2-亚稳维数下扭结环面的分类
Classification of knotted tori in the 2-metastable dimension
AI总结：
本文研究扭结环面嵌入球面的同位素分类问题，在2-亚稳维数下利用Koschorke正合序列的类比和新β-不变量，给出了同位素类集合无限性的显式判据。
摘要：
本文研究经典的扭结问题：对于给定的流形 N 和数 m，描述嵌入 $N\to S^m$ 的同位素类集合。我们研究扭结环面的具体情况，即嵌入 $S^p \times S^q \to S^m$。在亚稳维数范围 $m>p+\frac{3}{2}q+2$，$p\le q$ 内，扭结环面在同位素意义下的分类已由 A. Haefliger、E. Zeeman 和 A. Skopenkov 给出。我们考虑亚稳范围以下的维数，并对 2-亚稳维数下该同位素类集合的有限性给出一个显式判据：定理。假设 $p+\frac{4}{3}q+2<m<p+\frac{3}{2}q+2$ 且 $m>2p+q+2$。则光滑嵌入 $S^p \times S^q \to S^m$ 在同位素意义下的集合为无限集当且仅当 $q+1$ 或 $p+q+1$ 能被 4 整除。我们的分类方法基于链映射理论中 Koschorke 正合序列的一个类比。该序列涉及扭结环面的一个新 $\beta$-不变量。正合性通过嵌入手术和 Habegger-Kaiser 研究补空间的技术加以证明。
英文摘要：
This paper is on the classical Knotting Problem: for a given manifold N and a number m describe the set of isotopy classes of embeddings $N\to S^m$. We study the specific case of knotted tori, i. e. the embeddings $S^p \times S^q \to S^m$. The classification of knotted tori up to isotopy in the metastable dimension range $m>p+\frac{3}{2}q+2$, $p\le q$, was given by A. Haefliger, E. Zeeman and A. Skopenkov. We consider the dimensions below the metastable range, and give an explicit criterion for the finiteness of this set of isotopy classes in the 2-metastable dimension: Theorem. Assume that $p+\frac{4}{3}q+2<m<p+\frac{3}{2}q+2$ and $m>2p+q+2$. Then the set of smooth embeddings $S^p \times S^q \to S^m$ up to isotopy is infinite if and only if either $q+1$ or $p+q+1$ is divisible by 4. Our approach to the classification is based on an analogue of the Koschorke exact sequence from the theory of link maps. This sequence involves a new $β$-invariant of knotted tori. The exactness is proved using embedded surgery and the Habegger-Kaiser techniques of studying the complement.
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