研究了概率分布指数收敛到平稳分布。
2016-04-17 math.PR
Quasi-stationary distribution for multi-dimensional birth and death processes conditioned to survival of all coordinates
本文研究了多维出生和死亡过程的准平稳行为，模拟了几个物种之间的相互作用，当其中一个坐标达到0时被吸收。我们研究的吸收率不是一致有界的模型，与大多数以前的作品。为了处理这种自然的情况下，我们开发了原始的李雅普诺夫函数参数，可能适用于其他情况下与无限的杀伤率。我们得到了条件分布关于初始分布一致地按全变差指数收敛到一个唯一的平稳分布。我们的研究结果涵盖了一般的出生和死亡模型，具有更强的种内竞争比种间竞争，以及中性竞争的情况下，明确的条件上的尺寸的过程。
2015-08-13 math.PR
A note on the invariant distribution of a quasi-birth-and-death process
利用矩阵值正交多项式方法，给出了拟生灭过程关于转移概率矩阵块元的不变分布的显式表达式.我们将证明不变分布可以用相应的矩阵值正交多项式的平方范数来计算，无论它们是否是对角矩阵。我们将给出一个例子，其中平方范数不是对角矩阵，但我们仍然可以计算其不变分布。
2010-06-04 math.PR
