We generalize some of the central results in automata theory to the abstraction level of coalgebras and thus lay out the foundations of a universal theory of automata operating on infinite objects.
Let F be any set functor that preserves weak pullbacks. We show that the class of recognizable languages of F-coalgebras is closed under taking unions, intersections, and projections. We also prove that if a nondeterministic F-automaton accepts some coalgebra it accepts a finite one of the size of the automaton. Our main technical result concerns an explicit construction which transforms a given alternating F-automaton into an equivalent nondeterministic one, whose size is exponentially bound by the size of the original automaton.
A No-go Theorem for Coalgebraic Product Construction
Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University（京都大学数学科学研究所）；National Institute of Informatics（国立情报学研究所）；The Graduate University for Advanced Studies (SOKENDAI)（高级研究院（SOKENDAI））
On Star Expressions and Coalgebraic Completeness Theorems
一个开放的问题所提出的米尔纳要求证明，一定axiomatisation，米尔纳表明是健全的关于双相似性的正则表达式，也是完整的。这个问题的主要困难之一是缺乏一个完整的Kleene定理，因为有自动机，不能指定，直到双相似性，由一个表达式。Grabmayer and Fokkink（2020）证明了那些可以用正则表达式表示而不需要常数1的自动机，并使用这种特征来对Milner关于这个表达式子集的问题给出肯定的回答。本文从泛余代数的角度分析了Grabmayer和Fokkink关于完备性的证明，并由此抽象地说明了他们的证明方法。然后，我们比较这种证明方法的另一种方法，从共代数语言理论的完整性证明。这最终导致了两种抽象的完整性证明方法，我们称之为局部和全局方法，以及一种方法何时可以代替另一种方法的描述。
Stone-type对偶为研究逻辑系统的性质提供了一个强有力的数学框架。他们最近已经卓有成效地探索在理解最小化的各种类型的自动机。在Bezhanishvili等人（2012）中，一个余代数范畴和一个代数范畴之间的对偶等价被用来解释极小化。代数语义是对偶的余代数语义，其中逻辑等价与迹等价一致。余代数的极大子代数对应于代数的极小子代数。例子包括部分可观测的确定性有限自动机，线性加权自动机被视为有限维向量空间上的余代数，以及信念自动机，它们是紧致豪斯多夫空间上的余代数。在Bonchi et al.（2014）中，Brzozowski对确定性有限自动机的双反转最小化算法进行了分类描述，并通过可达性和可观察性之间的对偶解释了其正确性。这项工作包括概括Brzozowski的算法摩尔和加权自动机交换半环。在本文中，我们提出了一个一般的分类框架内，这种最小化算法可以理解。目标是提供一个基于二元性的统一视角。我们的框架包括一个堆栈的三个相互关联的adjections-base对偶adjunction，可以提升到一个对偶adjunction之间的coalgebras和代数，也到一个对偶adjunction之间的自动机。该方法提供了对可达性和可观察性的抽象理解。我们说明了一系列具体的例子，包括确定性Kripke框架，加权自动机，拓扑自动机（信念自动机），和交替自动机的一般框架。
本文解决了S. Tripakis在[ Folk Theorems on the Determinization and Minimization of Timed Automata，in the Proceedings of the International Workshop FORMATS'2003，LNCS，Volume 2791，p.182 -188，2004 ]和E. Asarin in [ Challenges in Timed Languages，From Applied Theory to Basic Theory，Bulletin of the EATCS，Volume 83，p. 106-120，2004 ].特别是，我们不能决定是否一个给定的时间自动机是可确定的，或是否补充的时间正则语言是定时定期。我们证明了时间自动机的时钟数的最小化问题是不可判定的。两个定时正则语言的混洗是否定时正则也是不可判定的。我们证明，在接受无限时间词的时间Büchi自动机的情况下，其中一些问题是Pi^1_1-hard的，因此是高度不可判定的（位于算术层次之外）。
