High degree graphs contain large-star factors
Noga Alon, Nicholas Wormald
我们证明了任何具有最小度$d$的有限单图都包含一个生成星森林，其中每个连通分支的大小至少为$Ω((d/\log d)^{1/3})$。这解决了J. Kratochvil的一个问题。
We show that any finite simple graph with minimum degree $d$ contains a spanning star forest in which every connected component is of size at least $Ω((d/\log d)^{1/3})$. This settles a problem of J. Kratochvil.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Tree containment and degree conditions
我们调查的结果和开放的问题与树包含图，随机图，有向图和超图的度条件，以及它们在拉姆齐理论的应用。
Every graph contains a linearly sized induced subgraph with all degrees odd
证明了$n$上的无孤立点的图$G$包含一个诱导子图，其大小至少为$n/10000$且度都是奇数.这解决了图论中一个古老而著名的猜想。
A note on edge degree and spanning trail containing given edges
设$G$是一个单图，其顶点数为$n\geq4$，每条边$xy\in E(G)$为$d(x)+d(y)\geq n+k$.在这项工作中，我们证明了$G$包含一个跨越封闭的线索包含任何给定的边集$X$，如果$|X|\leq k$，或$G$是一个良好的特征图。作为推论，我们证明了这类图的线图是$k$ -Hamilton的.
The Extension Degree Conditions for Fractional Factor
在Gao的前期工作中，作者确定了在特定的条件下允许分数因子存在的图的几个图度条件。证明了如果对$G$中的所有顶点$x$都满足$b=f(x)=g(x)=a$，则这些度条件是紧的.本文继续讨论在去掉若干顶点和边，且对$G$中的每个顶点$x$，$g(x)$和$f(x)$之间存在一个$Δ$差的情况下，允许分数因子存在的度条件.这些新的度条件改写了Gao的结论，并说明了$Δ$在结果中的作用.此外，反例的结构，以揭示在设置$f(x)=g(x)+Δ$的程度条件的尖锐性。
Star-factors in graphs of high degree
证明了最小度$d$足够大的图都包含一个生成森林，其中每个分支都是一个大小至少为$\sqrt{d} - \tilde O(d^{1/4})$的星。这改进了Alon和Wormald的结果，并且对于低阶项是最优的。
Bipartite partition-connected factors with small degrees
本文证明了每个$2m$ -划分连通图$G$都有一个二部$m$ -划分连通因子$H$，使得对每个顶点$v$，$d_H(v)\le \lceil \frac{3}{4}d_G(v)\rceil$ .一个图$H$称为$m$ -划分连通的，如果它包含$m$边不相交的生成树.作为应用，我们得到了具有适当顶点数的足够坚韧的图具有最大度至多为$3m+1$的二部$m$ -划分连通因子。最后，我们证明了足够坚韧的图的阶至少$3k$允许一个二部连通因子，其度位于集合$\{k,2k,3k,4k\}$。
Simple Graphs of Order 12 and Minimum Degree 6 Contain K_6 Minors
证明了最小度为6的12阶单图都含有一个K_6子图。
Degree Sequences and the Existence of $k$-Factors
我们考虑了度序列$π$是强制$k$ -因子图的充分条件.我们注意到，以前的工作程度和因素主要集中在寻找条件的程度序列是潜在的$k$ -因素图形。我们首先给出了一个定理，$π$是强制1-因子图形，更一般地说，强制图形与不足至多$β\ge0$。这些定理在强度上等同于Chvátal的著名的哈密顿定理，即，哈密顿性的最佳单调度条件然后，我们给出了一个同样强的定理，$π$是强制2-因子图形。不幸的是，在从$k=1$到$k=2$的过程中，必须检查的非冗余条件的数量显著增加，并且我们推测，对于$k$ -因子的最佳单调定理中的非冗余条件的数量将在$k$中超多项式地增加。这表明希望找到一个定理$π$强制$k$ -因子图形的算法复杂性增长更慢。在最后一节中，我们提出了这样一个定理的任何$k\ge2$，基于Tutte的著名的因子定理。虽然这个定理是不是最好的单调，我们表明，它仍然是紧在一个精确的方式，并给出例子说明这种紧密性。
Minimum Degree Threshold for $H$-factors with High Discrepancy
给定图$H$，图$G$中的完美$H$ -因子是跨越$G$的$H$的顶点不相交副本的集合。Kühn和Osthus证明了一个图$G$包含一个完美$H$ -因子的最小度阈值可以由$1-1/χ(H)$或$1-1/χ_{cr}(H)$给出，这取决于某些自然整除性的考虑。给定一个$G$的阶为$n$，$G$的$2$ -边染色和$G$的一个子图$G'$，我们说$G'$具有高差异，如果它包含显着（在$n$中线性）更多的边。Balogh，Csaba，Pluhár和Treglown要求最小度阈值保证$G$的每一个2-边着色都有一个具有高差异的$H$ -因子，并且他们解决了$H$是团的情况。在这里，我们完全解决了这个问题，通过确定最小度阈值的高差异的$H$ -因素为每个图$H$。
On degree sum conditions for 2-factors with a prescribed number of cycles
对于图$G$的顶点子集$X$，设$Δ_{t}(X)$是大小为$t$的$X$的子集的度和的最大值。本文证明了如下结果：设$k$为正整数，$G$为$n \ge 5k - 2$阶的$m$ -连通图.如果对于$G$中大小为$\lceil m/k \rceil+1$的每个独立集合$X$，$Δ_{2}(X) \ge n$，则$G$具有恰好为$k$循环的2-因子。这是Brandt等人[Degree conditions for 2-factors，J. Graph Theory 24（1997）165-173]和Yamashita [On degree sum conditions for long cycles and cycles through specified vertices，Discrete Math.308（2008）6584-6587]分别获得的结果的共同推广。
Vertex degree sums for perfect matchings in 3-uniform hypergraphs
在无孤立点的3-图中，确定了保证完美匹配的两个邻顶点的最小度和。更准确地说，假设$H$是一个3-一致超图，其阶$n$足够大并且可被$3$整除。如果$H$不包含孤立顶点，并且对于包含在$H$的某条边中的任意两个顶点$u$和$v$，$deg(u)+ deg(v) > \frac{2}{3}n^2-\frac{8}{3}n+2$，则$H$包含完美匹配.这个界限很紧.
Spanning trees without adjacent vertices of degree 2
Albertson，Berman，Hutchinson和Kassen在1990年证明了存在高度连通图，其中每个生成树都包含2度的顶点。利用Alon和Wormald的一个结果，我们证明了存在一个自然数$d$，使得每个最小度的图至少包含一棵没有度为2的邻顶点的生成树.此外，我们证明了每个最小度至少为3的图都有一棵没有三个连续的度为2的顶点的生成树。
Low chromatic spanning sub(di)graphs with prescribed degree or connectivity properties
推广了Erdés和Lovász的著名结果，证明了每个图$G$都包含一个具有$λ(H)\geq \lceil{}\frac{k-1}{k}λ(G)\rceil$的生成$k$ -部子图$H$，其中$λ(G)$是$G$的边连通度.特别是，连同一个众所周知的结果，由于纳什-威廉姆斯和Tutte，这意味着每一个$7$ -边连通图包含一个生成二部图，其边集分解成两个边不相交的生成树。我们证明了这是最好的可能性，因为它不适用于无限多的$6$ -边连通图。对于有向图，文献[6]证明了不存在$k$使得每个$k$ -弧连通有向图都有一个生成强二部子有向图.证明了每个强有向图都有一个生成强三部子有向图，并且每个至少6个顶点的强半完全有向图都有一个生成强二部子有向图。\jbj{We generalize this result to higher connectivities by proving}证明了，对于每个正整数$k$，每个$k$ -弧连通有向图包含一个生成$(2k+1$）-有部子图是$k$ -弧连通的，这是最佳可能的.文[18]中的一个猜想是：每个最小出度$2k-1$的有向图都包含一个最小出度至少为$k$的生成$3$ -部子有向图.通过给出一类具有最小出度$2k-2$的有向图，证明了有界$2k-1$是最佳可能的，这类有向图不包含任何出度至少为$k$的生成$3$ -部子有向图.证明了最小半度至少为…
Minimum degree of minimal (\emph{n}-10)-factor-critical graphs
一个$n$阶的图$G$被称为是整数$1\leq k < n$的$k$ -因子关键图，如果除去任何$k$顶点都能得到一个完美匹配的图。一个$k$ -因子临界图$G$称为最小的，如果对于任何边$e\in E(G)$，$G-e$不是$k$ -因子临界的. 1998年，O. Favaron和M.证明了$n$阶的极小$k$ -因子-临界图都有最小度$k+1$，并对$k=1, n-2, n-4$和$n-6$证明了这一点.通过使用一种新的方法，我们已经证实了它的$k = n - 8$在以前的文件。继续这种方法，本文证明了该猜想对$k=n-10$是成立的.
The minimum degree of minimal $k$-factor-critical claw-free graphs*
本文证实了Favaron和Shi关于最小k-因子临界图最小度为k+1的猜想对无爪图成立，并给出了(k+1)-连通情形下度为k+1的顶点数下界，为Norine和Thomas关于最小砖块的猜想提供了新证据。
Vizing's 2-factor Conjecture Involving Toughness and Maximum Degree Conditions
设$G$是简单图，$Δ(G)$和$χ'(G)$分别表示$G$的最大度和色指数. Vizing证明是$χ'(G)=Δ(G)$或$Δ(G)+1$。如果对$G$的每个真子图$H$，$χ'(G)=Δ+1$和$χ'(H)<χ'(G)$都成立，则称$G$是$Δ$ -临界的. 1968年，Vizing证明了如果$G$是一个$Δ$ -临界图，那么$G$有一个2-因子.设$G$是$n$ -顶点$Δ$ -临界图.证明了如果$Δ(G)\ge n/2$，则$G$有2-因子;如果$Δ(G)\ge 2n/3+12$，则$G$有一个哈密顿循环，因此有2-因子。众所周知，每一个至少有三个顶点的2-坚韧图都有一个2-因子。我们研究了在给定韧性和最大度的条件下，$Δ$临界图中2-因子的存在性。特别地，我们证明了如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，其韧性至少为3/2，最大度至少为$n/3$，则$G$有一个2-因子.此外，我们开发了新的技术，证明存在的2-因子的图。
Disjoint cycles covering specified vertices in bipartite graphs with partial degrees
令$k$为正整数。设$G$是一个具有二分图$(X, Y)$的$2n$阶平衡二部图，$S$是$X$的子集.设每对不相邻的顶点$(x,y)$和$x\in S, y\in Y$满足$d(x)+d(y)\geq n+1$ .证明了如果$|S|\geq 2k+2$，则$G$包含覆盖$S$的$k$不相交圈，使得每个$k$圈至少包含$S$的两个顶点.这里，度条件和$|S|$的下界都是最佳可能的。并且证明了如果$|S|=2k+1$，则$G$包含$k$不交圈，使得每个$k$圈至少包含$S$的两个顶点.
Minimum degree condition for spanning generalized Halin graphs
没有2度顶点的生成树称为同胚不可约生成树（Homomorphically irreducible spanning tree，HIST）。基于嵌入在平面上的HIST，将树的叶子按照嵌入确定的循环顺序连接成一个圈，形成一个Halin图。图是否包含HIST或图是否包含生成Halin图的判定问题都是NP-完全的。Albertson，Berman，Hutchinson，and Hutchinassen在1990年证明了{\it每个至少有四个顶点的曲面三角剖分都包含HIST}\（已证实）。Lovász和Plummer证明了{\it每一个4-连通平面三角剖分包含一个生成Halin图}\，（不成立）。平衡上述两个事实，在本文中，我们考虑广义Halin图，这是一类比HIST“强”但在构造约束意义上比Halin图“弱”的图结构。更确切地说，广义Halin图是由一个HIST通过连接它的叶子形成一个圈而形成的。由于广义Halin图不需要是平面图，我们研究了图包含它作为生成子图的最小度条件。证明了存在正整数$n_0$，使得任何顶点数为$n\ge n_0$且最小度至少为$(2n+3)/5$的3连通图都包含一个生成广义Halin图.作为一个应用，这个结果意味着在同样的条件下，图$G$包含一个至少为$n/2$阶的轮子.结果中的最小度条件是最好的。
Minimum degree conditions for containing an $r$-regular $r$-connected subgraph
研究了当$n$ -顶点图$G$包含一个$r$ -正则$r$ -连通子图时的最优最小度条件.我们证明了$r$固定和$n$大的条件是$δ(G) \ge \frac{n+r-2}{2}$时，$nr \equiv 0 \pmod 2$。这回答了M的一个问题。克里塞尔
Vertex degree sums for matchings in 3-uniform hypergraphs
令$n, s$是正整数，使得$n$足够大，并且$s\le n/3$。设$H$是一个3-一致的阶为$n$的超图.如果$H$不包含孤立的顶点，并且对于包含在$H$的某个边中的任何两个顶点$u$和$v$，有$deg(u)+ deg(v) > 2(s-1)(n-1)$，则$H$包含大小为$s$的匹配。这种度和条件是最好的可能性，并证实了作者的猜想[电子。25（3），2018]，谁证明了案件时，$s= n/3$ .
A Degree Condition for a Graph to have $(a,b)$-Parity Factors
令$a,b,n$是三个正整数，使得$a\equiv b\pmod 2$和$n\geq b(a+b)(a+b+2)/(2a)$。设$G$是阶为$n$的图，其最小度至少为$a+b/a-1$ .我们证明了$G$有一个$(a,b)$ -奇偶因子，如果对$G$的任意两个不相邻的顶点$u,v$有$max\{d_G(u),d_G(v)\}\geq \frac{an}{a+b}$.它是Nishimura关于$k$ -因子存在性的结果（\emph{J. Graph Theory}，\textbf{16}（1992），141- 151）的推广，并在某种意义上推广了Li和Cai的结果（\emph{J. Graph Theory}，\textbf{27}（1998），1- 6）.这些条件很严格。
Disjoint cycles with length constraints in digraphs of large connectivity or minimum degree
Lichiardopol的一个猜想指出，对于每一个$k \ge 1$，存在一个整数$g(k)$，使得每一个最小出度至少为$g(k)$的有向图包含两两不同长度的$k$顶点不相交有向圈。受Lichiardopol猜想的启发，本文研究了大连通度或大最小度有向图中满足长度约束的点不相交有向圈的存在性。我们的主要结果是：对于每个$k \in \mathbb{N}$，存在$s(k) \in \mathbb{N}$使得每个强$s(k)$ -连通有向图包含两两不同长度的$k$顶点不相交有向圈.相反，对于每一个$k \in \mathbb{N}$，我们构造了一个强$k$ -连通有向图，其中不包含两个点或弧不相交的相同长度的有向圈。$g(3)$是否存在是一个悬而未决的问题。本文证明了整数$K$的存在性，使得每一个最小出度和入度至少为$K$的有向图都含有两两不同长度的$3$顶点不相交有向圈.
Cut-edges and regular factors in regular graphs of odd degree
研究$(2r+1)$ -正则图中的$2k$ -因子. Hanson，Loten和Toft证明了：每个至多有$2r$割边的$(2r+1)$ -正则图都有一个$2$ -因子.我们推广了他们的结果，证明了对于$k\le(2r+1)/3$，每个至多有$2r-3(k-1)$割边的$(2r+1)$ -正则图都有一个$2k$ -因子.对$k$的限制和对切割边数目的限制都是尖锐的。我们刻画了具有完全$2r-3(k-1)+1$割边但没有$2k$ -因子的图.对于$k>(2r+1)/3$，有一些图没有割边，没有$2k$ -因子，如Bollobás，Saito和Wormald所研究的。
Decomposing $C_4$-free graphs under degree constraints
Stiebitz的一个著名定理指出，任何最小度至少为$s+t+1$的图都可以划分为两部分，这两部分分别导出两个最小度至少为$s$和$t$的子图.这就解决了马森的一个猜想。本文证明了：对于$s,t\geq 2$，如果图$G$不含长度为4的圈，且最小度至少为$s+t-1$，则$G$可划分为两部分，这两部分分别导出最小度至少为$s$和$t$的两个子图.这改进了Diwan的结果，Diwan证明了围长至少为5的图的相同陈述。我们的证明也适用于可变函数的情况下，其中的界限是尖锐的，如一些极性图所示。作为一个推论，任何不包含最小度至少为$k+1$的长度为4的圈的图都包含$k$顶点不交圈。
Balanced subdivisions of a large clique in graphs with high average degree
1984年，Rassen证明了对于每个常数$k \in \mathbb{N}$，存在$d$使得每个平均度至少为$d$的图都包含完全图在$k$顶点上的平衡细分，即每条边被细分相同次数的细分。最近，Liu和Montgomery证实了Mr.Lassen的猜想。我们证明了对于每个常数$0<c<1/2$，每个平均度至少为$d$的图包含大小至少为$Ω(d^{c})$的完全图的平衡细分。请注意，这个界限几乎是最优的。此外，我们表明，每个稀疏扩展的最低程度至少$d$包含一个平衡的细分的大小至少$Ω(d)$的完全图。
On path factors of (3,4)-biregular bigraphs
（3，4）-双正则偶图G是一个二部图，其中一部分的所有顶点的度为3，另一部分的所有顶点的度为4.图G的路因子是一个生成子图，它的分支是非平凡路.证明了简单（3，4）-双正则偶图总有一个路因子使得每条路的端点的度为3。此外，我们提出了一个多项式算法的建设这样的路径因子。
Spanning Factorizations in Vertex-Transitive Digraphs of Degree 2
针对出度为d的顶点传递有向图中生成1-因子分解的存在性问题，本文聚焦d=2的情况，利用交替环和块系结构提出块/阶段框架，得到同时包含两条出边的充分条件，证明块障碍的影响及强传递集的存在性，并给出可行块大小约束等结果。
Sufficient conditions for a graph with minimum degree to be k-critical with respect to [1,b]-odd factor
本文研究了图在最小度数条件下成为k-奇因子临界图的充分条件，结合图的大小和谱半径给出了相关结论。
Some sufficient conditions for a graph with minimum degree to be $k$-critical with respect to $[1,b]$-odd factors
本文基于距离谱半径和距离无符号拉普拉斯谱半径，研究了图的最小度数为k-奇因子临界图的充分条件。
The existence of $m$-tree-connected $(g,f+f'-m)$-factors using $(g,f)$-factors and $m$-tree-connected $(m,f')$-factors
设$G$是一个图，$g$、$f$和$f'$是$V(G)$上的三个正整数值函数，其中$g\le f$ . Tokuda，Xu，and Wang（2003）证明了如果$G$包含一个$(g,f)$ -因子和一个生成$f'$ -树，那么$G$也包含一个连通的$(g,f+f'-1)$ -因子.在本文中，我们通过证明如果$G$包含一个$(g,f)$ -因子和一个$m$ -树连接的$(m,f')$ -因子，则$G$也包含一个$m$ -树连接的$(g,f+f'-m)$ -因子，条件是$f\ge m$。此外，我们表明，$g$允许非负。
Half-regular factorizations of the complete bipartite graph
我们考虑一个二部版本的颜色度矩阵问题。一个二部图$G(U,V,E)$是半正则的，如果$U$中的所有顶点都具有相同的度。给出了二分度矩阵（也称为需求矩阵）是边不交半正则图并的色度矩阵的充要条件。我们也给出了必要和充分的扰动，以转换成彼此的半正则度矩阵的实现。基于这些扰动，设计了一种马尔可夫链蒙特卡罗方法，其中接受比的逆是多项式有界的。半正则度矩阵的实现是拉丁方的推广，它们也出现在应用神经科学中。
Graph reconstruction and generation from one card and the degree sequence
许多度序列只能在包含“ds-可完全卡”的图中实现，定义为顶点删除子图，如果知道原始图的度序列，则可以从其度中识别删除顶点的以前邻居。我们得到了度序列上的条件，使得度序列满足其中一个条件的图必含有这样的卡。该方法允许所有这样的序列图的顺序高达10被识别，和一些分数的序列更大的图。在其他应用中，这可以用于减少生成给定度序列的图而没有重复的计算任务。
Edge-colouring and orientations: applications to degree- and $χ$-boundedness
论文通过推广Ramsey定理，证明大度数图中存在单色子图保持大度数，并由此得出大度数图包含大传递竞赛或大度数反向图的结论，进一步证明某些度数有界图类的性质。
Subdivisions of maximal 3-degenerate graphs of order $d+1$ in graphs of minimum degree $d$
本文证明了最小度至少为$d \ge 1$的图都包含某个阶为$d+1$的极大3-退化图的一个剖分.这推广了Dirac（$d=3$）和Pelikán（$d=4$）的经典结果.我们猜想：对于任意阶为$d+1$的平面极大3-退化图$H$和任意最小度至少为$d$的图$G$，$G$包含$H$的一个细分.我们在$H$是$P_6^3$且$P_7^3$的情况下验证了这一点
2-factors with k cycles in Hamiltonian graphs
狄拉克定理的一个著名的推广是：如果一个图$G$在$n\ge 4k$顶点上的最小度至少为$n/2$，那么$G$包含一个$2$ -因子，该因子恰好由$k$圈组成。很容易看出，这在最小度的界限方面是紧的。然而，如果另外假设$G$是哈密尔顿算子，则已经证明，最小度上的界限可以放宽。事实证明，这是真的。在随后的论文中，最小度界得到了改进，最近由DeBiasio，Ferrara和Morris改进为$(2/5+\varepsilon)n$。另一方面，没有接近这一点的下界是已知的，所有关于这个主题的论文都在问最小度是否需要线性。我们回答了这个问题，通过证明在$n.$中，大哈密顿图具有由固定圈数组成的$2$ -因子所需的最小度是次线性的
A Degree Condition for Graphs Having All $(a,b)$-Parity Factors
令$a$和$b$是正整数，使得$a\leq b$和$a\equiv b\pmod 2$。如果$G$对每个函数$h: V(G) \rightarrow \{a,a+2,\ldots,b-2,b\}$都有一个$h$-因子，且$b|V(G)|$为偶数，对所有$v\in V(G)$都有$h(v)\equiv b\pmod 2$，则我们说$G$具有所有$(a, b)$ -奇偶因子.本文证明了：每个顶点为$n\geq 3(b+1)(a+b)$的图$G$都有$(a,b)$ -奇偶因子，若$δ(G)\geq (b^2-b)/a$，且对任意两个不相邻的顶点$u,v \in V(G)$，有$\max\{d_G(u),d_G(v)\}\geq \frac{bn}{a+b}$ .此外，我们证明了这个结果在某种意义上是最好的。
Strong connectivity and directed triangles in oriented graphs. Partial results on a particular case of the Caccetta-Häggkvist conjecture
Caccetta-Häggkvist猜想的一个特例是，一个最小出度至少为$1/3n$的$n$阶有向图包含一个长度至多为3的有向圈。最近，Kral，Hladky和Norine证明了最小出度至少为$0.3465n$的$n$阶有向图包含长度不超过3的有向圈（这是目前最好的结果）.一个较弱的特殊情况是，最小半度至少为$1/3n$的$n$阶有向图包含有向三角形。在最近的一篇文章中，作者利用Kral等人的结果证明了：对于$β\geq 0.343545$，任何阶为$n$且最小半度至少为$βn$的有向图$D$都包含一个长度至多为3的有向圈（这是目前最好的结果）.这意味着，对于给定的整数$d\geq 1$，每一个具有最小半度$d$且阶为$md$且阶为$m\leq 2.91082$的有向图都包含一个长度至多为3的有向圈。特别地，每一个具有最小半度$d$且阶$md$具有$m\leq 2.91082$的有向图都包含有向三角形。本文利用Kral等人的结果证明了：每一个半度为最小$d$，序为$md$且序为$2.91082< m\leq 3$，强连通度至多为$0.679d$的有向图都包含有向三角形.这将通过更一般和更精确的结果来暗示，不仅对$2.91082< m\leq 3$有效，而且对更大的$m$值也有效。作为应用，改进了已有的两个结果.第一个结果（作者Broersma和Li）涉及一个$n$阶且最小半度至少为…
Positive co-degree Turán number for $C_5$ and $C_5^{-}$
非空$r$ -图$H$的\emph{minimum positive co-degree} $δ^{+}_{r-1}(H)$是最大$k$，使得如果$S$是包含在$H$的超边中的$(r-1)$ -集，则$S$至少包含在$H$的$k$超边中。对于任何$r$ -图$F$，\emph{positive degree Turán number} $\mathrm{co}^{+}\mathrm{ex}(n,F)$被定义为在所有$n$ -顶点$F$ -自由的非空$r$ -图$H$上的$δ^{+}_{r-1}(H)$的最大值.本文确定了$C_5$和$C_5^{-}$的正度Turán数.
Cycle lengths and minimum degree of graphs
关于最小度大的图的圈长问题已经有了广泛的研究。本文在这方面得到了几个新的严格结果。设$G$是最小度至少为$k+1$的图.证明了：如果$G$是二部的，则在$G$中存在$k$圈，其长度构成一个公差为2的等差数列.对于一般图$G$，我们证明了$G$包含连续偶数长度的$\lfloor k/2\rfloor$圈和长度构成公差为1或2的等差数列的$k-3$圈.此外，如果$G$是2-连通的且非二部的，则$G$包含连续奇数长度的$\lfloor k/2\rfloor$圈。Lassen（1983）对模$k$的圈长做了两个证明：（1）最小度至少为$k+1$的图包含模$k$的所有偶数长度的圈;（2）最小度至少为$k+1$的2-连通非二部图包含模$k$的所有长度的圈。这两个假设，如果是真的，是最好的可能。当$k$为偶数时，我们的结果证实了这两种假设。当$k$是奇数时，我们证明了最小度至少为$k+4$就足够了.这改进了以前在这个方向上的所有结果。此外，我们的结果得到了新的上界的色数的最长序列的循环连续（偶数或奇数）的长度。
Rainbow factors in hypergraphs
对于任意的$r$ -图$H$，我们考虑在具有大的最小$\ell$ -度和适当有界的边着色的$r$ -图$G$中寻找彩虹$H$ -因子的问题.我们表明，渐近程度阈值是相同的，找到一个$H$ -因素。
$K_r$-Factors in Graphs with Low Independence Number
Hajnal和Szemerédi在1970年的一个经典结果确定了保证图包含$K_r$ -因子所需的最小度条件。也就是说，任何在$n$顶点上的图，其最小度为$δ(G) \ge \left(1-\frac{1}{r}\right) n$且$r$除$n$，都有一个$K_r$ -因子。这个结果是紧的，但极值例子是唯一的，因为它们都有一个大的独立集，这是瓶颈。Nenadov和Pehova证明，通过要求一个次线性独立数，可以改进Hajnal-Szemerédi定理中的最小度条件。我们证明了，在相同的最小度和次线性独立数下，我们可以找到一个团因子，团因子的大小是团因子的两倍。更正式地说，我们证明了对于每个$r\in \mathbb{N}$和常数$μ>0$，存在正常数$γ$，使得每个具有$δ(G)\ge \left(1-\frac{2}{r}+μ\right)n$和$α(G) < γn$的$n$顶点上的图$G$具有$K_r$ -因子。我们还给出了例子，表明最小度条件是渐近最好的可能。
Induced subgraphs with many distinct degrees
令$\hom(G)$表示图$G$的最大团或独立集的大小。在2007年，Bukh和Sudakov证明了每个具有$\hom(G) = O(\log n)$的$n$ -顶点图$G$都包含一个具有$Ω(n^{1/2})$不同度的导出子图，并提出了一个问题：对于每个具有$\hom(G) = O(n^ε)$的$n$ -顶点图$G$，是否有类似的结果，其中$ε> 0$是一个固定常数。在这里，我们肯定地回答他们的问题，并证明了每个图$G$上的$n$顶点包含一个诱导子图与$Ω((n/\hom(G))^{1/2})$不同的程度。我们还证明了一个更强的结果图与大集团或独立集，并显示，对于任何固定的$k \in \mathbb{N}$，如果一个$n$顶点图$G$不包含诱导子图与$k$不同程度，那么$\hom(G) \ge n/(k-1)-o(n)$，这个界基本上是最好的可能。
Minimum degree of 3-graphs without long linear paths
图论中的一个著名定理指出，在$n$顶点和最小度至少为$d$的每个图$G$包含长度至少为$d$的路，并且如果$G$是连通的并且$n\ge 2d+1$，则$G$包含长度至少为$2d$的路（Dirac，1952）。本文将Dirac的结果推广到超图。给出了3-图的最小度的渐近下界，并证明了该下界是紧的。
Spanning Trees in Graphs of High Minimum Degree with a Universal Vertex I: An Asymptotic Result
在本文和一个配套文件中，我们证明了，如果$m$是足够大的，每个图的$m+1$顶点，有一个通用的顶点和最小度至少$\lfloor \frac{2m}{3} \rfloor$包含每个树$T$与$m$作为一个子图。我们的结果证实了，对于大的$m$，最近由Havet，Reed，Stein和Wood猜想的一个重要特例。本文件已经包含了一个近似的版本的结果。
C4-free subgraphs with large average degree
出于一个长期存在的猜想的Almassen，我们研究多大的平均度的图需要暗示它包含一个$C_4$ -免费的子图，平均度至少$t$。Kühn和Osthus证明了一个在t中为双指数的平均度界是足够的。我们给出了一个简短的证明这个界限，然后将其减少到一个单一的指数。也就是说，我们证明了任何平均度至少为$2^{ct^2\log t}$的图$G$（对于某个常数$c>0$）包含一个平均度至少为$t$的无$C_4$子图。最后，我们给出了一个结构，提高了这个问题的下界，表明这个初始的平均度必须至少是$t^{3-o(1)}$。
Local Resilience for Containment of Bounded Degree Spanning Subgraphs
本文证明了随机图生成子图在最小度条件下可包含所有满足特定三角形外顶点条件的有界度图，给出了Sauer-Spencer定理的稀疏局部韧性版本，并允许H为扩张图。
Highly tree-connected complementary modulo factors with bounded degrees
设$G$是一个二分图，$(X,Y)$是一个二分图，$k$是一个正整数，$f:V(G)\rightarrow Z_k$是一个与$\sum_{v\in X}f(v) \stackrel{k}{\equiv}\sum_{v\in Y}f(v)$的映射.在本文中，我们证明了，如果$G$是$(2m+2m_0+4k-4)$ -边连通和$m+m_0>0$，那么$G$有一个$m$ -树连通因子$H$，使得它的补是$m_0$ -树连通的，并且对于每个顶点$v$，$d_H(v)\stackrel{k}{\equiv} f(v)$和$$\lfloor\frac{d_G(v)}{2}\rfloor-(k-1)-m_0\le d_{H}(v)\le \lceil\frac{d_G(v)}{2}\rceil+k-1+m.$$，我们把这个结果推广到一般的图，并得到了一个高边的充分度条件，连接的一般图$G$具有连接因子$H$，使得对于每个顶点$v$，$d_H(v)\in \{f(v),f(v)+k\}$。最后，我们证明了每一个$(4k-2)$ -树连通图都存在一个度可被$k$整除的二部连通因子.
Irregular Subgraphs
本文提出了两个相关的定理来处理图的生成不规则子图的存在性。第一个断言，任何$d$ -正则图上的$n$顶点包含一个生成子图，其中$0$和$d$之间的每个度的顶点数偏离$\frac{n}{d+1}$最多$2$。第二个条件是$n$顶点上的每一个最小度$δ$的图都包含一个生成子图，其中每个度的顶点数不超过$\frac{n}{δ+1}+2$。这两个结构仍然开放，但我们证明了几个渐近松弛的图与大量的顶点$n$。特别地，我们证明了，如果$d^3 \log n \leq o(n)$，那么每个$d$ -正则图与$n$顶点包含一个生成子图，其中$0$和$d$之间的每个度的顶点数是$(1+o(1))\frac{n}{d+1}$。我们还证明了任何具有$n$顶点和最小度$δ$的图都包含一个生成子图，其中没有度重复超过$(1+o(1))\frac{n}{δ+1}+2$次。
Logarithmically-small Minors and Topological Minors
Mader证明了对于每一个整数$t$，都存在一个最小的实数$c(t)$，使得任何平均度至少为$c(t)$的图都必须包含一个$K_t$ -子图. Fiorini，Jaret，Theis和Wood证明了任何具有$n$顶点且平均度至少为$c(t)+ε$的图都必须包含一个至多由$C(ε,t)\log n$顶点组成的$K_t$ -子式. Shapira和Sudakov随后证明了这样一个图包含一个至多由$C(ε,t)\log n \log\log n$顶点组成的$K_t$ -子图。在这里，我们建立在他们的方法使用图扩展，以消除$\log\log n$因素，并证明猜想。Mader还证明了对于每一个整数$t$都有一个最小的实数$s(t)$，使得任何平均度大于$s(t)$的图都必须包含一个$K_t$ -拓扑子图。我们证明了，对于足够大的$t$，图的平均度至少$(1+ε)s(t)$包含一个$K_t$ -拓扑子最多由$C(ε,t)\log n$顶点。最后，我们证明了，对于足够大的$t$，图的平均度至少$(1+ε)c(t)$包含一个$K_t$ -小组成的最多$C(ε,t)$顶点或$K_t$ -拓扑小组成的最多$C(ε,t)\log n$顶点。
Vizing's 2-factor Conjecture Involving Large Maximum Degree
设$G$是$n$阶连通简单图，$Δ(G)$和$χ'(G)$分别表示$G$的最大度和色指数. Vizing证明了$χ'(G)=Δ(G)$或$Δ(G)+1$。根据该结果，如果每个$e\in E(G)$均为$χ'(G)=Δ(G)+1$和$χ'(G-e)=Δ(G)$，则将$G$称为$Δ$ -关键。1968年，Vizing证明了如果$G$是$n$ -顶点$Δ$ -临界图，则独立数$α(G)\le n/2$ .此外，他强调，事实上，PDMATHAMM有一个2因子。Luo和Zhao证明了：如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，且具有$Δ(G)\ge n/2$，则$α(G)\le n/2$ .最近，他们证明了如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，且有$Δ(G)\ge 6n/7$，则$G$有一个哈密尔顿圈，因此$G$有一个2-因子。本文证明了：如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，且有$Δ(G)\ge n/2$，则$G$有2-因子.
A Note On Edge Connectivity and Parity Factor
本文利用Lovász的（g，f）-宇称定理研究了一些宇称因子。令$m>0$为整数。首先，我们得到了某些图具有限制最小度的奇偶因子的一个充分和必要条件。其次，根据图的边连通度，得到了图具有最小度$m$的奇偶因子的一些充分条件。
On directed 2-factors in digraphs and 2-factors containing perfect matchings in bipartite graphs
本文给出了如下结果：若$D$是一个阶为$n$的有向图，且若对每两个不同的顶点$u$和$v$，有$d_{D}^{+}(u) + d_{D}^{-}(v) \ge n$且有$(u, v) \notin A(D)$，则$D$有一个有向$2$ -因子，其中恰好有长度至少为$3$的$k$有向圈，其中$n \ge 12k+3$ .这个结果等价于下面的结果：如果$G$是一个平衡的二部图，它的序为$2n$，有部集$X$和$Y$，并且如果$d_{G}(x)+d_{G}(y) \ge n + 2$对每两个顶点$x \in X$和$y \in Y$都有$xy \notin E(G)$，那么对每一个完美匹配的$M$，$G$有一个$2$ -因子，它的$k$圈的长度至少为$6$，包含$M$的每条边，其中$n \ge 12k+3$。这些结果分别是Woodall（1972）和Las Vergnas（1972）关于Hamilton圈的定理的推广。
Cliques in C_4-free graphs of large minimum degree
如果图$G$不包含圈$C_4$作为导出子图，则称它为无$C_4$图. Hubenko，Solymosi和第一作者证明（回答一个问题的Erd \H OS）一个特殊的性质$C_4$ -免费图：$C_4$图与$n$顶点和平均度至少$cn$包含一个完整的子图（团）的大小至少$c'n$（与$c'= 0.1c^2n$）。我们在这里证明了更好的界限（${c^2n\over 2+c}$一般和$(c-1/3)n$时，$ c \le 0.733$）从更强的假设，即$C_4$ -自由图有最小度至少$cn$。我们的主要结果是正则图的一个定理，在上面提到的文件中得到证明：$2k$ -正则$C_4$ -free图的$4k+1$顶点包含一个团的大小为$k+1$ .这最好由周期$C_{4k+1}$的$k$次幂表示。
Ore-degree threshold for the square of a Hamiltonian cycle
Dirac在1952年提出的一个经典定理是：每一个最小度至少为n/2的图都包含一个哈密顿圈。1963年，Pósa证明了每一个最小度至少为2n/3的图都包含一个哈密顿圈的平方。在1960年，矿石放宽了度条件的狄拉克定理证明，每一个图与$deg(u) + deg(v) \geq n$的每一个$uv \notin E(G)$包含一个哈密顿圈。最近，Châu使用正则性-爆破方法证明了$n\geq n_0$顶点上图的Pósa猜想的Ore型版本;因此$n_0$非常大（涉及塔函数）。在这里，我们提出了另一个证明，避免使用的正则性引理。除了我们的证明适用于更小的$n_0$这一事实之外，我们相信我们的证明方法将是独立的。
Number of 1-factorizations of regular high-degree graphs
$n$ -顶点图$G$中的$1$ -因子是$\frac{n}{2}$顶点不相交边的集合，并且$G$的$1$ -因子分解是将其边划分成边不相交的$1$ -因子。显然，$G$的$1$ -因式分解不存在，除非$n$是偶数，并且$G$是正则的（即所有顶点的次数相同）。在图中寻找$1$ -因子分解的问题可以追溯到1847年柯克曼的一篇论文，从那时起就得到了广泛的研究。判定一个图是否有$1$ -因子分解通常是一个非常困难的问题。例如，它花了60多年的时间和令人印象深刻的巡回赛的力量Csaba，Kühn，Lo，Osthus和Treglown证明一个古老的猜想狄拉克从20世纪50年代，这说，每一个$d$ -正则图上$n$顶点包含一个$1$ -因子分解，只要$n$是偶数和$d\geq 2\lceil \frac{n}{4}\rceil-1$。在本文中，我们解决的自然问题估计$F(n,d)$，$d$ -正则图的$1$ -因子分解的数量在偶数个顶点，提供$d\geq \frac{n}{2}+\varepsilon n$。Ferber和Jain最近的一个结果，这本身改善了卡梅隆从20世纪70年代的结果，改进后，我们表明，$F(n,d)\geq \left((1+o(1))\frac{d}{e^2}\right)^{nd/2}$，这是渐近最好的可能。
Connected even factors in the square of essentially 2-edge connected graphs
本文证明了具有附加性质的本质2-边连通图的平方有最大度不超过4的连通偶因子。此外，我们还证明了本质2-边连通图的平方一般不含最大度有界的连通偶因子。
The minimum color degree and a large rainbow cycle in an edge-colored graph
设$G$是一个顶点数为$n$的边有色图.如果$E(H)$中每对边的颜色不同，则称$G$的子图$H$为$G$的彩虹子图。我们定义$G$的最小颜色度为对于所有$v\in V(G)$，入射到顶点$v$的边的颜色的最小数目。假设$G$不包含长度为4的彩虹循环子图。证明了如果$G$的最小色度至少为$\frac{n+3k-2}{2}$，则$G$包含一个长度至少为$k$的彩虹循环子图，其中$k\geq 5$ .此外，如果$G$的条件被限制为包含长度至少为$\frac{3k}{2}$的彩虹路径的无三角形图，则保证存在长度至少为$k$的彩虹循环子图的$G$的最小色度的下界可以被降低到$\frac{2n+3k-1}{4}$。
Vertex-disjoint directed cycles of prescribed length in tournaments with given minimum out-degree
Bermond-Schlassen猜想指出，对于任意正整数$r$，最小出度至少为$2r-1$的有向图至少包含$r$点不交有向圈.在2014年，Bang-Jensen，Bessy和Bassass ' e证明了竞赛猜想。在2010年，Lichiardopol证明了最小出度至少为$(q-1)r-1$的锦标赛$T$至少包含$r$顶点不相交的$q$ -圈，其中整数为$q\geq3$和$r\geq1$。本文肯定地讨论了Lichiardopol猜想。特别地，$q=3$的情况下，意味着Bermond-Bermassen猜想的比赛。
The smallest degree sum that yields potentially K_{r+1}-Z-graphical Sequences
设$K_{m}-H$是从$K_{m}$中去掉图$H$的边集$E(H)$而得到的图（$H$是$K_{m}$的子图）。我们使用符号$Z_4$来表示$K_4-P_2.$一个序列$S$是潜在的$K_{m}-H$ -图形的，如果它有一个实现包含一个$K_{m}-H$作为一个子图。令$σ(K_{m}-H, n)$表示最小度和使得每个具有$σ(S)\geq σ(K_{m}-H, n)$的$n$项图序列$S$是潜在$K_{m}-H$ -图的。本文确定了$n\geq 5r+19, r+1 \geq k \geq 5,$ $j \geq 5$的$σ(K_{r+1}-Z, n)$的值，其中$Z$是一个$k$顶点和$j$边的图，它包含一个图$Z_4$但不包含一个4顶点圈.我们还确定了$n\geq 5r+16, r\geq 4$的$σ(K_{r+1}-Z_4, n)$、$σ(K_{r+1}-(K_4-e), n)$、$σ(K_{r+1}-K_4, n)$值。在$k$的顶点和$j$的边上有许多图，它们包含一个图$Z_4$，但不包含4个顶点上的圈。
Sampling bipartite graphs with given vertex degrees and fixed edges and non-edges
我们考虑了一个给定顶点度的二部图的采样问题，其中一组$F$的边和非边，需要包含是预定义的。我们的一般结果表明，重复交换边和非边交替循环的最大尺寸$2\ell-2$（' $j$ -交换'与$j \leq 2 \ell-2$）在当前图中导致遍历大都会马尔可夫链时，$F$不包含一个周期的长度$2 \ell$与$\ell \geq 4.$这导致有用的马尔可夫链时，$\ell$不是太大。如果$F$是一个林，则$4$ -和$6$ -交换就足够了。此外，我们证明$4$交换是足够的$F$不包含匹配的大小$3.$我们扩展的曲线球算法的Strona等。\cite{Strona2014b}我们的情况下。
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