Using invariant manifolds to construct symbolic dynamics for three-dimensional volume-preserving maps
拓扑技术是表征许多动力系统复杂性的有力工具，包括通常研究的平面保面积映射。然而，许多拓扑技术扩展到更高的维度充满了路障，阻止他们的应用。这篇文章展示了如何扩展同伦叶动力学（HLD）技术，以前开发的二维地图，体积保持地图的三维相空间。这种映射与不可压缩流体流或磁场线的粒子输运在物理上相关。具体来说，这份手稿显示了如何利用二维稳定和不稳定的不变流形，交叉在一个异宿纠缠，构建一个符号表示的拓扑动力学的地图。这种符号表示可用于对系统轨迹进行分类并计算拓扑熵。我们通过一系列越来越复杂的例子来说明突出的想法。这些示例突出了3D中HLD技术的新功能。最终，在最后一个例子中，我们的技术检测到表面的2D拉伸率和曲线的1D拉伸率之间的差异，说明了我们的方法的真正3D性质。
2016-12-20 nlin.CD
Universal visibility patterns of unimodal maps
我们通过研究时间序列的几何结构来探索混沌中的秩序，这些结构可以从可见性映射中推导出来。该可见性映射将时间序列的每个点$(t,x(t))$与其水平可见性盆地相关联，即，可以从每个相应的点水平地看到的时间序列的点的数量。我们将这项研究的类单峰映射，产生等价的分歧图。我们使用经典的逻辑斯蒂映射来说明本文的主要结果：在分叉图的每个级联中存在可见性模式，在混沌开始时收敛。周期时间序列的可见性模式是从可见性的基本块中递归生成的。这一递归规则适用于所有的倍增级联。在特定窗口内，随着生长参数$r$变化并且每个周期加倍，这些块被递归地嵌入，从而形成每个周期的可见性模式。在极限中，在混沌开始时，可见性的无限模式出现，包含级联的周期性时间序列的所有可见性模式。我们已经看到，这些可见性模式具有特定的属性：（i）基本块的大小取决于时间序列的周期，（ii）共享相同周期的某些时间序列可以具有不同的基本块，并且因此具有不同的可见性模式，（iii）由于2周期窗口和3周期窗口是唯一的，因此相应的基本块$ \{2\} $和$ \{2 \, 3\}$，也是独一无二的，因此，它们的可见性模式也是独一无二的。我们探索其他低周期性时间序列的可见性模式，并枚举每个周期性窗口的所有基本块。所有这些可见性模式都反映在混沌开始时的相应累积点中，其中周期性丢失。
2020-02-24 nlin.CD
Symbolic partition in chaotic maps
本文提出仅利用不稳定流形数据，通过检查不同层级折叠点（与同宿切点重合）来定位混沌映射符号划分边界的方法，并在二维和三维映射中验证了其有效性。
2023-05-22 nlin.CD
Labyrinthine pathways towards supercycle attractors in unimodal maps
我们发现以前未知的属性的家庭的周期性超稳定周期的单峰映射，其特征在于每个李雅普诺夫指数，发散到负无穷大。其中主要的新特性如下：i）吸引盆地的阶段的周期发展分形边界的复杂性增加的倍周期结构的进展过渡到混沌。ii）的分形边界，形成的原像的排斥，显示层次结构组织根据指数聚类，表现在动态的敏感性，最终状态和瞬态混沌。iii）存在与超循环族相关联的泛函复合重整化群（RG）不动点映射。iv）该映射由干草叉吸引子和切分叉吸引子的相同类型的$q$指数函数以封闭形式给出。v）存在朝向吸引子的最后阶段超快动力学，其对初始条件的对初始条件的敏感性作为时间的指数的指数减小。
2007-06-29 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Synchronization in a network of delay coupled maps with stochastically switching topologies
本文研究了环网络上时滞耦合混沌光滑单峰映射的同步行为，该网络在每一时间步上具有随机切换链路。研究表明，对于最近邻连接，时空同步是不可能出现的;而对于具有均匀延迟$(τ)$的连接，随机切换能够使网络同步到均匀稳态、周期轨道或同步混沌振荡状态，这取决于延迟参数、随机性参数和映射参数.线性稳定性分析的同步状态进行解析的单位延迟和临界耦合强度的值，在同步发生的发病解析确定。为了数值模拟的目的，选择了Logistic映射$rx(1-x)$（一种光滑的单峰映射）。同步稳态或同步周期2轨道被稳定延迟$τ=1$。另一方面，对于延迟$τ=2$，网络被稳定到局部映射的固定点。数值模拟结果与线性稳定性分析结果吻合较好。另一个有趣的观察是在延迟$τ>2$的网络中存在同步混沌。通过计算同步误差，绘制时间序列数据和庞加莱第一返回图，证实了同步混沌的存在。这一结果对其他光滑单峰映射也同样适用。
2015-12-15 nlin.CD
The Computational Complexity of Symbolic Dynamics at the Onset of Chaos
在动力系统的各种研究中，秩序和混沌的边缘被挑出来作为复杂性的区域。Wolfram根据元胞自动机的定性行为提出，对该区域建模的计算基础是通用图灵机。在本文中，遵循Crutchfield的建议，我们试图表明图灵机模型作为计算模型通常可能过于强大，无法描述有序和混乱的边界。特别是我们研究的区域的第一个积累的倍周期的单峰和双峰映射的时间间隔，从语言理论的角度来看。我们表明，在有关的“扩展”乔姆斯基层次结构，在单峰的情况下，相关的计算模型是嵌套堆栈自动机或相关的索引语言，而双峰的情况下，由线性有界自动机或相关的上下文敏感的语言建模。
1995-08-17 chao-dyn cond-mat nlin.CD
Correcting the proof of Theorem 3.2 and Corollary 5.2 in Almost sure rates of mixing for i.i.d. unimodal maps by V. Baladi, M. Benedicks, V. Maume-Deschamps, Ann. E.N.S. (2002)
2010年，沈伟晓向我们指出，我们2002年在Ann ENS上发表的论文中定理3.2的证明是有缺陷的，他好心地提供了一个论证来修正这个证明。(We不再对静态密度的下界提出要求。）2017年，Wael Bahsoun、Christopher Bose和Marks Ruziboev向我们指出，同一篇论文中推论5.2的证明是有缺陷的。我们解释了如何恢复推论5.2，直到用一个稍微小一点的集合替换第93页的集合$M'_q$（这不影响论文的其余部分）。
2017-07-07 math.DS nlin.CD
Whitney-Holder continuity of the SRB measure for transversal families of smooth unimodal maps
考虑C^4非退化单峰映射的C^2族t->f_t.我们研究了f_t的绝对连续不变概率测度m_t在Collet-Eckmann（CE）参数集上作为t的函数：上界：假设横截CE参数的存在，我们找到CE参数的正测度集D，并且对于D中的每个s，找到D的多项式递归参数的子集D 0，其包含作为Lebesgue密度点的s，并且常数C>1，G >4，使得对于每个1/2-Holder函数A（具有1/2-Holder范数|A|）和D 0中的所有t，|\int A dm_t - \int A dm_s| < C |A|| T-S| ^{1/2} |log| t-s|| ^G（如果f_t（x）=tx（1-x），则集合D包含几乎所有CE参数。下界：假设存在一个横向混合Misiurewicz-Thurston参数s，我们发现一组CE参数D'在s处累积，一个常数C >1，和一个无限可微函数B，使得对于D' C中的所有t| T-S|联系我们|\int B dm_t - \int B dm_s| > |T-S| ^{1/2}/C
2013-03-08 math.DS nlin.CD
Multifractality and nonextensivity at the edge of chaos of unimodal maps
研究了具有一般非线性$z>1$的Logistic映射在混沌阈值下的动力学和多重分形性质。首先，我们确定分析的敏感性初始条件$ξ_{t}$。然后，我们考虑重正化群（RG）操作的分区功能$Z$的多重分形吸引子，消除一半的多重分形点，每次应用。$Z$的不变性根据广义维度$D_β$固定长度尺度变换因子$2^{-η}$。在$η$的值中存在一个间隙$Δη$，它等于$λ_{q}=1/(1-q)=D_{\infty}^{-1}-D_{-\infty}^{-1}$，其中$λ_{q}$是$q$ -广义李雅普诺夫指数，$q$是非广延熵指数.我们提供了一个解释这种关系-以前来自天琴座和Tsallis -动力学和几何性质之间。关键词：混沌边缘，多重分形吸引子，非扩展性
2004-01-08 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Linear and optimal nonlinear control of one-dimensional maps
在一维单峰映射的简单情况下，我们研究了线性和最优非线性控制的效果。我们表明，线性反馈与单峰映射可逆的“Henon样”的地图。这一观察对于将这两类系统的大量知识联系起来应该是有用的。在de Sousa Vieira和Lichtenberg的最佳非线性反馈方案的情况下，我们研究了受控和非受控映射之间的关系，特别是保持倍周期路径的混沌。
1997-04-09 chao-dyn nlin.CD
S-Expansiveness and Zip Shift Maps in Symbolic Dynamics
本文提出局部同胚的S-扩张性概念，证明拉链移位映射具有该性质及跟踪性质，并表明任何S-扩张局部同胚是拉链移位映射的因子。
2025-10-14 math.DS nlin.CD
Unimodal maps perturbed by heteroscedastic noise: an application to a financial systems
研究受异方差噪声扰动的一维单峰映射的数学性质，证明其Markov链的稳定性、极限定理与多重分形分析，并应用于金融系统性风险与杠杆周期。
2023-05-22 math.DS math.PR nlin.CD
Cryptanalysis of a family of self-synchronizing chaotic stream ciphers
单峰映射已被广泛用作新的加密策略的基础。最近，在文献中提出了一种流密码，其密钥流基本上是（单参数）Logistic映射或帐篷映射的符号序列。本文对密钥流进行了深入的分析，揭示了密钥流存在的一些严重的安全问题
2009-03-17 nlin.CD
Linear response for smooth deformations of generic nonuniformly hyperbolic unimodal maps
本文证明缓慢回归的C^4单峰映射族中，绝对连续不变测度对参数可微依赖，并给出Benedicks-Carleson映射不变测度的新表示及扭曲上同调方程的可解性。
2023-11-14 math.DS nlin.CD
Natural boundary for the susceptibility function of generic piecewise expanding unimodal maps
考虑具有唯一acim μ、扰动X和可观测φ的分段扩张单峰区间映射f的磁化率函数Psi（z）.结合以前的结果（推导出的Ruelle转移算子的谱性质）与最近的工作布鲁尔-西蒙（基于技术从谱理论的Jacobi矩阵和经典论文的Agmon），我们表明，密度的后临界轨道（一个通用的条件）意味着Psi（z）有一个强大的自然边界上的单位圆。Breuer-Simon方法为Psi（z）的外函数提供了无数的候选者，与前临界轨道相关。如果摄动X是水平的，一般条件（后临界轨道的Birkhoff典型性）意味着当z趋于1时Psi（z）的非切向极限存在，并且与acim关于映射的导数（线性响应公式）一致。应用Wiener-Wintner定理，研究了当z趋于e^{iω}时，非切向极限的奇异性.一个额外的LIL典型性假设的后临界轨道给出了更强的结果。
2012-10-10 math.CV math.DS nlin.CD
Chaos and Synchronization in Financial Leverages Dynamics: Modeling Systemic Risk with Coupled Unimodal Maps
Stanford University（斯坦福大学）；Scuola Normale Superiore（比萨高等师范学院）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文通过耦合单峰映射模型研究金融杠杆的混沌与同步现象，探讨系统性风险的形成机制。
2026-03-30 math.DS nlin.CD q-fin.MF
Symbolic Representations of Iterated Maps
本文对迭代映射通过子移位的各种符号表示进行了全面而系统的讨论。通过在通常不可数的字母表上用一般子移位表示映射，给出了度量空间上所有连续映射的统一模型。结果表明，对于连续映射，至多二阶表示是足够的。特别是，它表明，一维连续映射的动力学在很大程度上可以转化为一般的符号动力系统的子移位结构的研究。通过引入蒸馏，得到了一些一般连续映射的部分表示。最后，讨论了一类不连续映射和分段连续映射的划分和表示，并给出了Gauss映射在可数字母表上的全移位表示和区间交换变换作为无穷型子移位的表示.
2000-12-05 math-ph math.DS math.MP
The Symbolic Partition of Chaotic Flows Based on Ordinal Patterns
Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）
研究针对连续混沌流符号划分难题，将基于柯普曼分析的方法扩展至此。通过基于序数模式构建庞加莱截面并结合返回映射方法，实现连续混沌流有效符号划分，经测试证明方法鲁棒性，还应用于多个系统，成功将方法从映射拓展到连续流。
2026-07-17 nlin.CD
A Binary Approach to the Lorenz Model
在一个双字母符号方案中给出了一维类Lorenz映射中轨道生成的阶数。这个顺序是从与二进制序列相关联的一组分数的自然顺序导出的。它的关系的单峰映射的普遍序列的解释。
2002-05-15 math.DS nlin.CD nlin.PS
Coupled Intermittent Maps Modelling the Statistics of Genomic Sequences: A Network Approach
耦合间歇映射的动力学被用来模拟基因组序列的相关结构。与其他简单的混沌映射相反，间歇映射的使用特别适合于产生在高等真核生物的基因组序列中观察到的长程相关特征。一个加权的网络方法，符号序列的介绍，它表明，耦合间歇多项式映射产生的程度和链接大小分布与幂律指数类似的真实基因组中观察到的。所提出的符号序列的网络方法是通用的，可以应用于任何符号序列（人工或自然）。
2012-05-10 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Symbolic Dynamics Analysis of the Lorenz Equations
一维，特别是二维映射的符号动力学的最新进展使我们能够构造常微分方程系统的符号动力学。符号动力学的指导下的数值研究能够产生的耗散常微分方程系统中的混沌和周期制度，既不能通过纯粹的分析手段，也不能通过数值工作单独获得的整体结果。从Poincare截面出发，构造一维和二维映射的符号动力学，可以找到给定长度的不稳定周期轨道，也可以在较宽的参数范围内找到给定长度的稳定周期轨道.这些知识反过来又讲述了很多关于混乱极限的本质的信息。应用于洛伦兹方程，这种方法导致了一种命名法，即，绝对周期和符号名称，稳定和不稳定的周期轨道的自治系统。利用符号动力学分析了对称性破缺和对称性置换以及不同区域的共存。
1997-10-26 chao-dyn nlin.CD
Classical 1D maps, quantum graphs and ensembles of unitary matrices
研究了一类经典的一维分段线性映射。对于这些系统，我们引入了一个无限的家庭的马尔可夫分区到相等的细胞。这些系统所产生的符号动力学描述的双随机（双随机）矩阵。我们分析了从相应的符号动力学生成的图的结构。我们证明了对应于正则经典系统的量子化图的谱具有局部泊松统计，而来自经典混沌系统的量子化图显示出圆酉包络的统计特性，即使相应的酉矩阵是稀疏的。
2001-10-24 nlin.CD quant-ph
Intermittency at critical transitions and aging dynamics at edge of chaos
我们还记得，无论是在非线性的阶$ζ>1$的单峰映射中的非线性跃迁和Feigenbaum吸引子，动力学严格服从Tsallis统计。我们占的$q$指数和广义李雅普诺夫系数$λ_{q}$，其特征的普适性类的干草叉和切分叉。我们确定的Mori奇异性的李雅普诺夫谱在混沌的边缘出现的熵指数$q$的一个特殊的值。Tsallis统计的物理区域进一步探讨通过考虑在热系统中的临界附近的动态和玻璃形成。在这两种情况下，一个密切的联系，在单峰映射与消失的李雅普诺夫系数的状态。
2005-01-17 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Globally Coupled Maps: Almost Analytical Treatment of Phase Transitions
研究了一类耦合映射系统的分支问题。使用符号动力学，它被证明是众所周知的空间-时间-混合吸引子耦合移位映射变得不稳定的临界耦合强度，有利于同步状态。对于耦合的非双曲映射，给出了分析和数值证据，任意小的耦合改变动力学行为。涨落对系统大小的反常依赖性归因于这些分叉。
1994-05-15 chao-dyn nlin.CD
Rigorous computer-assisted bounds on the period doubling renormalisation fixed point and eigenfunctions in maps with critical point of degree 4
该研究针对4次临界点单峰映射族的倍周期重整化不动点，结合压缩映射论证与带严格有向舍入的多精度算术，得到了相关本征函数、本征值及普适常数的高精度严格紧致界。
2021-03-23 math-ph math.DS math.MP
