有限循环群指数集的结构
The structure of the exponent set for finite cyclic groups
摘要：
我们调查的$\Z_n$子集的可能的指数（相当于，$n$顶点上的本原循环有向图的指数）的集合的性质。令$E_n$表示该指数集。我们指出，$E_n$包含正整数$\sqrt{n}$，“大”指数$\lfloor \frac{n}{3} \rfloor +1, \lfloor \frac{n}{2} \rfloor, n-1$，甚至$n \ge 4$，附加值$\frac{n}{2}-1$。很容易看出，在$[\frac{n}{2}+1,n-2]$中没有指数是可能的，并且Wang和Meng已经证明了在$[\lfloor \frac{n}{3}\rfloor +2,\frac{n}{2}-2]$中没有指数是可能的。推广这个结果，我们证明了区间$[\lfloor \frac{n}{4} \rfloor +3, \lfloor \frac{n}{3} \rfloor -2]$是指数集$E_n$中的另一个间隙。特别是$11 \not\in E_{35}$，并且该间隙对于所有$n \ge 57$都是非空的。一个猜想是进一步的差距$E_n$大$n$。
英文摘要：
We survey properties of the set of possible exponents of subsets of $\Z_n$ (equivalently, exponents of primitive circulant digraphs on $n$ vertices). Let $E_n$ denote this exponent set. We point out that $E_n$ contains the positive integers up to $\sqrt{n}$, the `large' exponents $\lfloor \frac{n}{3} \rfloor +1, \lfloor \frac{n}{2} \rfloor, n-1$, and for even $n \ge 4$, the additional value $\frac{n}{2}-1$. It is easy to see that no exponent in $[\frac{n}{2}+1,n-2]$ is possible, and Wang and Meng have shown that no exponent in $[\lfloor \frac{n}{3}\rfloor +2,\frac{n}{2}-2]$ is possible. Extending this result, we show that the interval $[\lfloor \frac{n}{4} \rfloor +3, \lfloor \frac{n}{3} \rfloor -2]$ is another gap in the exponent set $E_n$. In particular, $11 \not\in E_{35}$ and this gap is nonempty for all $n \ge 57$. A conjecture is made about further gaps in $E_n$ for large $n$.
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