Octonions, G_2 Symmetry, Generalized Self-Duality and Supersymmetries in Dimensions D \le 8
我们建立了八维欧氏空间中N =（1/8，1）的具有广义自对偶的超对称Yang-Mills向量多重态，并将原来的全SO（8）Lorentz协方差约化为SO（7）.关键的成分是八元数结构常数的使用与SO（7）协变性和8D中的手性兼容。通过一个简单的降维和附加的约束条件，我们导出了N = 1/8 + 7/8的超对称自对偶矢量多重态，其SO（7）Lorentz协方差约为G_2。我们发现，所需的额外的限制领域和超对称参数不能从一个简单的降维从8D。我们猜想，其他自对偶超对称理论在低维D = 6和4中具有各自的约化的全局洛伦兹协方差，如SU（3）\subset SO（6）和SU（2）\subset SO（4），可以以类似的方式获得。
2004-04-18 hep-th
Exceptional Structures in Mathematics and Physics and the Role of the Octonions
有一个特殊的数学结构的逻辑可能性越来越感兴趣（例外李和超李代数，例外约旦代数等）。可以联系到一个最终的“例外”制定的理论的一切（TOE）。八元数的最大除代数可以被认为是上述特殊结构存在的数学原因。在这种背景下，系统地研究八元数旋量的性质和超对称性的八元数实现是非常有意义的。特别是$M$ -代数可以一致地定义为两个结构，一个实结构，导致标准的$M$ -代数，和一个八元结构。八元数形式的$M$ -代数具有由八元数$p$ -形式恒等式引起的显著性质。
2003-12-02 hep-th
Lie $3-$algebra and super-affinization of split-octonions
本研究的目的是将广义李$3-$代数的概念推广到分裂八元数$\mathbb{SO}$，这是不可分的。这是通过在单个运算中统一两个代数的乘积来实现的。相应地，引入一个记法装置来统一这两个代数的乘积。我们验证了$\mathbb{SO}$是一个Malcev代数，我们重新计算已知的结构常数的关系，在引入的结构张量。最后构造了显超对称的$\mathcal{N}=1\;\mathbb{SO}$仿射超代数。本文还讨论了分裂李$3-$代数在Bagger和Lambert规范理论中的应用。
2011-10-10 hep-th math-ph math.MP
Octonions and M-theory
我们解释了如何结构相关的八元数是无处不在的M理论。所有的例外李群，以及射影凯莱线和射影凯莱平面都出现在M-理论中。特殊的G_2-完整流形表现为紧化空间，并且与M2膜和3-形式有关。我们回顾这个证据，它来自最初的11维结构。这些对象之间的关系是强调，当现存和理解。我们认为有必要更好地理解的八元数本身的作用（特别是非结合性）在M理论。
2003-01-07 hep-th
Quaternion-Octonion Analyticity for Abelian and Non-Abelian Gauge Theories of Dyons
Einstein-Schroedinger（ES）非对称理论在四元数-八元数度规实现下被推广到包含双子的阿贝尔和非阿贝尔规范理论。给出了内规范群中复空间、四元数空间和八元数空间的相应协变导数，用以描述双子的相容场方程和广义Dirac方程。它还表明，四元数和八元数表示扩展了所谓的统一理论的引力和电磁的杨-米尔的领域导致两个SU（2）规范理论的内部空间，由于存在的电和磁荷的双子。
2007-08-26 hep-th
G2-structures and octonion bundles
我们利用一个具有固定度量的7维黎曼流形上的G2-结构定义了一个具有纤维非结合积的八元数丛。然后，我们定义了一个度量兼容的八元数共变导数在这个丛，是兼容的八元数产品。的扭转的G2结构，然后示出是一个八元连接的共变导数与曲率给出的组成部分的黎曼曲率，在于在7维表示的G2。我们还解释了选择一个特定的G2-结构在同一度量类作为一个选择的规范，并表明，根据这个规范的变化，扭转没有转换为一个八元数值连接1-形式。最后，我们还展示了八元数丛和旋量丛之间的明确关系，定义了一个八元数Dirac算子，并探讨了八元数截面的能量泛函。然后，我们证明了临界点对应于无发散挠率，这是一个八元数模拟的库仑规范。
2017-01-12 hep-th math.DG
The Octonions
八元数是四个赋范除代数中最大的。虽然由于它们的非结合性而被忽视，但它们处于许多有趣的数学领域的十字路口。在这里，我们描述他们和他们的关系，克利福德代数和旋量，博特周期性，射影和洛伦兹几何，约旦代数，并例外李群。我们也触及它们在量子逻辑，狭义相对论和超对称性中的应用。
2002-04-23 hep-th math.HO math.QA
Octonions in Particle Physics through Structures of Generalised Proper Time
在考虑适合描述粒子物理基本元素的基本数学结构的性质时，偶尔会提出八元数的重要作用，作为复数的扩展和唯一的最大除法代数。而不是最初基于数学美学的更抽象的理由，在这里，我们描述了一个统一的理论动机概念通过一个基本概括的表达为当地适当的时间间隔，超越了4维时空，也超越了当地结构的模型与额外的空间维度，对于这一点，明确的数学发展自然地将八元数代数作为一个基本特征。物质的性质是直接通过对称性破缺结构所必需的外部4维时空背景的提取，并再现了粒子物理学的标准模型的一系列特征结构。虽然已经采用了基于八元数的特殊李群E6和E7的结构，但完整标准模型的发现以及新的物理学超越，预计将涉及与E8相关的结构，其中八元数代数再次被认为具有根本的重要性。
2019-09-02 hep-th physics.gen-ph
Quaternionic Root Systems and Subgroups of the $Aut(F_{4})$
利用Cayley-Dickson加倍法，利用实数、复数、四元数和八元数的除代数的整数元构造了一些著名李代数的根系.从SU（2）的根和权用实数表示开始，可以用除代数的离散元构造SO（4），SP（2）= SO（5），SO（8），SO（9），F_{4}和E_{8}的李代数的根系.除了E_{8}的八元数根构成闭八元数代数外，根本身也具有群结构。自同构群Aut本文将四维欧氏空间中最大的晶体群2304阶F_{4}的Dynkin图的（F_{4}）表示为保持F_{4}的四元数根系的两个二元八面体四元数群的直积，给出了许多李代数的Weyl群，如G_{2}，SO（7），SO（8），SO（9），构造了SU（3）× SU（3）和SP（3）× SU（2）作为Aut（F_{4}）的子群.我们还对Aut（F_{4}）的其他非抛物子群进行了分类，这些子群不是Weyl群.在12096阶和1344阶李群$G_{2}$的有限子群中，存在两个具有不同共轭类的192阶子群作为极大子群，并证明了它们在构造上是有用的.利用SO（8）的三重性表现为四元数虚元e_{1}，e_{2}，e_{3}的循环对称性，说明SO（7）和SO（9）可以分别三重对称地嵌入SO（8）和F_{4}中.
2005-10-21 hep-th
$S^7$ Current Algebras
我们把$S^7$ -代数作为广义卡茨-穆迪代数.我们构造了八元数射影空间$ØP^N$。
1994-03-04 hep-th
Exceptional $\mathfrak{g}_2$ deformations and gauge symmetries
本文通过克利福德代数和八元数的乘积，推广了g₂代数的应用，并揭示了其与SU(3)规范对称性的相似性。
2026-01-10 hep-th physics.gen-ph
Division Algebras and Supersymmetry II
从四个赋范除代数-实数、复数、四元数和八元数-出发，系统地给出了3维、4维、6维和10维Poincare李超代数上的3-上圈。一个相关的过程给出了一个4维、5维、7维和11维的Poincare李超代数上的4-上圈。一般来说，李超代数上的（n+1）-上圈产生一个“李n-超代数”：也就是说，粗略地说，一个n项链复形配备了一个括号，满足李超代数直到链同伦的公理。从而得到了Poincare超代数在3，4，6，10维上的Lie 2-超代数和Poincare超代数在4，5，7，11维上的Lie 3-超代数。正如Sati、Schreiber和Stasheff在高规范理论上的工作所示，Lie 2-超代数连接描述了弦的平行输运，而Lie 3-超代数连接描述了2-膜的平行输运。此外，在八元数情况下，这些联系简明地概括了10维和11维超引力中出现的场。
2015-02-20 hep-th math.DG math.RA
Trace dynamics and division algebras: towards quantum gravity and unification
最近，我们提出了一个拉格朗日在普朗克尺度的跟踪动力学，统一的引力，杨米尔斯场和费米子。动力学变量由奇数级（费米子）和偶数级（玻色子）格拉斯曼矩阵描述。进化发生在康纳斯时间。在能量远低于普朗克尺度时，迹动力学简化为量子场论。在本文中，我们解释说，正确的理解自旋需要我们制定的理论在8-D八元数空间。属于最小例外李群$G_2$的八元数代数的自同构，取代了时空自同构和内部规范变换，使它们处于一个共同的统一折叠之下。基于其他研究者在除法代数上的早期工作，我们提出了普朗克尺度下的洛伦兹弱统一，对称群是八元数内四元数的稳定群。这是$G_2$的两个最大子群之一，另一个是$SU(3)$，八元数的元素交换群。后一组与$U(1)_{em}$结合，描述了电色对称性，如前面Furey所示。我们预测了一种新的无质量自旋1玻色子[洛伦兹玻色子]，应该在实验中寻找。我们的拉格朗日函数正确地描述了三代费米子，通过三个拷贝的组$G_2$，嵌入在特殊李群$F_4$。这是四个基本相互作用的统一群，也恰好是例外约当代数的自同构群。引力被证明是一种涌现的经典现象。而在普朗克尺度下，存在一种量子化的洛伦兹对称性，由洛伦兹玻色子介导。我们认为，在亚普朗克尺度下，八子离子迹动力学的自伴部分与11维的弦论有关系。
2020-11-09 gr-qc hep-th quant-ph
Mapping the geometry of the F4 group
本文通过对相应的李代数f4进行指数化，给出了例外李群F4的紧形式的构造。我们把F4看作例外Jordan代数的自同构群，它的元素是3 × 3的八元厄米矩阵.我们使用一个参数化，它概括了SU（2）的欧拉角，并基于F4通过Spin（9）子群作为纤维的纤维化。这种技术使我们能够确定一个明确的表达的Haar不变测度的F4群流形。这些结果除了揭示F4及其陪集流形OP 2 =F4/Spin（9）（八元数射影平面）的结构外，还为研究E6（F4是E6的（极大）子群）提供了必要条件。
2007-10-01 hep-th math-ph math.MP
Octonions, trace dynamics and non-commutative geometry: a case for unification in spontaneous quantum gravity
我们最近提出了一个新的矩阵动力学在普朗克尺度上，建立在理论的痕迹动力学。这是一个拉格朗日动力学，其中矩阵自由度由格拉斯曼数组成，拉格朗日量是矩阵多项式的迹。由格拉斯曼代数的偶数级元素构成的矩阵称为玻色子，由奇数级元素构成的矩阵称为费米子：它们一起描述了一个“aikyon”。在本文中，我们提供了一个基本的定义，自旋角动量在这个矩阵动力学，并引入一个玻色子（费米子）的自旋共轭的玻色子（费米子）配置变量。然后，我们表明，在能量低于普朗克尺度，矩阵动力学减少到量子理论，费米子有半整数自旋（普朗克常数的倍数），玻色子有整数自旋。我们还表明，这种定义的自旋同意在相对论量子力学自旋的传统理解。因此，我们得到了自旋统计联系的一个初等证明。然后，我们动机为什么一个八元数空间是一个aikyon演变的自然空间。这个空间中的自同构群是例外李群$G_2$，它有14个生成元[它们能代表引力子的12个矢量玻色子和2个自由度吗？].合子也类似于闭弦，文献中曾提出10维弦论可以表示为8维八元数空间中的2维弦。由Cohl Furey等人的工作可知，由四个除代数（实数、复数、四元数和八元数）构成的Dixon代数可能描述标准模型的对称性。在本文中，我们概述了狄克逊代数如何在我们的工作中自然产生，并可能导致统一的重力与标准模型。
2020-10-04 gr-qc hep-th quant-ph
Construction of $G_2$ symmetry in a Hubbard-type model
本文在二部格点上的自对偶Hubbard类型模型中构造了$G_2$对称性，揭示了其自发破缺为$SU(3)$或$SU(2)\ imes U(1)$的机制，并阐明了量子无序态下产生的低能有效规范理论。
2024-12-23 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Mapping the geometry of the E6 group
本文通过对相应的李代数e6进行指数化，给出了例外李群E6的紧形式的一个构造，并将其表示为f4的和、3维例外Jordan代数J3的八元导子以及J3的迹为零的元素的右乘.我们的参数化是SU（2）的欧拉角的推广，并且它基于E6通过F4子群作为纤维的纤维化。它使用了我们在前一篇文章中为F4执行的类似构造。这些结果的一个有趣的第一个应用在于这样一个事实，即我们能够确定一个明确的表达Haar不变测度的E6组流形。
2007-10-01 hep-th math-ph math.MP
Generalized quantization scheme for central extensions of Lie algebras
给出了在向量空间上求非线性Poisson-Lie群结构及其量子化的方法。对于李代数的任意中心扩张，给出了量子化的显式公式。
1993-11-22 hep-th math.QA
