Bad 减去范数 Dirichlet 的二分类现象
A dichotomy phenomenon for Bad minus normed Dirichlet
AI总结：
本文证明关于范数 Dirichlet 可改进数与坏逼近数交集的一个二分类现象：要么坏逼近数集合包含于该交集，要么其差集具有完全 Hausdorff 维数，并给出动力学解释。
摘要：
给定 $\mathbb{R}^2$ 上的一个范数 $\nu$，$\nu$-Dirichlet 可改进数集合 $\mathbf{DI}_\nu$ 在 Andersen-Duke（Acta Arith. 2021）和 Kleinbock-Rao（Internat. Math. Res. Notices 2022）的论文中被定义和研究。当 $\nu$ 是上确界范数时，$\mathbf{DI}_\nu = \mathbf{BA} \cup \mathbb{Q}$，其中 $\mathbf{BA}$ 是坏逼近数的集合。每个集合 $\mathbf{DI}_\nu$，如同 $\mathbf{BA}$，具有零测度并满足 Schmidt 的获胜性质。因此，对于每个范数 $\nu$，$\mathbf{BA} \cap \mathbf{DI}_\nu$ 是获胜的，从而具有完全 Hausdorff 维数。在本文中，我们证明以下二分类现象：要么 $\mathbf{BA} \subset \mathbf{DI}_\nu$，要么 $\mathbf{BA} \smallsetminus \mathbf{DI}_\nu$ 具有完全 Hausdorff 维数。我们为这两种情况各给出几个例子。该二分类基于 $\nu$ 的临界轨迹是否与一个预紧的 $g_t$-轨道相交，其中 $\{g_t\}$ 是 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ 的一参数对角子群，作用于 $\mathbb{R}^2$ 中幺模格空间 $X$ 上。因此，上述二分类由以下动力学陈述得出：对于格 $\Lambda\in X$，要么 $g_\mathbb{R} \Lambda$ 是无界的（那么任何预紧的 $g_{\mathbb{R}_{>0}}$-轨道最终必须避开 $\Lambda$ 的一个邻域），要么不是，在这种情况下，$X$ 中其 $g_{\mathbb{R}_{>0}}$-轨迹是预紧的且在其闭包中包含 $\Lambda$ 的格集合具有完全 Hausdorff 维数。
英文摘要：
Given a norm $ν$ on $\mathbb{R}^2$, the set of $ν$-Dirichlet improvable numbers $\mathbf{DI}_ν$ was defined and studied in the papers of Andersen-Duke (Acta Arith. 2021) and Kleinbock-Rao (Internat. Math. Res. Notices 2022). When $ν$ is the supremum norm, $\mathbf{DI}_ν= \mathbf{BA}\cup \mathbb{Q}$, where $\mathbf{BA}$ is the set of badly approximable numbers. Each of the sets $\mathbf{DI}_ν$, like $\mathbf{BA}$, is of measure zero and satisfies the winning property of Schmidt. Hence for every norm $ν$, $\mathbf{BA} \cap \mathbf{DI}_ν$ is winning and thus has full Hausdorff dimension. In the present article we prove the following dichotomy phenomenon: either $\mathbf{BA} \subset \mathbf{DI}_ν$ or else $\mathbf{BA} \smallsetminus \mathbf{DI}_ν$ has full Hausdorff dimension. We give several examples for each of the two cases. The dichotomy is based on whether the critical locus of $ν$ intersects a precompact $g_t$-orbit, where $\{g_t\}$ is the one-parameter diagonal subgroup of $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ acting on the space $X$ of unimodular lattices in $\mathbb{R}^2$. Thus the aforementioned dichotomy follows from the following dynamical statement: for a lattice $Λ\in X$, either $g_\mathbb{R} Λ$ is unbounded (and then any precompact $g_{\mathbb{R}_{>0}}$-orbit must eventually avoid a neighborhood of $Λ$), or not, in which case the set of lattices in $X$ whose $g_{\mathbb{R}_{>0}}$-trajectories are precompact and contain $Λ$ in their closure has full Hausdorff dimension.
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