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arXiv 0810.39562008-10math.DSmath-phmath.MPmath.NT

非遍历方向集的豪斯多夫维数的二分法

Dichotomy for the Hausdorff dimension of the set of nonergodic directions

Yitwah Cheung, Pascal Hubert, Howard Masur

备注：: 45 pages, 2 figures. Added motivational material requested by referee, in particular, a detailed sketch of the proof of main theorem was added to introduction. The notion of Z-expansion/Liouville direction was added as in order to abstract the proof of the Hausdorff dimension zero result.

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摘要：

我们考虑在一个（1/2）× 1的长方形中的台球，在垂直边的中间有一个障碍物。设NE是方向θ的集合，使得在方向θ上的流不是遍历的。我们证明了集合NE的豪斯多夫维数是0或1/2，后者发生当且仅当障碍的长度满足P 'erez Marco条件，即（loglog q_{k+1}）/q_k的和是有限的，其中q_k是障碍的长度的第k次收敛的分母.

英文摘要：

We consider billiards in a (1/2)-by-1 rectangle with a barrier midway along a vertical side. Let NE be the set of directions theta such that the flow in direction theta is not ergodic. We show that the Hausdorff dimension of the set NE is either 0 or 1/2, with the latter occurring if and only if the length of the barrier satisfies the condition of P'erez Marco, i.e. the sum of (loglog q_{k+1})/q_k is finite, where q_k is the the denominator of the kth convergent of the length of the barrier.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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