Catales: From topologies without points to categories without objects
本文提出 catales 概念，将范畴还原为态射的部分半群，类比局部作为无点拓扑，实现从无对象范畴中重构对象，提供范畴论新视角。
2023-11-17 math.CT
Stone Duality for Monads
Imperial College London（帝国理工学院）；Macquarie University（麦考瑞大学）
本文研究了单调子的石对偶性，通过构造一个反变的幂等伴随，将有等级的单调子范畴与内部范畴和内部反函子范畴联系起来，揭示了单调子的行为范畴与局部范畴之间的对应关系。
2026-11-03 cs.LO cs.PL math.CT
A general limit lifting theorem for 2-dimensional monad theory
本文给出了$T$ -代数关于$2$ -范畴的$2$ -胞元的任意$Ω$族的弱态射的定义.通过考虑$Ω$的特殊选择，我们恢复了$T$ -代数的松弛态射、伪态射和严格态射的概念。给出了弱极限的一般概念，并定义了弱极限与另一类$2$ -胞腔相容的意义.这些概念使我们能够证明一个极限提升定理，统一和推广了三个不同的先前已知的结果$2$维单子理论。通过考虑上述$Ω$的三种选择，我们的定理作为推论具有oplax的提升（分别为）。$σ$分别概括了lax和pseudo。严格）限制到$2$ -宽松的类别（分别为pseudo，resp.严格）态射。
2017-04-04 math.CT
Probability, valuations, hyperspace: Three monads on Top and the support as a morphism
我们考虑三个单子顶部，拓扑空间范畴，形式化拓扑方面的概率和可能性的范畴。第一个是霍尔超空间单子H，它赋予每个空间它的闭子集空间配备了较低的Vietoris拓扑。第二个是连续赋值的单子V，也称为扩展概率幂域。我们用双重二元论统一地构造了这两个单子。这揭示了它们之间的密切类比，并允许我们证明取连续赋值的支持的操作是从V到H的单子的态射。特别地，这意味着每个H-代数（拓扑完备半格）也是一个V-代数。第三，我们证明了V可以被限制到Top上的τ-光滑概率测度的子单子。通过构造这两个单子的态射，我们得到了取τ-光滑概率测度的支撑也是单子的态射。
2021-09-16 cs.LO math.CT math.FA
Semantic Factorization and Descent
本文在具有合适opcomma对象与推出的2-范畴中，证明态射的高阶余核松弛下降分解与语义分解同构且存在性等价，导出单子性的下降刻画，指出有左伴随时单子性是二维正合条件。
2022-09-02 math.CT
The codual quotient vector bundle
给定一个商向量丛$\mathcal A$在$X$上的核映射为$κ: X\to\mathrm{Max}\,A$，研究了$x\in X$在每一点上具有纤维的余对偶丛同构于$κ(x)$的对偶.将商向量丛和线性化locale之间的连接应用于余偶丛，导致所有商向量丛的范畴与其对象是locale的范畴$L$之间的新连接，该范畴配备有逆变态射$L\to\mathrm{Max}\, A$。
2018-08-03 math.CT
Adjunctions between Eilenberg-Moore categories and a PBW-type theorem
最近，Dotsenko和Tamaroff证明了范畴$\mathscr C$上单子的$T\longrightarrow S$的态射满足PBW-性质当且仅当它使$S$成为自由右$T$ -模.我们考虑范畴$\mathscr C$、$\mathscr D$、$\mathscr C$上的单子$S$和$\mathscr D$上的单子$T$之间的附加$Ψ=(G,F)$。我们证明了一个态射$ϕ:(\mathscr C,S)\longrightarrow (\mathscr D,T)$具有PBW-性质当且仅当它使得$S$满足关于$T$ -模的自由度条件，$T$ -模的值在$\mathscr C$中。
2022-03-11 math.CT
Kan injectivity in order-enriched categories
连续格被马丁·埃斯卡多（Martin Escardo）精确地描述为Kan-injective w.r.t.的对象。一个特定的态射类研究了偏序集上的Kan-内射性。对于每个类H的态射，我们研究的子范畴的所有对象Kan-内射w.r.t. H和所有保持Kan-扩张的态射。对于Top_0和Pos这样的范畴，我们证明了只要H是态射的集合，上述子范畴是单子的，并且它所创建的单子是Kock-Zoeberlein单子。然而，这并不能推广到适当的类：我们提出了一类连续映射Top_0的Kan-内射不产生一元范畴。
2013-11-07 cs.LO math.CT
On lax transformations, adjunctions, and monads in $(\infty,2)$-categories
利用$(\infty,2)$ -范畴的Gray张量积的基本期望性质研究了（共）松弛自然变换.利用Riehl-Verity和Zaganjiang的结果，我们确定宽松的转换之间的交换和单子（单子）右伴随的交换平方。我们还确定的colax变换的组件是等价的（概括的“图标”的缺乏）与2-态射，从观察$(\infty,2)$ -范畴作为单纯的$\infty$ -范畴。利用这一特征，我们确定了固定对象上单子的$\infty$ -范畴和它们之间的共轴态射与结合代数的$\infty$ -范畴的自同态.
2021-02-27 math.AT math.CT
Lawvere theories and Jf-relative monads
本文给出了Lawvere理论范畴与显函子$Jf:F\rightarrow Sets$上的相对单子范畴之间的一个等价构造，其中$F$是具有对象集${\bf N}$的范畴，态射是相应基数的标准有限集之间的函数.本文的方法是完全构造性的，在没有选择公理和排中律的Zermelo-Fraenkel理论中是形式化的。它也很容易在UniMath中形式化。
2016-01-09 math.CT
Enhanced $2$-categories of models of sketches as enhanced $2$-categories of algebras over monads
Topos Research UK
本文建立了增强 $2$-草图模型与单子上的代数（包括（余）lax 态射）之间的等价性，并由此刻画了模型 $2$-范畴中的极限。
2026-08-18 math.CT
Generalization of formal monad theory to lax functors
本文通过两种方法将形式幺半群理论推广到松弛函子，定义了松弛教义伴随并证明余反射嵌入，同时推广了Beck分配律刻画定理。
2024-09-19 math.CT
Induced morphisms between Heyting-valued models
据我们所知，关于Heyting值模型如何受到确定它们的完全Heyting代数上的态射的影响的结果很少：文献中发现的唯一情况是关于完全布尔代数的自同构和它们之间的完全嵌入（\emph{i.e} .，保持任意上确界和任意下确界的单射布尔代数同态）。本文研究了完备Heyting代数$\mathbb{H}$和$\mathbb{H}'$之间的更一般的态射如何在$V^{(\mathbb{H})}$和$V^{(\mathbb{H}')}$之间以及它们相应的局部拓扑$\mathbf{Set}^{(\mathbb{H})}$（$\simeq \mathbf{Sh}(\mathbb{H})$）和$\mathbf{Set}^{(\mathbb{H}')}$（$\simeq \mathbf{Sh}(\mathbb{H}')$）之间产生箭头.更多详情：任何{ \em几何态射} $f^* : \mathbf{Set}^{(\mathbb{H})} \to \mathbf{Set}^{(\mathbb{H'})}$（其自动来自唯一场所态射$f : \mathbb{H} \to \mathbb{H}'$）可被“提升”为箭头$\tilde{f} : V^{(\mathbb{H})} \to V^{(\mathbb{H}')}$。我们还提供了一些语义保持有关这个箭头$\tilde{f} : V^{(\mathbb{H…
2021-11-02 math.CT
Kleisli semantics and hypergraph composition for Greimasian narrative programs
本文提出一种范畴论形式化方法，用于精确描述格里马斯叙事程序的组合结构，通过引入细化的actant类型方案，并利用monad在Set上的解释，构建了结构化的数据表示。
2026-04-06 math.CT
Equivariant monads and equivariant lifts versus a 2-category of distributive laws
固定一个幺半范畴C. C-作用范畴的2-范畴中的2-范畴单子、COLAX C-等变函子和COLAX函子的C-等变自然变换，可以用由一个通常的单子和单子与C的作用之间的分配律、遵守分配律的单子态射和满足与所涉及的作用和分配律的某种相容性的单子变换组成的对来重铸。这幅图中的单子可以推广到幺半范畴范畴的作用，特别是PRO-s的作用。如果C也是一个PRO，那么在特殊情况下，我们得到一个给定经典类型的各种分配律，例如在comonad和endofunctor之间或在monad和comonad之间。通常的五边形一般都用多重边形代替，也有涉及两个不同分配律的“混合”多重边形。Beck的一个单子到另一个单子的Eilenberg-Moore范畴的分配律和提升之间的双射在这里被推广到2-范畴的同构。上述映射对的提升是共轴C-等变的。我们完成了一个简短的治疗的相对分配律之间的两个伪代数结构是相对的分配两个pseudomonads参与，什么给了一个暗示的推广。
2007-07-11 math.CT
The localic Istropy group of a topos
J.Funk，P.Hofstra和B.Steinberg证明了任何Grothendieck topos T都被赋予一个标准群对象，称为它的迷向群，它函符地作用在T的每个对象上。我们证明了这个群实际上是局部群对象的点群，称为局部各向同性群，它也作用于每个对象，实际上也作用于每个内部局部和每个T-topos。这个新的局域各向同性群比原来的版本具有更好的功能性和稳定性，并揭示了一些现象，观察到的普通各向同性群的高各向同性。我们证明，特别是使用一个本地版本的各向同性商，任何几何态射都可以分解为唯一的连接原子几何态射其次是一个所谓的“本质上各向异性”的几何态射，连接原子态射正是由一个开放的各向同性行动商。
2017-06-15 math.CT
Hilsum-Skandalis maps as Frobenius adjunctions with application to geometric morphisms
Hilsum-Skandalis映射，从微分几何，研究的背景下，一个carnival范畴。证明了Hilsum-Skandalis映射可以表示为稳定的Frobenius映射。这导致了一个新的和更一般的证明，Hilsum-Skandalis映射代表了一个普遍的方式，反转本质等价的内部群胚之间。为了证明表示定理，给出了任意内广群的连通分支伴随的一个新刻画。其特征是该附加函数被一个稳定的Frobenius附加函数所覆盖，该附加函数是一个切片，其右伴随是一元的。几何态射可以表示为稳定的Frobenius算子。作为应用的研究，我们展示了如何很容易恢复几何态射的属性，将它们视为稳定Frobenius映射的属性方面。
2017-03-30 math.CT
Diagrammatics for lax and Frobenius monoidal functors and weak morphism classifiers
Hausdorff Center for Mathematics（豪斯多夫数学中心）；Universität Hamburg（汉堡大学）
本文通过图示法构造了单子 functor 的图示结构，包括松、反松和弗罗贝尼乌斯松 functor 的变体，揭示了其与弱 morphism 分类器的关系。
2026-04-27 math.CT
Data Base Mappings and Monads: (Co)Induction
本文基于幂视图单子T和单子代数，给出了关系数据库范畴中数据库映射的语义。这个类别中的对象是数据库实例（数据库实例是一组n元关系，即，一组关系表，如标准RDB中的关系表）。DB范畴中的态射用于表达关系数据库之间基于视图的全局和局部视图（GLAV）映射的语义，例如在数据集成系统中使用的那些。这种DB范畴中的态射不是函数，而是具有基于两个数据库实例之间的一组复杂查询计算的复杂树结构。因此，DB范畴作为数据库语义和数据库之间映射的基本范畴，与主要用于此类问题的Set范畴不同，需要对其属性进行全面的研究。在本文中，我们提出了另一个贡献，深入探索这个类别的属性和语义的基础上，电力视图单子T和Kleisli类别的数据库。在这里，我们强调了一些基于单子的泛代数考虑，以及这个DB类别和标准Set类别之间的关系。最后，我们研究了这类数据库的一般代数和归纳性质，并定义了数据库实例的初始一元代数。
2011-02-22 cs.DB cs.LO math.CT
Lie monads and dualities
我们研究了李代数和李余代数之间的对偶以及它们各自的（余）表示。为了研究无限维情形下的对偶性，我们引入了李群和李群的概念，作为加法幺半范畴中YB-李代数和YB-李余代数的特例.我们证明了李代数和李余代数之间的（强）对偶与关联的李单子和李余单子之间的（等）态射密切相关。在两个霍普夫代数之间的对偶的情况下-在竹内的意义上-我们恢复一个李代数和李余代数之间的对偶-在这个说明中定义的意义上-通过计算的原始和不可分解的元素，分别。
2013-12-12 math.CT math.RA
Geometric constructions preserve fibrations
设$\mathcal{C}$是可表示的2-范畴，$\mathfrak{T}_\bullet$是箭头2-范畴$\mathcal{C}^\downarrow$的2-内函子，使得（i）$\mathsf{cod} \mathfrak{T}_\bullet = \mathsf{cod}$和（ii）$\mathfrak{T}_\bullet$保持$\mathcal{C}^\downarrow$中态射的倾向性.然后，$\mathfrak{T}_\bullet$保留$\mathcal{C}$中的纤维化和光纤维化。这个证明采用了斯特里特对（例如）opfibrations作为伪代数的2单子$\mathfrak{L}_B$上片类别$\mathcal{C}/B$和发展它通过定义一个2单子$\mathfrak{L}_\bullet$上的$\mathcal{C}^\downarrow$，考虑到基变换，并使用已知的结果提升2函子伪代数。
2014-11-10 math.CT
Stochastic order on metric spaces and the ordered Kantorovich monad
在早期的工作中，我们已经介绍了康托洛维奇概率单子在完全度量空间，扩展了建设由于范Breugel。在这里，我们通过赋予概率测度空间以通常的随机序，将Kantorovich单子进一步推广到某一类有序度量空间。它可以被认为是概率幂域的度量模拟。我们考虑的空间，我们称之为L-序，是这样的空间，其中序满足与度量本身的温和兼容性条件，而不仅仅是与底层拓扑的兼容性条件。正如我们所表明的，这与Lawvere度量空间的理论有关，其中偏序结构是由零距离诱导的。证明了序Kantorovich单子的代数是巴拿赫空间的闭凸子集，其代数态射由短的单调仿射映射给出.当L-序度量空间范畴为局部posetal 2-范畴时，Lax和oplax代数态射分别是凹短映射和凸短映射.在无序情况下，我们已经把Wasserstein空间确定为有限序列的经验分布空间的余极限。我们证明，这延伸到有序设置，以及通过显示随机顺序产生的顺序之间的有限序列完成，推广最近的结果劳森。证明在任何配备有闭偏序的度量空间上成立。
2020-02-19 cs.LO math.CT math.FA
Cyclic homology arising from adjunctions
给定一个单子和一个余单子，从一个单子的提升到另一个单子的附加，就可以得到它们之间的分配律。特别地，这产生任何双代数胚的Yetter-Drinfel'd分配律之间的余单子由一个模余代数和单子由一个余代数。正是这种自对偶的设置，再现了循环同调的结合和霍普夫代数的一元框架的Boehm和Stefan。事实上，他们的方法生成两个重复对象和它们之间的态射，当且仅当重复对象是循环的时，它们是相互逆的。扭曲系数的过程中提供了一个2-范畴的角度来看，并澄清了文献中研究的两个概念的bimonad的作用。
2015-04-28 math.CT math.QA
Categories enriched over a quantaloid: Isbell adjunctions and Kan adjunctions
在一个小量子群Q上富集的范畴之间的每一个分配者引起反变和协变预层范畴之间的两个分离，从而引起两个单子。这两个扩张分别是范畴论中Isbell扩张和Kan扩张的推广。证明了这两个过程都是函子的，其中子态射充当分配器之间的态射;并且Q-范畴的自由余完备函子通过这两个函子因子化。
2013-07-22 math.CT
Delta lenses as coalgebras for a comonad
Delta透镜是一种范畴间的态射，用于模拟系统间的双向转换。经典的基于状态的透镜，也被称为非常良好行为的透镜，既是单子的代数，也是共单子的余代数。三角形透镜推广了基于状态的透镜，虽然三角形透镜被描述为半单子的某些代数，但很自然地会问它们是否也作为余代数出现。本文通过证明从基上的Delta透镜范畴到基上的余函子范畴的遗忘函子是余单子的，证明了Delta透镜是余单子的余代数。证明利用一个图解的方法三角洲透镜，并澄清了几个结果在文献中关于三角洲透镜和cofunctors之间的关系。有趣的是，虽然这项工作并没有推广相应的结果，基于状态的镜头，它确实提供了新的途径，探索镜头作为coalgebras。
2022-03-01 math.CT
On the Morphisms and Transformations of Tsuyoshi Fujiwara (as a concretion of a bidimensional many-sorted general algebra and its application to the equivalence between many-sorted clones and algebraic theories)
对于单序代数，Fujiwara通过基本映射公式族的概念，定义了一个态射的概念，它推广了代数间同态的一般概念，并在基本映射公式族上定义了一个等价关系，即共轭，它对应于代数的内同构关系。本文将Fujiwara关于态射的理论推广到多类代数，定义了多类签名之间的多导子概念，它赋予基本类、字和形式运算、导项族，并将标准签名态射、Fujiwara的基本映射公式和Goguen-Thatcher-Wagner的导子都包含在多导子之下.然后，通过Bénabou代数之间的同态，这是Bénabou的有限多序代数理论的代数对应，我们定义了复合的多导子，从我们得到一个相应的范畴，同构于Kleisli范畴的单子上的标准范畴的多序签名。其次，通过定义多导子之间的转换概念，我们赋予了多分类签名和多导子范畴2-范畴的结构。由此得到了一个导出的2-范畴的多序规范，证明了Hall代数和Bénabou代数的多序规范的等价性，并导出了Hall代数和Bénabou代数的范畴的等价性.此外，通过定义广义多序项的相应范畴，证明了这些广义多序项在多序代数中的实现在多导子下是不变的，并且与多导子之间的变换是相容的，由此得到了2-机构的一个新概念，它本身是Goguen和Burstall的机构概念的严格推广.
2012-01-25 math.CT
Limits of $(\infty, 1)$-categories with structure and their lax morphisms
本研究将Riehl与Verity关于准范畴Eilenberg-Moore对象保极限的结果推广到多类带结构的$(\n\infty,1)$-范畴模型，证明仅需图中一个态射保结构时就存在含插入子、等化子的松弛态射极限，给出了这类极限存在的最小条件与清晰解释。
2025-05-21 math.AT math.CT
Internal lenses as functors and cofunctors
透镜可以被描述为单子上的代数范畴中的对象，然而它们通常被理解为态射，它在系统之间传播更新。内部工作的一个类别与回调，我们定义镜头同时函子和类别之间的cofunctors。我们表明，透镜可以表示为一个特定的函子的交换三角形，并统一了经典的基于状态的透镜与c-透镜和d-透镜在这个框架。这种镜片的新处理方法大大简化了应用程序，包括对镜片成分的清晰解释。
2020-09-15 math.CT
The hammock localization preserves homotopies
吊床定位提供了一个模型的同伦函数复杂的任何奎伦模型类别。我们证明了一对态射之间的同伦诱导的映射之间的同伦采取吊床本地化。我们描述应用这一事实的研究同伦代数单子和同伦幂等函子。除其他事项外，我们证明，根据Voppennka的原则，每同伦幂等函子在cofibrantly生成的模型范畴是由单纯正交关于一组态射。我们还给出了一个新的证明的事实，左Bousfield局部化关于一类态射总是存在于任何左适当的组合模型范畴下的Vopnika的原则。
2015-05-13 math.AT math.CT
Projection formulas and induced functors on centers of monoidal categories
University of Bonn（波恩大学）；University of Nottingham（诺丁汉大学）；University of Münster（明斯特大学）
本文研究了单子adjunction诱导的braided lax单子函子，通过投射公式 morphisms 的可逆性，探讨了Hopf代数的限制与诱导沿态射的单子adjunction，并应用这些函子到 affine代数群、量子群和Radford-Majid双积Hopf代数的例子中。
2024-02-15 math.CT math.QA math.RT
Invertibility and parity in symmetric monoidal categories
Case Western Reserve University（凯斯西储大学）；The Ohio State University Newark（俄亥俄州立大学纽瓦克分校）
本文引入了形式态之间可逆对象的奇偶性概念，并利用其证明了相应的协整定理。通过自由置换范畴的详细处理及超整数的骨骼模型，展示了两者之间的等价关系。
2026-04-16 math.AT math.CT
DB Category: Denotational Semantics for View-based Database Mappings
我们提出了一个分类的指称语义的数据库映射，视图的基础上，在最一般的框架中的数据库集成/交换。已开发的数据库范畴DB，用于数据库（对象）和它们之间基于视图的映射（态射），与Set范畴不同：态射（基于一组复杂的查询计算）不是函数，而对象是数据库实例（关系集）。数据库之间基于逻辑的模式映射，通常用高度表达性的逻辑语言（例如，LAV、GAV、GLAV映射或元组生成依赖性）可以函数地转换成该“计算”类别DB。采用了一种新的方法，基于数据库的行为的观点，并建立数据库及其映射的行为等价。通过引入基于视图的数据库观测，这是没有副作用的计算，我们定义了一个基本的（泛代数）单子与幂视图endofunctor T。所得到的2-category DB是对称的，因此任何映射也可以表示为对象（数据库实例），其中映射之间的更高级别映射是2-cell态射。数据库类DB具有如下性质：它等于它的对偶、完全和共完全。特别注意实际的例子：一个查询定义，在GAV数据库集成环境中的查询重写，和一个规范的数据集成模型的定点解决方案。
2011-02-24 cs.DB cs.LO math.CT
Props in Network Theory
早在费曼图发明之前，工程师们就使用类似的图来推理电路和包含机械、液压、热力学和化学成分的更一般的网络。我们可以用props形式化这个推理：也就是说，严格对称的幺半范畴，其中对象是自然数，对象的张量积由加法给出。在这种方法中，每种网络对应于一个道具，每种网络都是该道具中的一个态射。一个有$m$输入和$n$输出的网络是从$m$到$n$的态射，把网络串联在一起是合成，把它们并排放在一起是张量。在这里，我们将详细介绍这种方法在各种电路中的应用，从仅由理想的完美导电导线组成的电路开始，然后是具有无源线性元件的电路，然后是具有电压和电流源的电路。每一种电路都对应一个数学上自然的道具，我们用道具之间的态射来描述这些电路的“行为”。特别是，我们给出了方和第一作者证明的黑盒定理的一个新的证明，与原来的证明不同，这个新的证明很容易推广到非线性元件的电路。我们也使用一个态射的道具，以澄清之间的关系，电路图和信号流程图的控制理论。从技术上讲，关键的工具是Rosebrugh-Sabadini-Walters的结果，将电路与特殊的交换Frobenius幺半群联系起来，在props和签名之间的monadic adjunction，以及一个结果，说明哪些对称的幺半范畴等价于props。
2018-06-01 math-ph math.CT math.MP
A perspective on non-commutative frame theory
本文以 restriction quantal frames 为桥梁，建立完全 restriction 幺半群与 étale localic 范畴的对偶，并推广至拓扑范畴及多种半群等价关系。
2017-02-24 math.CT math.GN math.RA
