Ricci-flat and Einstein pseudoriemannian nilmanifolds
这部分是一个临时文件，其中作者的工作对幂零李群的伪黎曼爱因斯坦度量进行了审查。给出了良幂零李群上对角爱因斯坦度量存在的一个新准则。给出了$\leq8$维幂零李群上特殊类Ricci平坦度量的分类.提出了一些相关的开放性问题。
2019-05-09 math.DG
A non Ricci-flat Einstein pseudo-Riemannian metric on a 7-dimensional nilmanifold
我们回答肯定的问题所提出的孔蒂和罗西的存在性幂零李代数的7维爱因斯坦伪度量的非零数量曲率。事实上，我们在7维幂零李群上构造了一个签名为$(3, 4)$的左不变伪黎曼度量$g$，使得$g$是爱因斯坦的，而不是里奇平坦的。我们证明了伪度量$g$不能由李群上的任何左不变闭$G_2^*$ -结构导出。此外，还得到了任意7-流形$M$上的闭调和$G_2^*$ -结构的一些结果.特别地，我们证明了$M$上的闭调和$G_2^*$ -结构的伪黎曼度量不一定是Einstein度量，但如果是Einstein度量，则是Ricci平坦度量.
2020-08-06 math.DG
The pluriclosed flow on nilmanifolds and Tamed symplectic forms
我们通过复零流形上的复闭流研究了（强Kähler挠）SKT结构的演化，即在单连通幂零李群的紧致子群上，通过赋予一个不变的复结构的离散子群来研究SKT结构的演化.利用Jorge Lauret在研究齐性空间上里奇流时所引入的技巧，证明了对于SKT李代数，复数闭流等价于一个括号流，并证明了在幂零情形下复数闭流的长时间存在性.最后，我们引入了一个自然流的发展驯服辛形式的复流形，通过考虑辛形式的发展，通过流诱导的Bismut Ricci形式。
2013-07-26 math.DG
Topological Entropy of Left-Invariant Magnetic Flows on 2-Step Nilmanifolds
本文研究了两步诣零流形$M = Γ\backslash G$上的磁场流，其中黎曼度量$g$和磁场$σ$是左不变的.我们的第一个结果是，当$σ$表示一个有理上同调类和它的限制$\mathfrak{g} = T_eG$消失的导出代数，那么相关的磁通有零拓扑熵。特别地，当$σ$表示有理上同调类并且是精确的时，就是这种情况。我们的第二个结果是构造一个磁场的2步nilmanifold，具有积极的拓扑熵的任意高的能量水平。
2015-12-08 math.DG math.DS
The geodesic flow on nilmanifolds
本文研究了具有左不变度量的诣零流形上的测地流。我们写的基本定义，并找到一般公式的泊松对合。作为一个例子，我们开发的海森堡李群配备了它的典型度量。证明了一族给出完全可积性的首次积分可以在等距群的李代数上读出。我们还解释了紧等价物和任何不变度量的完全可积性。
2015-08-21 math.DG math.DS
Positve Entropy Geodesic Flows on Nilmanifolds
设T是4 × 4实上三角形矩阵的幂零群.本文证明了T上某些左不变黎曼度量的欧拉方程有马蹄形。借助于Melnikov型积分的数值计算，我们还证明了T上亚黎曼卡诺度规的Euler方程具有马蹄形.这使蒙哥马利、夏皮罗和斯托林的一个较早的结果更加尖锐，他们证明了方程在代数上是不可积的。
2007-09-28 math.DG math.DS
The geodesic flow on nilmanifolds associated to graphs
本文研究了图的零流形上的测地流。我们感兴趣的是构造首次积分来证明某些紧导数的完全可积性。还示出了可积的测地流和不可积的例子。
2019-05-28 math.DG
Geodesic Conjugacy in two-step nilmanifolds
两个黎曼流形称为有$C^k$ -共轭测地线流，如果在它们的单位切丛之间存在一个$C^k$同构，它使测地流相互缠绕.我们得到了紧致二步黎曼流形上测测地流的若干刚性结果：对于一般的二步黎曼流形，测地流是$C^2$刚性的。对于特殊的二步流形，我们证明了测地流是$C^0$或$C^2$刚性的。特别地，存在连续族的2步流形，其拉普拉斯算子是等谱的，但其测地流不是$C^0$共轭的。
1995-03-15 math.DG
The Ricci-Bourguignon flow on Heisenberg and quaternion Lie groups
本文研究了高维经典Heisenberg幂零李群上的Ricci-Bourguignon流，并构造了该流在Heisenberg和四元数幂零李群上的一个解.最后，我们研究了Heisenberg和四元数幂零李群的紧流形上的谱和长度谱的变形。
2018-10-06 math.DG
Minimal metrics on 6-dimensional complex nilmanifolds
设（N，J）是具有不变复结构的实2n维幂零李群.称N上与J相容的左不变黎曼度量是极小的，如果它在（N，J）上具有相同数量曲率的所有相容度量中最小化Ricci张量不变部分的范数.本文确定了6维幂零李群上所有允许极小相容度量的复结构。
2013-09-22 math.DG
A canonical compatible metric for geometric structures on nilmanifolds
设（N，g）是一个具有不变几何结构的幂零李群。辛、复数、超复数或它们的任何“几乎”版本）。定义N上一个与g相容的左不变黎曼度量为极小度量，如果它在所有具有相同数量曲率的相容度量中极小化Ricci张量不变部分的范数.我们证明了最小度量（如果有的话）在等距和标度下是唯一的，它们为“不变里奇”流开发了孤立子解，并被描述为自然变分问题的临界点。唯一性使我们能够区分两个几何结构与黎曼数据，产生了大量的不变量。我们的方法建议改变李括号，而不是内积;我们的工具是一个约化李群的行动的所有李代数的代数簇，我们表明，在这种设置符合里奇算子的矩映射。这使我们有可能使用强有力的结果几何不变理论。
2004-10-27 math.DG math.RT math.SG
Bach Flow of Simply Connected Nilmanifolds
巴赫流是定义在四个流形上的四阶几何流。对于紧致流形，它是Weyl曲率的$L^2$ -范数的共形修正梯度流。本文研究了李代数不可分解的四维单连通流形上的Bach流。我们表明，巴赫流开始于一个任意的左不变度规存在的所有积极的时间和重新缩放后，收敛于点Cheeger-Gromov意义上的扩展巴赫孤子这是非梯度。结合我们的结果与以前的结果Helliwell给出了一个完整的描述Bach流的单连通nilmanifold。
2022-03-22 math.DG
Nilpotent structures and collapsing Ricci-flat metrics on K3 surfaces
我们展示了家庭的Ricci平坦的Kahler度量K3表面崩溃的一个区间，与田丘和陶布NUT度量发生泡沫。从K3曲面到区间有一个相应的连续满射映射，其正则纤维与3-环面或Heisenberg流形同构。
2018-07-24 math.AG math.DG
Invariants of complex structures on nilmanifolds
设$(N, J)$是单连通$2n$维幂零李群，具有不变的复结构.定义了$N$上一个与$J$相容的左不变黎曼度量是极小的，如果它在所有具有相同数量曲率的相容度量中最小化Ricci张量不变部分的范数.在[L1]中，J. Lauret证明了最小度量（如果有的话）在等距和标度下是唯一的。这种唯一性使我们能够用黎曼数据区分两个复结构，从而产生大量的不变量。我们展示了如何使用黎曼不变量：Ricci算子的特征值、多项式不变量和离散不变量来给出[ABD]中给出的6维幂零李代数上的阿贝尔复结构的分类中出现的结构之间的成对非同构的另一种证明。我们还提出了一些连续的家庭在8维。
2013-03-15 math.DG math.SG
Magnetic Killing tensors and first integrals of the magnetic flow
Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；Institute of Mathematics “Simion Stoilow” of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院西蒙·斯托伊洛数学研究所）；Universidad Nacional de Rosario（罗萨里奥国立大学）
本文提出磁 Killing 对称张量，用于构造磁流的首个积分，并证明某些 nilmanifolds 上磁流的可积性。
2026-02-20 math.DG math.DS
Sectional Curvature Pinching of Two-Step Nilmanifolds
University of Oklahoma（俄克拉荷马大学）
本文研究二步幂零流形的截面曲率拼挤常数，证明其位于[-3,-3/2]，上界具有刚性，下界非刚性，并给出代数刻画。
2026-09-14 math.DG
Minimal metrics on nilmanifolds
幂零李群上的一个左不变度量称为极小的，如果它在所有具有相同数量曲率的左不变度量中最小化Ricci张量的范数。这样的度量是唯一的等距和标度和组承认一个最小的度量正是（标准）爱因斯坦solvmanifold的零根。如果$N$被赋予不变的辛、复或超复结构，则最小相容度量在等距和缩放下也是唯一的。本文的目的是给更多的证据存在的最小度量，提出了几个明确的例子。这也提供了许多连续族的辛，复和超复幂零李群。所有已知的例子爱因斯坦solvmanifold的列表也给出了。
2004-11-11 math.DG math.RT math.SG
The Anomaly flow on nilmanifolds
本文研究了$2$ -步流形上关于Gauduchon线上任意Hermite联络的反常流。在平坦全纯丛的情形下，给出了任意初始不变Hermite度量的Anomaly流的一般解。解依赖于两个常数$K_1$和$K_2$，我们研究了反常流的定性行为，以及在Gromov-Hausdorff拓扑中的收敛性. $K_1$的符号与Fu，Wang和Wu引入的共形不变量有关。在非平坦情形下，我们在一定的初始假设下得到了反常流的一般发展方程。这使我们能够检测非平坦的解决方案，赫尔Strominger-Ivanov系统在一个具体的nilmanifold，这似乎作为固定点的异常流相对于Bismut连接。
2020-04-14 hep-th math-ph math.CV
Soliton almost Kähler structures on 6-dimensional nilmanifolds for the symplectic curvature flow
本文的目的是研究6维零流形上辛曲率流的自相似解。为此，我们把我们的注意力集中在家庭辛二步和三步幂零李代数承认一个“最小相容度量”，我们给这些代数的完整分类连同它们各自的度量。这样的分类是通过使用我们推广的尼古拉耶夫斯基的nice basis criterium（arXiv：1301.4949）给出的，为了方便读者，我们将在这里重复讨论nilmanifold上几何结构的正则相容度量。通过计算Chern-Ricci算子$P$，我们证明了上述度量定义了一个几乎Kähler结构的孤子.许多说明性的例子是精心开发的。
2013-06-26 math.DG math.RT math.SG
Diagram involutions and homogeneous Ricci-flat metrics
我们引入了一种组合方法来构造良幂零李群上的不定Ricci平坦度量。证明了每个$\leq6$维幂零李群、每个$\leq7$维幂零李群和每个两步幂零李群都有这样一个度量.在单李群${\rm SL}(n)$，${\rm SO}(p,q)$，${\rm Sp}(n,\mathbb R)$中构造了与抛物诣零根相联系的Ricci平坦诣零流形的无限族.这些指标中的大多数被示出为不是平坦的。
2020-06-02 math.DG
Concerning the existence of Einstein and Ricci soliton metrics on solvable Lie groups
本文研究了具有特殊度量的可解幂零李群。感兴趣的度量是左不变的爱因斯坦和代数Ricci孤子度量。我们的主要结果表明，这样一个度量的存在性是内在的基础李代数。更确切地说，我们展示了如何可以确定这样的度量的存在，通过分析代数性质的李代数的问题和无穷小变形的任何初始度量。我们的第二个主要结果是关于等距群等杰出的度量。在完全可解的么模李群中（包括幂零群），如果李群允许这样一个度量，我们证明了这个特殊度量的等距群在所有左不变度量的等距群中是最大的.我们完成了一个类似的结果，局部左不变度量紧nilmanifold。
2010-09-16 math.DG
Homogeneous and locally homogeneous solutions to symplectic curvature flow
J. Streets和G.田最近介绍了辛曲率流，几何流几乎凯勒流形推广凯勒-里奇流。本文给出了几个nilmanifold和双曲空间上的扭量纤维化上的非Kähler结构流的显式解的例子。帕诺夫后者导致辛曲率流的非凯勒静态解的例子，可以看作是凯勒-里奇流中的凯勒-爱因斯坦流形的类似物。
2012-02-07 math.DG math.SG
The homogeneous generalized Ricci flow
本文基于括号流框架研究Lie群离散商上的广义Ricci流，证明了任意维solvmanifolds上的整体存在性，定义了exact Courant algebroids上的广义Ricci孤立子并分析了其在nilmanifolds上的极限行为，同时给出了不变广义度量的曲率新公式。
2024-04-24 math.DG
Producing 3d Ricci flows with non-negative Ricci curvature via singular Ricci flows
本文将Kleiner和Lott关于奇异里奇流的概念从三维紧致流形推广到具有可能无界曲率的三维完备流形。作为广义奇异Ricci流的一个应用，我们证明了对于任何具有非负里奇曲率的3d完备黎曼流形，存在一个从它出发的光滑里奇流.
2020-06-15 math.DG
Ricci Lower Bound for Kähler-Ricci Flow
本文讨论了闭流形上具有奇异性的Kähler-里奇流的里奇下界.
2011-10-27 math.DG
Ricci-mean curvature flows in gradient shrinking Ricci solitons
Huisken研究了欧几里得空间中的中曲率流在发生I型奇点时的渐近行为，证明了其重标度流在欧几里得空间中收敛于自收缩流.本文将这一结果推广到沿由梯度收缩Ricci孤子构成的里奇流运动的Ricci-中曲率流。
2015-01-26 math.DG
From the Ricci flow evolution equation to vanishing theorems for Ricci solitons
本文研究了闭流形和完备非紧流形上Hamilton里奇流下的标量曲率和里奇曲率的发展方程.特别地，我们研究了当里奇流是平凡的，里奇孤子是里奇平坦的或爱因斯坦的条件。
2020-09-16 math.DG
Ricci Flow on 3-dimensional Lie groups and 4-dimensional Ricci-flat manifolds
研究了三维李群上的里奇流与四维里奇平坦流形的关系。特别地，我们构造了关于三维李群的Ricci平坦上齐性1度量。
2010-03-24 math.DG
Injectivity radius bound of Ricci flow with positive Ricci curvature and applications
本文研究了三维里奇流的内射半径界。作为应用，我们证明了具有正里奇曲率的里奇流的长时间存在性.我们还部分解决了Chow-Lu-Ni（2006）书中第302页的一个问题。
2012-11-28 math.DG
Ancient Ricci flows with nonnegative Ricci curvature
本文研究了非负曲率非塌陷古老里奇流的渐近几何，通过其无穷远处的非塌陷F-极限度量孤子得出两个分歧定理。
2026-03-30 math.DG
Parabolic frequency monotonicity on Ricci flow and Ricci-harmonic flow with bounded curvatures
本文研究Ricci流与Ricci-调和流下抛物频率的单调性，分别针对有界Bakry-Émery Ricci曲率和有界Ricci曲率两种情况，推广了相关结果。
2022-05-16 math.DG
On the conditions to extend Ricci flow(III)
本文对曲率估计进行了简化和改进：关于推广里奇流的条件（II）.此外，我们还对具有有界数量曲率的里奇流给出了一些体积估计。这些估计可用于研究里奇流的奇异性和Kähler里奇流的收敛性.
2011-09-19 math.DG
Stability of solutions of certain extended Ricci flow systems
考虑了四个推广的里奇流系统--即与其它几何流耦合的里奇流--并证明了这些流的某些定常解的动力稳定性。这些系统包括与调和映射流耦合的里奇流（在翘曲积上的里奇流的背景下抽象地研究）、与调和映射流和Yang-Mills流耦合的里奇流以及与度量相容连接的挠率的热流耦合的里奇流。用于证明稳定性的方法遵循Guenther、Isenberg和Knopf概述的程序，该程序使用拟线性抛物系统的最大正则性理论和Simonett的结果。
2015-06-19 math.DG
Some Results on $*-$Ricci Flow
本文引入了$*-$里奇流的概念，并证明了Kakimakamis和Panagiotid在2014年提出的$*-$里奇孤子是$*-$里奇流的自相似孤子。我们还发现了几何曲率张量在$*-$里奇流下的变形。在本文的最后两节中，我们分别找到了$*-$里奇流的$\Im$ -泛函和$ω-$泛函.
2020-04-02 math.DG
Positivity of Ricci curvature under the Kähler--Ricci flow
对所有复维数n>=2，我们构造了具有有界曲率和非负里奇曲率的完备Kaehler流形，其Kaehler-Ricci演化立即获得混合号的里奇曲率.
2005-01-10 math.DG
Ricci Flow on Torus Bundles
本文计算了与联络相容的主$G$ -丛上不变度量的里奇流公式。我们的主要重点是环面丛，我们用它来研究的概念Bakry-Émery里奇流以及里奇流的圆丛Kähler-Einstein流形。后者的应用给我们的解决方案，里奇流海森堡集团和隐式解决方案，里奇流伯杰3球和其他几个三维流形。
2021-08-30 math.DG
Evolution of Ricci scalar under Finsler Ricci flow
最近，我们研究了一类Finsler度量沿Finsler里奇流的演化，并证明了它在短时间内的收敛性.本文给出了Finslerian里奇流的约化$hh$ -曲率和Ricci标量的发展方程，证明了里奇流在有限时刻保持约化$hh$ -曲率的正性.其次，证明了Ricci标量的演化是一个抛物型方程，并且如果初始Finsler度量具有正的旗曲率，则只要解存在，旗曲率和Ricci标量都保持为正.最后，得到了沿里奇流的里奇标量的下界。
2015-08-12 math.DG
Almost Hermitian Ricci flow
我们引入了一个新的曲率流，它与度量上的里奇流相匹配，并保持了几乎厄米特条件。这使我们能够用里奇流来研究几乎厄米流形。
2020-03-26 math.DG
Existence, Lifespan and Transfer Rate of Ricci Flows on Manifolds with Small Ricci Curvature
我们发现，在4维及以上，里奇流的寿命取决于相对较小的里奇曲率相比，黎曼曲率的初始流形。我们可以将这个寿命估计推广到局部里奇流，利用它证明了曲率至多为二次增长的非紧黎曼流形上里奇流解的短时存在性，其中在黎曼曲率大的区域，其里奇曲率及其前两阶导数足够小.这些里奇流解可能具有无界曲率。此外，我们的方法意味着，在一些适当的假设下，空间传输率（高曲率区域影响低曲率区域的速率）的里奇流类似于热方程。
2016-04-27 math.DG
Ricci flow on modified Riemann extensions
研究了修正Riemann扩张在里奇流下的性质。得到了里奇流下的修正Riemann延拓仍然是修正Riemann延拓的充要条件。我们还讨论了曲率张量在里奇流下的性质。
2015-05-03 math.DG
A Modified Kähler-Ricci Flow
本文介绍并研究了一种修正的Kähler-里奇流。重点是展示Kähler-里奇流的灵活性，并总结一些有用的技巧。
2008-01-22 math.DG
Singular Ricci flows I
我们引入奇异里奇流，这是里奇流时空受到一定的渐近条件。我们考虑了从一个固定的紧致黎曼三维流形出发的带有手术的里奇流，当手术参数变化时的行为。我们证明了当手术参数趋于零时，带手术的流动子收敛于奇异里奇流。我们建立了奇异里奇流的一些几何和分析性质。
2018-04-09 math.DG
A Note on Conformal Ricci Flow
本文研究了Arthur Fischer提出的共形里奇流。我们利用DeTurck的技巧将共形里奇流改写为一个强抛物-椭圆型偏微分方程。然后证明了紧流形和渐近平坦流形上共形里奇流的短时存在性。我们证明了Yamabe常数沿着紧致流形上的共形里奇流单调增加。我们还证明了共形里奇流是渐近平坦流形上ADM质量的梯度流。
2011-09-25 math.DG
The conical Kähler-Ricci flow on Fano manifolds
本文研究了Fano流形$M$上锥形Kähler-里奇流的长期行为.首先，在扭曲Kähler-Ricci流的局部一致正则性的基础上，通过限制一系列扭曲流，我们得到了锥形Kähler-里奇流的长时间解.其次，研究了扭曲Kähler-里奇流的一致Perelman估计.证明了锥Kähler-里奇流收敛于锥Kähler-Einstein度规的条件。
2015-02-02 math.DG
Smooth approximation of the modified conical Kähler-Ricci flow
我们引入了由全纯向量场修正的锥形Kähler-里奇流。我们构造了修正的锥形Kähler-里奇流的长时间解作为光滑Kähler-里奇流序列的极限.
2017-04-11 math.DG
Kähler-Ricci flow on horospherical manifold
本文通过对Kahler-里奇流的研究，证明了任意光滑Fano次球面流形上Kahler Ricci孤子的存在性.证明了重整化Kahler里奇流在Cheeger Gromov意义下收敛，且此极限是Kahler-Ricci孤子.
2019-07-15 math.DG
Eigenvalues and entropies under the harmonic-Ricci flow
本文讨论调和-里奇流，即与调和映射流耦合的里奇流下的特征值和熵。我们给出了另一种证明的结果，紧凑的稳定和扩大谐波里奇呼吸。在第二部分中，我们得到了调和-里奇流下Laplacian特征值的单调性公式。最后，我们得到了调和里奇流的收缩熵和扩张熵的一阶变分。
2013-01-17 math.DG
Short-time existence of the Ricci flow on complete, non-collapsed $3$-manifolds with Ricci curvature bounded from below
证明了对任意完备三流形，若其里奇曲率和半径为1的球的体积都有下界，则里奇流的解在短时间内存在.事实上，我们的证明也产生了一个（非规范）的方式来流动和正则化的一些内部区域的非完整的初始数据满足上述范围。
2016-03-29 math.DG
Non-Kahler Ricci flow singularities modeled on Kahler-Ricci solitons
我们调查黎曼（非Kahler）里奇流的解决方案，开发有限时间的I型奇点和目前的证据有利于一个猜想，抛物重新缩放的奇点收敛到奇点模型，收缩Kahler-Ricci孤子。具体来说，这些解的奇异性模型预计将是[FIK 03]中发现的“排污孤立子”。我们的部分结果支持了在里奇流作用下的吹倒孤子是稳定的猜想，以及在里奇流作用下Kahler度量的子空间的约束稳定性.
2019-03-05 math.DG
On Ricci flows with closed and smooth tangent flows
本文考虑了在Bamler [Bam 20 c]意义下允许闭光滑切流的里奇流。所讨论的切流既可以是古里奇流在无穷远处的切流，也可以是里奇流在奇点处发展有限时间奇点的切流。（2）如果具有有限时间奇点的里奇流有一个闭奇点模型，则奇点是I型的，奇点模型是奇点处的切流;这回答了[CCGGIIKLLN 10]中提出的一个问题，（3）一个描述古里奇流的二分法定理，它允许一个封闭的光滑的向后序列极限。
2021-11-12 math.DG
On the stability of harmonic maps under the homogeneous Ricci flow
本文研究了调和映射在齐次里奇流下的稳定性和不稳定性。我们提供的例子中的稳定性（非稳定性）下保持里奇流和一个例子中的里奇流不保持稳定的调和映射。
2017-01-20 math.DG
Ricci Flow with Ricci Curvature and Volume Bounded Below
我们证明了一个简单连通的闭四维里奇流，其里奇曲率在下有界且其体积不接近于零，在任意有限时间奇点处都必须收敛到一个$C^{0}$ orbifold，从而通过orbifold里奇流有一个通过奇点的扩展.此外，基于任何轨道点的流的I型爆破在Gromov-Hausdorff意义下收敛到平坦锥，而不传递到子序列。此外，我们证明了$L^{p}$界的曲率张量的时间切片的任何$p<2$。在更高的维度，我们表明，每一个奇点的流动是一个II型点，任何切线流在奇点是一个静态流对应的Ricci平锥。
2022-02-28 math.DG
Ricci Flow of Compact Locally Homogeneous Geometries on 5-Manifolds
本计画旨在分析五维流形中里奇流的行为。里奇流由理查德·汉密尔顿于1982年提出，是证明几何化和庞加莱猜想的重要工具。一般情况下，里奇流是一个非线性偏微分方程，其解是相当困难的计算;然而，在齐次流形，里奇流减少到常微分方程。里奇流在二维、三维和四维齐次流形中的行为已经被计算出来，并得到了很好的理解。本文的工作将描述如何更好地理解里奇流在某一类五维齐次流形中的行为。
2017-08-02 math.DG
On the weighted forward reduced Entropy of Ricci flow
本文首先介绍了里奇流的加权前向约化体积。与里奇流的扩张子有关的加权向前约化体积在非紧流形上得到了定义，并且在里奇流下单调非增.此外，我们证明了与Perelman约化体积相同，加权约化体积熵具有$(4π)^{\frac{n}{2}}$的充要条件是里奇流是平坦欧几里得空间上的平凡流.
2011-03-18 math.DG
