Galois Theory, discriminants and torsion subgroups of elliptic curves
Irene Garcia-Selfa, Enrique Gonzalez-Jimenez, Jose M. Tornero
我们发现一个紧的挠子群和图像的模2伽罗瓦表示相关的椭圆曲线定义的有理数之间的关系。这是使用的椭圆曲线的判别式的平方的一些特征。
We find a tight relationship between the torsion subgroup and the image of the mod 2 Galois representation associated to an elliptic curve defined over the rationals. This is shown using some characterizations for the squareness of the discriminant of the elliptic curve.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Counting wildly ramified quartic extensions with prescribed discriminant and Galois closure group
本文针对2进数域上具有指定判别式赋值与Galois闭包群的完全分歧四次扩张建立计数公式，并据此改进Serre质量公式，为数域算术统计提供工具。
On the existence of large degree Galois representations for fields of small discriminant
设$L/K$是数域的Galois扩张.证明了${\rm Gal}(L/K)$的不可约复表示的最大次数的两个下界，其中最大次数的下界是以Artin猜想和广义黎曼假设为条件的.当$[K : \mathbb{Q}]$很小时，并且$L$有小的根判别式时，我们的界是非平凡的，可以概括为这样的域不能是“太阿贝尔的”。"
An infinite family of pairs of distinct quartic Galois CM-fields with the same discriminant and regulator
本文构造了无限多个具有相同判别式和调节数的虚二元四次域和虚循环四次域的配对，并给出了具有相同判别式、调节数和类数的示例。
On the discriminant of elliptic curves with non-trivial torsion
对于定义在有理域上的具有非平凡挠子群的椭圆曲线，我们发现挠子群本身与由曲线自然产生的伽罗瓦群之间存在着紧密的关系.
On the mod-$p$ distribution of discriminants of $G$-extensions
本文的动机是最近的一份文件Krumm和Pollack调查模$p$行为的二次扭曲与有理点，一个给定的超椭圆曲线，条件的abc猜想。我们将这些结果推广到任意伽罗瓦群的扭曲伽罗瓦覆盖。这种推广的主要观点是将这些结果解释为关于在判别式的限制下给定伽罗瓦覆盖的专门化集合的陈述。特别是，我们作出了与现有的伽罗瓦扩展，如马勒猜想的分布判别式的partistics连接：我们的结果表明，在一个精确的意义上不存在的“本地障碍”，这样的partistics，在许多情况下，基本上只有在假设$G$发生的伽罗瓦群的伽罗瓦覆盖定义在$\mathbb{Q}$。这补充和推广了一个类似的结果在方向上的马勒猜想的德贝。
On Splitting Types, Discriminant Bounds, and Conclusive Tests for the Galois Group
利用数域正规扩张的伽罗瓦群的作用，我们推广和对称了代数和代数数论中关于素理想的分裂类型、多项式模素数的因子分解类型和多项式的伽罗瓦群的循环类型的各种基本陈述.一个显著的例子是从库默-戴德金定理中删除了所有人为的约束，该定理涉及分裂和因子分解模式。最后，给出了一个初等证明，证明了整系数一元不可约多项式的分裂域的判别式有一个可计算的系数上界.这一结果与Lagarias等人的结果相结合，表明，测试多项式的周期类型的伽罗瓦群是决定性的。特别是，整系数的一元不可约三次群、四次群和五次群的伽罗瓦群可以在许多步骤中完全确定（尽管不一定在一生中）。
Probabilistic Galois Theory -- The Square Discriminant Case
本文在大盒模型下研究随机多项式伽罗瓦群为 $A_n$ 的概率，提出比 Bhargava 的 $O(L^{-1})$ 更强的猜想上界 $L^{-n/2+\epsilon}$，并证明了该概率及判别式为平方数的相关概率的强下界。
On number fields with $k$-free discriminants
给定有限可迁置换群$G$，研究了伽罗瓦群$G$的数域$F/\mathbb{Q}$，其判别式只能被小素数幂整除.这推广了以前的研究数域与平方无关的判别。特别地，我们得到了数域上无立方判别式的一个综合结果。我们的主要工具是算术几何，特别是涉及一个有效的标准在专门化的伽罗瓦覆盖的分歧。
The 12-th roots of the discriminant of an elliptic curve and the torsion points
给定一条特征不同于2，3的域上的椭圆曲线，其判别式定义了域上的一个$μ_{12}$ -torsor.本文用给定的椭圆曲线上的3-挠点和4-挠点给出了$μ_{12}$ -挠量的显式描述。%此外，我们表明，这样的描述涉及在一定程度上的Weil配对。作为应用，推广了Coates关于椭圆曲线判别式的12次方根的一个结果.
The density of discriminants of quintic rings and fields
我们确定，渐近，五次域的数量有界判别式。具体地说，我们证明了具有绝对判别式至多X的五次域的渐近数是一个常数乘以X。与四次域的情形相比，我们还证明了当密度为100%的五次域按绝对判别式排序时，具有全伽罗瓦群$S_5$的伽罗瓦闭包。这些结果的类似物也证明了五次域的订单。最后，我们给出了解释的各种常数出现在这些定理的局部质量的五次环和领域。
Local torsion on elliptic curves and the deformation theory of Galois representations
我们证明，平均而言，椭圆曲线在Q有许多素数p，他们拥有一个p-进点的顺序p。我们包括讨论的应用同伴形式和变形理论的伽罗瓦表示。
Torsion Galois representations over CM fields and Hecke algebras in the derived category
我们构造了算术流形上同调的导出范畴中由Hecke算子生成的自同态代数。我们构造伽罗瓦表示的系数在这些Hecke代数和应用这种技术，锐化最近的结果P。
Hensel-lifting torsion points on Jacobians and Galois representations
令$ρ$是mod $\ell$伽罗瓦表示。我们展示了如何计算$ρ$，给定的特征多项式的图像的Frobenius在一个总理$p$和曲线$C$的雅可比矩阵包含$ρ$在其$\ell$ -扭转。主要内容是在Makdisi算法的框架下，提出了一种在Jacobian上$p$ -adically提升扭点的方法。
Torsion of rational elliptic curves over quartic Galois number fields
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且令$K$是作为$\mathbb{Q}$上的伽罗瓦的四次数域。本文的目的是对$E(K)_{\text{tors}}$的不同同构类型进行分类。
Pfaffians, the G-Signature Theorem and Galois de Rham discriminants
我们研究等变德拉姆判别支持驯服行动的有限群的算术品种，我们形成这些判别赋予德拉姆上同调与对偶理论产生的配对。这种等变判别式被示出为自然地分解成度量部分和签名部分。在以前的论文中，我们描述了等变Arakelov判别式，通过赋予的等变行列式的德拉姆上同调与各种度量。在本文中，我们研究了相关的等变签名信息，特别是，我们表明，辛签名不变量都确定，并确定了辛阿基米德常数的算术品种。
Elliptic curves with maximal Galois action on their torsion points
给定一条数域k上的椭圆曲线E，在E的扭点上的伽罗瓦作用导出一个伽罗瓦表示ρ_E：Gal（\bar{k} /k）\to GL_2（\hat{Z}）.对于一个定数域k，我们描述了ρ_E对k上“随机”椭圆曲线E的象.特别地，如果k \neq Q与Q的分圆扩张线性无缘，则ρ_E对k上的“大多数”椭圆曲线是满射的.
Torsion in the Coherent Cohomology of Shimura Varieties and Galois Representations
我们介绍了一种方法，用于生产之间的Hecke本征类，可能扭转，在自同构向量丛的相干上同调某些好约化志村品种的同余。的同余产生使用一些“广义Hasse不变量”适应Ekedahl-Oort分层的特殊纤维。
The Distribution of Number Fields with Wreath Products as Galois Groups
令$G$是形式为$C_2 \wr H$的圈积，其中$C_2$是2阶循环群。在较弱的条件下，我们确定了数域$H$的计数函数的渐近性态，该数域具有Galois群$G$和有界判别式.这些计数函数与判别式的范数线性增长，这一结果与Malle的一个猜想相吻合。直到一个常数因子，这些群有相同的渐近行为作为对称群的限制。
Galois representations and torsion in the coherent cohomology of Hilbert modular varieties
设$F$是全实数域，$p$是$F$中的素非分歧.证明了$p$的水平互素的$F$的Hilbert模簇的相干上同调中出现的分权模$p^m$ Hecke本征类的Galois伪表示的存在性.
Drinfeld modules with maximal Galois action on their torsion points
对于具有类属特征的广义生成域上的每个Drinfeld模，可以对应一个由其扭点上的伽罗瓦作用产生的伽罗瓦表示。Pink和Rütsche最近的工作描述了这种表征的图像，直到可解释性。他们的定理是定性的，本文的目的是补充这一理论与一个工作的例子。特别是，我们给出的例子Drinfeld模块的秩2的伽罗瓦行动，其扭点是尽可能大的。我们将遵循的方法，塞尔用来给明确的例子，他的开放性定理的椭圆曲线。使用我们的具体例子，我们将在数值上测试一些著名的椭圆曲线曲线的类似物。
Norm-Euclidean Galois fields
设K是素度Galois数域$\ell$ .海尔布隆表明，对于一个给定的$\ell$只有1000多个这样的领域是正常的欧几里德。在$\ell=2$的情况下，所有这样的范欧几里德域都已被确定，但对于$\ell\neq 2$，几乎没有其他的信息。当$\ell>2$ .我们的方法导致一个简单的算法，它允许一个候选人产生一个列表的范数欧几里德字段到一个给定的判别式，我们提供了一些计算结果。
Tame torsion, the tame inverse Galois problem, and endomorphisms
确定正整数$g$和有理数素数$p$。通过对自同态环施加条件，证明了存在亏格$g$曲线$C/\mathbb{Q}$使得其Jacobian的mod $p$表示是驯服的.作为应用，我们考虑驯服逆伽罗瓦问题，并能够实现一般辛群作为$\mathbb{Q}$驯服扩展的伽罗瓦群。
On Galois Embedding Problems Arising from 3-Torsion of Elliptic Curves
研究来自有理数域上椭圆曲线3- torsion的伽罗瓦嵌入问题，扩展到所有可能的模3伽罗瓦表示图像，包括GL₂(F₃)、SD₁₆、D₆、D₄和C₂²。在环论情况下，证明这些嵌入问题的可解性等价于存在无限多个椭圆曲线，其3-除法域提供相应解。
Torsion points and Galois representations on CM elliptic curves
证明了数域上复乘椭圆曲线的扭点和伽罗瓦表示的几个结果。一个结果计算的程度，这样一个椭圆曲线有一个合理的点的顺序$N$，细化结果西尔弗伯格。另一个结果根据具有CM的椭圆曲线的最大阶扭子群，以非最大阶限制了具有CM的椭圆曲线的扭子群的大小。我们的技术也产生一个完整的分类可能的扭转子群和合理的循环isogenies的$K$ -CM椭圆曲线$E$定义在$K(j(E))$。
Principally polarized abelian surfaces with surjective galois representations on l-torsion
给定一个定义在$K$上的有理簇$V$，我们考虑一个定义在$V$上的维数为$g$的主极化阿贝尔簇$A$.对于每个素数l，我们考虑$A_t$的$l$ -挠上的伽罗瓦表示，其中$t$是$V$的$K$ -有理点。最大可能的图像是$GSp_{2g}(\mathbb{F}_l)$，在情况$g=1$和2中，我们能够得到所有$l$和几乎所有$t$的满射性。在$g=1$的情况下，这恢复了最初由威廉·杜克证明的定理。
Dedekind zeta functions of non-Galois torsion fields of elliptic curves
研究通过单点奇阶生成的数域中素数分解类型算法，计算 Dedekind ζ 函数系数
$\ell$-torsion bounds for the class group of number fields with an $\ell$-group as Galois group
我们描述的$\ell$ -扭转猜想，猜想的Malle给出的上界的数量的扩展，和判别多重猜想之间的关系。我们证明了后两种方法在某种意义上是等价的。总之，这三个定理对于可解群类是等价的。证明了$\ell$ -群的$\ell$ -挠猜想和幂零群幂零群的另外两个猜想.
On Galois equivariance of homomorphisms between torsion potentially crystalline representations
设K是具有完全剩余域的混合特征（0，p）的完备离散赋值域.设（π_n）_{\ge 0}是K的一个均匀化子π=π_0的p次根系，其中π^ p_{n+1} =π_n，定义G_s（分别为\ G_{\infty}）K（π_s）的绝对伽罗瓦群（分别为K_{\infty}：= \bigcup_{n\ge 0} K（π_n））。本文研究了挠（势）晶表示之间的G_{\infty} -等变同态的G_s-等价性
On possibilities of 3-adic Galois images associated to isogeny-torsion graphs
本文研究非CM椭圆曲线在素数3时的同源-挠图与3-adic伽罗瓦表示之间的关系，并给出与图顶点相关的伽罗瓦像的完整分类。
Stability of torsion subgroups of elliptic curves over non-Galois extensions of odd prime degree
本文研究了椭圆曲线在非伽罗瓦扩张下的扭子群稳定性，通过伽罗瓦理论条件和模ℓ循环同源特征像的关系，细化了Gonzalez-Jimenez的结果。
Galois groups in rational conformal field theory II. The discriminant
在任何共形场论中，我们将熔合环的多项式关系的判别式表示为模矩阵行的-2次方的乘积。判别式被证明是一个整数，总是，这是一个产品的素数划分的水平。给出了所有WZW共形场论的判别式的详细公式。
One half log discriminant and division polynomials
L. Szpiro和T. Tucker最近证明了在较弱的条件下，离散赋值环上半稳定约化椭圆曲线的最小判别式的赋值可以表示为n-挠和2-挠的交集，其中n趋于无穷大. Szpiro和Tucker的论证本质上是几何的。给出了一个基于除多项式算法的证明，并将结果推广到超椭圆曲线的情形。
2-adic Galois images of non-CM isogeny-torsion graphs
设$\mathcal{E}$是定义在没有CM的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的$\mathbb{Q}$ -等距类。与$\mathcal{E}$相关联的等距图是这样的图，其具有用于$\mathcal{E}$中的每个椭圆曲线的顶点和用于将$\mathcal{E}$中的一个椭圆曲线映射到$\mathcal{E}$中的另一个椭圆曲线的素数度的每个$\mathbb{Q}$ -等距的边，其中度被记录为边的标签。同构扭图是一个同构图，其中，另外，我们用相应的椭圆曲线的$\mathbb{Q}$上的扭子群的抽象群结构来标记每个顶点。然后，文章的主要陈述是一个分类的$2$ -进的形象，发生在每一个顶点的同构-扭转图所组成的椭圆曲线定义在$\mathbb{Q}$没有CM。
On a Galois property of fields generated by the torsion of an abelian variety
本文证明数域上阿贝尔簇挠点生成域的伽罗瓦子扩张（伽罗瓦群指数有限）必含于某有限扩张的阿贝尔扩张中，并由此推出这些域具有 Northcott 性质。
Galois criterion for torsion points of Drinfeld modules
在本文中，我们制定的Drinfeld模模拟的一个问题，提出了由Lang和Katz研究的存在有理点的阿贝尔簇在数域上。给定一个极大理想$\fl$的$\F_q[T]$，问题本质上是问，是否，直到Isabel，一个Drinfeld模块$ϕ$在$\F_q(T)$包含一个合理的$\fl$ -扭点，如果减少$ϕ$在几乎所有素数的$\F_q[T]$包含一个合理的$\fl$ -扭点。类似的情况下，阿贝尔簇，我们表明，答案是积极的，如果Drinfeld模块的秩是$2$，但负的，如果秩是$3$。此外，对于秩$3$ Drinfeld模块，我们分类的情况下，答案是肯定的。
Limit of torsion semi-stable Galois representations with unbounded weights
设$K$是特征$(0, p)$的具有完美剩余域的完全离散赋值域，$T$是$\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$的积分$\mathbb{Z}_p$ -表示. T. Liu说，如果$T/p^n T$是扭转半稳定的（分别为结晶）的均匀有界的Hodge-Tate权重的所有$n \geq 1$，那么$T$也是半稳定的（分别。结晶的）。在本文中，我们表明，我们可以放宽条件的“一致有界的Hodge-Tate重量”无界（对数）增长的条件。
Lifting torsion Galois representations
摘要中的错别字已更正。设$ρ_n$是$GL_2(\mathcal O/π^n)$有理数的绝对伽罗瓦群的普通权2表示.这里，$\mathcal O$是具有均匀化器$π$的分叉DVR。如果$ρ_n$满足温和的假设，我们提升到一个特征零$\mathcal O$值的几何权重2表示。早期的方法只能处理非分歧的情况。我们表明，变形环的残余表示所产生的newform可以安排为一个规定的DVR，只要我们选择一个合适的辅助水平。我们扩展早期的模块化证明$p$ -进电梯的模块化剩余表示，通过$p$ -进近似，覆盖的情况下，电梯定义在分歧DVR的$\mathcal O$。
Tame torsion and the tame inverse Galois problem
本文研究了 tame torsion 和 tame 逆 Galois 问题，通过分析双曲 Mumford 曲线的周期矩阵，证明了存在特定亏格的曲线满足 tame 条件，并应用于有限域上的 symplectic 矩阵群。
Brauer-Siegel for Arithmetic Tori and lower bounds for Galois orbits of special points
在\cite{S}中，Shyr推导出一个类似于Dirichlet的类数公式的算术环面。我们使用这个公式推导出一个Brauer-Siegel公式的环面，其监管机构和类数的产品有关的判别环面。我们应用这个公式来获得渐近和下界的伽罗瓦轨道的CM点的西格尔模品种$A_{g,1}$。具体来说，我们要求这些轨道的大小增长像一个权力的判别式的基本自同态代数。本文在CM域的广义黎曼假设下，对$g\leq 5$和所有的$g$，无条件地证明了这一点.在此过程中，我们推导出了数域的理想类群中挠率的一般传递原理。
On the Malle conjecture and the self-twisted cover
我们证明了对于一个大类的有限群G，群G的伽罗瓦扩张E/Q和判别式$|d_E|\leq y$的数量增长像一个幂的$y$（对于某些指定的指数）。群G是Q上的正则伽罗瓦群，我们计数的扩张E/Q是从给定的正则伽罗瓦扩张F/Q（T）通过特殊化得到的。扩展E/Q可以进一步被规定为对于某些$δ\geq 1$在每个适当大的素数$p\leq \log (y)/δ$处的任何未分歧的局部行为。这个结果是一个步骤，向Malle猜想的数量的Galois扩张的给定群和有界判别。局部条件进一步使它成为Q上正则伽罗瓦群的一个显著约束。该方法使用我们引入的自扭曲覆盖的概念。
Galois orbits of torsion points near atoral sets
本文将代数环面上挠点的伽罗瓦均匀分布推广到奇异检验函数，得到带幂节省的定量衰减估计，并据此证明了一类非环面除子的 Ih 整性有限性猜想。
Galois groups and Cantor actions
本文研究了由有理函数的某些域的伽罗瓦群的表示所引起投射有限群在Cantor集上的作用。这样的表示与多项式相关联，它们被称为profinite迭代单值群。我们感兴趣的是一个拓扑不变量的这种行动称为渐近判别。特别是，我们给出了一个完整的分类渐近判别式是否是稳定的或野生的情况下，多项式生成的表示是二次的。我们还研究了不同的方式，其中一个野生的渐近判别式可以出现。
Torsion points on modular curves and Galois theory
给出了M的一个定理的证明. Baker和A. Tamagawa提出了一种新的方法，利用几乎有理扭点的概念，给出了嵌入其雅可比矩阵中的模曲线上的扭点的完整描述。'
Equivariant Torsion and Base Change
算术群的上同调中挠增长的真实阶是多少？设$D$是虚二次域上的四元数$F.$设$E/F$是具有$\mathrm{Gal}(E/F) = \langle σ\rangle.$的循环伽罗瓦扩张我们证明了$D_E^\times.$的某些伽罗瓦稳定算术子群的“$σ$作用于扭上同调的莱夫谢茨数”的下界对于这些相同的子群，我们无条件地证明了扭上同调的一个假设基变化映射的存在性的一个数值结果。
Most Elliptic Curves over Global Function Fields are Torsion Free
给定全局函数域$K$上的椭圆曲线$E$，在$E$的$n$ -扭点上的伽罗瓦作用产生mod-n伽罗瓦表示$ρ_{E,n}$。对于满足一些温和条件的$K$，我们证明了对于所有的$n$，$ρ_{E,n}$尽可能大的$E$的集合具有稠密性$1$ .
Torsion in the cohomology of congruence subgroups of SL(4,Z) and Galois representations
本文研究SL（4，Z）的同余子群的某些同调论中挠率的计算.其中包括通常的群上同调，泰特-法雷尔上同调，以及sharbly复形的同调。所有这些理论都产生Hecke模。我们猜想这些理论中的Hecke本征类具有附加的伽罗瓦表示。解释了我们在挠素数2，3，5处的计算结果。我们提供的证据，我们的猜想在15例奇扭转，我们发现在水平高达31。
On some $p$-adic Galois representations and form class groups
设$K$是判别式$d_K$的虚二次域，其环为整数环$\mathcal{O}_K$ .当$K$不同于$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$时，我们考虑了定义在$\mathbb{Q}(j(E_K))$上的具有$j(E_K)=j(\mathcal{O}_K)$的椭圆曲线$E_K$的特定模型.本文对每一个正整数$N$，将$\mathbb{Q}$的由$N$ -挠点在$E_K$上的坐标生成的扩张场与$K$模$N\mathcal{O}_K$的射线类场$K_{(N)}$进行了比较.通过使用这个结果，我们调查的图像$p$ -进伽罗瓦表示附加到$E_K$为一个总理$p$，在类域理论。其次，构造了判别式$d_K$和与$\mathrm{Gal}(K_{(N)}/\mathbb{Q})$同构的层次$N$的定形类群。
Elliptic Curves with Full 2-Torsion and Maximal Adelic Galois Representations
1972年，Serre证明了数域上非CM椭圆曲线的广义伽罗瓦表示在GL_2（\hat{Z}）中有开象.在格雷丘斯的论文中，他发展了必要和充分的标准来确定这种表示何时实际上是满射的，并展示了这样一个例子。然而，验证这些标准在实践中是困难的; Greicius描述了他们的测试，只适用于半稳定椭圆曲线在一个特定的一类立方数域。在本文中，我们扩展Greicius的方法在几个方向。首先，我们考虑具有完全2-挠率的椭圆曲线的类似问题。Greicius之后，我们获得了相关的adelic表示是最大的充要条件，并开发了一个电池的计算有效的测试，可以用来验证这些条件。我们能够使用我们的测试来构造Q（alpha）上具有最大像的无限曲线族，其中alpha是x^3 + x + 1的实根。接下来，我们将Greicius的测试扩展到更一般的设置，如任意立方数域上的非半稳定椭圆曲线。最后，我们对任意扭子群的这类问题进行了一般性的讨论。
Torsion bounds for elliptic curves and Drinfeld modules
我们得到了定义在一个有限生成域K上的给定椭圆曲线或Drinfeld模上的L-有理扭点个数的渐近最优上界，它是次数[L：K]的函数.我们的主要工具是adelic开放的形象伽罗瓦表示重视椭圆曲线和德林费尔德模块，由于塞尔和粉红Ruetsche，分别。我们的方法是证明某些伽罗瓦模的一般结果，它同时适用于椭圆曲线和Drinfeld模。
Gauss sums, Jacobi sums and cyclotomic units related to torsion Galois modules
设$G$是一个有限群，$N/E$是数域的一个弱分歧的$G$ -Galois扩张.我们展示了如何Stickelberger的高斯和因子分解可以用来确定稳定的同构类的各种算术$\mathbb{Z}[G]$ -模块附加到$N/E$。如果$\mathcal{O}_N$和$\mathcal{O}_E$分别表示$N$和$E$的整数环，我们特别得到$\mathcal{O}_N\otimes_{\mathcal{O}_E}\mathcal{O}_N$定义了类群$\mathrm{Cl}(\mathbb{Z}[G])$中的平凡类，并且如果$N/E$也被假定为局部阿贝尔，则逆差的平方根（只要它存在）定义了与$\mathcal{O}_N$相同的类。这些结果是通过研究某些挠模类的Fröhlich表示得到的，这些挠模是在分圆数域中独立引入的。Gauss和Jacobi和以及Hasse-Davenport公式都是本文的研究内容。这些技术也适用于恢复稳定的自对偶$\mathcal{O}_N$（作为一个$\mathbb{Z}[G]$ -模块）。最后，当$G$是二元四面体群时，我们利用我们的结果结合Taylor定理找到了一个驯服的$G$-Galois扩张，其逆差的平方根在$\mathrm{Cl}(\mathbb{Z}[G])$中具有非平凡类.
On fields of definition of torsion points of elliptic curves with complex multiplication
对于定义在有理数上的任何椭圆曲线E，对于每个素数p，我们描述了附在E上的mod p伽罗瓦表示的图像。我们推导出这些曲线的扭点的定义域的信息，特别是我们分类所有的情况下，有扭点的伽罗瓦数域不包含CM的定义域。
Higher descents on an elliptic curve with a rational 2-torsion point
设$E$是数域$K$上的椭圆曲线。在$E$上的下降计算可以用来找到Mordell-Weil群的秩的上界，并计算覆盖曲线，以帮助搜索这个群的生成元。在Siksek、Womack和Stamminger的博士论文中开发的4-下降的一般方法已经在Magma中实现（当$K={\mathbb Q}$时），并且对于具有足够小的判别式的椭圆曲线工作良好。通过扩展Bremner和Cassels的工作，我们描述了当$E$有一个有理2-挠点时可以得到的改进。特别是，当$E$有充分的理性2-扭转，我们描述了一种方法，8-下降，是实用的椭圆曲线$E/{\mathbb Q}$与大的判别式。
On a conjecture for $\ell$-torsion in class groups of number fields: from the perspective of moments
证明了在任意数域的类群中，对每个整数$\ell \geq 1$，其$\ell$ -挠子群是非常小的（在适当的意义上，相对于数域的判别式）.在几乎所有的情况下，这一猜想的全部力量仍然是开放的，甚至部分进展是有限的。最近，$\ell$ -torsion猜想的平均版本取得了重大进展，主要依赖于数域的计数，这引起了人们对这两种问题如何关联的兴趣。本文给出了$\ell$ -挠猜想与Cohen-Lenstra挠猜想、固定判别数域的计数、有界判别数域（或相关不变量）的计数以及导体固定的椭圆曲线的计数之间的定量关系.所有这些考虑都加强了我们期望$\ell$ -挠猜想是正确的，尽管进展有限。我们的观点集中在逐点界，平均值和高阶矩之间的关系，并证明了“矩量法”的广泛实用性。"
Groups of generalized $G$-type and applications to torsion subgroups of rational elliptic curves over infinite extensions of $\mathbb{Q}$
近年来，人们对$\mathbb{Q}$的基扩张到无限扩张的椭圆曲线的扭子群的研究产生了浓厚的兴趣.本文研究了有限群$G$上的椭圆曲线$E$的挠率在基变换为Galois群$G$上的所有数域的合成时的情形.我们这样做，通过研究一个群论条件称为广义$G$型，这是一个必要条件的数域伽罗瓦群$H$被包含在该compositum。一般来说，群论允许人们将原来的问题简化为在许多模曲线上寻找有理点的问题。为了说明这种方法，我们完全确定的扭转结构发生的椭圆曲线定义在$\mathbb{Q}$和基地改变的所有领域的伽罗瓦群是$A_4$的合成。
Torsion of Drinfeld modules and equicharacteristic unimodular Galois covers
本文证明了群PSL（r，q^d）可以F_q（T）-正则地实现为纯超越域F_q（T）（t_1，.，t_{r-1}）如果r是偶数并且r/2与q^d-1互质。该方法是使用Drinfeld模的扭模方案（a la Shih）。如果人们对模形式有足够的控制，就可以把它变成一种算法来求显式方程。对于PSL（2，q^2），我们使用Drinfeld模形式来实现这一点。
Enumerating Galois extensions of number fields
本文研究数域伽罗瓦扩张的计数问题，通过给出具有给定伽罗瓦群且判别式有界的扩张数量的新上界，得到了判别式不超过X的伽罗瓦扩张数量的渐近公式，改进了Ellenberg和Venkatesh的已有结果。
Galois theory and torsion points on curves
本文综述了研究曲线扭点的几种伽罗瓦理论方法。特别地，我们给出了A. Tamagawa和目前的作者研究扭点的曲线与“普通好”或“普通半稳定”减少在一个给定的素数。我们还给出了以下猜想的新证明：（1）Manin-Mumford猜想：在一条亏格至少为2的曲线上，只有100个挠点被Albanese映射嵌入其Jacobian中;（2）Coleman-Kaskel-Ribet猜想：如果p是一个至少为23的素数，则位于曲线X_0（p）上的仅有的挠点，通过尖点嵌入嵌入其雅可比矩阵，是尖点（当X_0（p）是超椭圆且p不为37时，连同超椭圆分支点）。为了使论述尽可能有用，我们提供了我们讨论所需的关于模曲线的所有事实的参考。
Averages and higher moments for the $\ell$-torsion in class groups
我们证明了上界的平均大小的$\ell$ -扭转$\text{Cl}_K[\ell]$的类组的$K$，$K$贯穿某些自然家庭的数域和$\ell$是一个正整数。我们完善了一个关键的参数，在几乎所有的结果中使用这种类型的，其中链接上界$\text{Cl}_K[\ell]$的存在，许多素数分裂完全在$K$是小的判别式相比，$K$。我们的改进是通过引入一个新的家庭的专门的不变量的数域，以取代在这一论点的判别式，结合新的计数结果，这些不变量。对于文献中考虑的许多数域$K$族，例如，对于$d\in\{2,3,4,5\}$的所有度- $d$ -域族（以及如果是$d=4$，则为非$D_4$），这导致$\text{Cl}_K[\ell]$的平均和有时甚至更高的矩的上界显著改进。作为$d=2$情形的应用，我们得到了素数$p>3$的有界判别式的$D_p$ -域个数的最佳上界.
Torsion subgroups of rational elliptic curves over the compositum of all $D_4$ extensions of the rational numbers
设$E/\mathbb{Q}$是椭圆曲线，$\mathbb{Q}(D_4^\infty)$是$\mathbb{Q}$的所有扩张的合成，其Galois闭包的Galois群同构于$D_4$的有限个传递子群的次直积的商.本文首先证明了$\mathbb{Q}(D_4^\infty)$实际上是$\mathbb{Q}$的所有$D_4$扩张的合成，然后证明了$E(\mathbb{Q}(D_4^\infty))$的扭子群是有限的，并确定了其结构的24种可能性.我们也给出了一个完整的分类椭圆曲线，有每一种可能的扭转结构，根据其$j$ -不变量。
Torsion of elliptic curves over cubic fields
虽然不知道哪些群可以出现为立方数域上的椭圆曲线的挠群，但已知哪些群可以出现为无穷多个非同构曲线。我们将这些群的集合表示为$S$。本文讨论了三次域上椭圆曲线的挠率的三个问题。首先，我们研究了判别式绝对值最小且具有伽罗瓦群$S_3$的域上和判别式绝对值最小且具有伽罗瓦群$\Z/3\Z$的域上的椭圆曲线的可能挠群.其次，对除两个群$G\in S$外的所有群，我们找到了具有最小判别式绝对值的域$K$，使得存在$G$为挠率的$K$上的椭圆曲线.最后，对每一个$G\in S$和每一个三次域$K$，我们确定是否存在无穷多个非同构的带挠$G$的椭圆曲线.
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