On the Complexity of the Geometric Median Problem with Outliers
在具有离群点的几何中值问题中，我们给定d维实空间中的有限点集和一个整数m，目标是在空间中定位一个新点（中心），并选择m个输入点，以最小化从中心到所选点的欧氏距离之和。这个问题可以解决“几乎完全”在多项式时间，如果d是固定的，并承认在高维近似计划PTAS。然而，问题的复杂性是一个悬而未决的问题。本文证明了：当空间维数不固定时，带离群点的几何中值是强NP-困难的，除非P=NP，否则不允许逼近方案FPTAS，且关于参数m是W[1]-困难的.证明是由一个减少从独立集的问题。基于类似的减少，我们也得到了NP-困难的密切相关的几何2-聚类问题，它是需要划分一组给定的点成两个平衡的集群，最大限度地减少成本的中位数聚类。最后，我们在$\ell_\infty$空间中研究了具有离群点的几何中值问题，并证明了与欧氏问题相同的复杂性结果。
2021-12-01 cs.CC cs.CG math.OC
When Distances Lie: Euclidean Embeddings in the Presence of Outliers and Distance Violations
该研究针对存在离群点与距离违背的距离空间欧氏嵌入问题，提出了欧几里得嵌入编辑（EEE）问题，给出了多类FPT与近似算法，改进了仅删离群点场景的近似比，并补充了参数化选择的硬度依据。
2025-03-24 cs.CG cs.DM cs.DS
Improved approximation algorithms for two Euclidean k-Center variants
$k$ -中心问题是最流行的聚类问题之一。经过几十年的工作，它的大多数变种的复杂性一般指标现在已经很好地理解。令人惊讶的是，对于在实践中经常出现的自然设置，即欧几里得设置，情况并非如此，在欧几里得设置中，输入点是$\mathbb{R}^d$中的点，并且它们之间的距离是标准的$\ell_2$欧几里得距离。在这项工作中，我们研究了两个欧几里德$k$ -中心的变种，拟阵中心问题的真正的线和鲁棒欧几里德$k$ -供应商的问题，并提供算法，提高已知的最佳近似保证这些问题。特别是，我们提出了一个简单的$2.5$ -近似算法，用于实数线上的拟阵中心问题，从而改进了Chen，Li，Liang和Wang（2016）的$3$ -近似因子算法，适用于一般度量。此外，我们提出了鲁棒欧氏$k$ -Supplier问题的$(1 + \sqrt{3})$ -近似算法，从而改进了鲁棒$k$ -Supplier的最新$3$ -近似算法，并匹配了Nagarajan，Schieber和Shachnai（2020）已知的非鲁棒设置的最佳近似因子。
2021-12-09 cs.CG cs.DS
Computing the Center Region and Its Variants
我们提出了一个$O(n^2\log^4 n)$ -时间算法，用于计算一组$n$点在三维欧氏空间中的中心区域。这改进了Agarwal、Sharir和Welzl以前最著名的算法，该算法对任何$ε> 0$都需要$O(n^{2+ε})$时间。在最坏的情况下，中心区域的组合复杂度为$Ω(n^2)$，因此我们的算法几乎是紧的。我们还考虑了在二维欧氏空间中计算中心区域的彩色版本的问题，并提出了一个$O(n\log^4 n)$时间算法。
2019-10-27 cs.CG
Computing Euclidean k-Center over Sliding Windows
在滑动窗口模型下的Euclidean $k$ -中心问题中，输入点在数据流中给定，目标是找到$k$最小同余球，其并集覆盖数据流中的$k$最近点。在该模型中，输入点只允许被检查一次，并且可用于存储相关信息的空间量是有限的。Cohen-Addad等人~ \cite{cohen-2016}用O（$k/ε\log α$）点给出了度量$k$ -中心问题的$(6+ε)$ -近似，其中$α$是最大和最小距离之比，并假定是预先已知的。本文提出了一种求解欧几里德$1$中心问题的$(3+ε)$ -近似算法，该算法使用O（$1/ε\log α$）个点.我们提出了一个算法的欧几里德$k$中心的问题，保持一个coreset的大小$O(k)$。我们的算法给出了一个$(c+2\sqrt{3} + ε)$ -近似的欧几里德$k$ -中心问题使用O（$k/ε\log α$）点通过使用任何给定的$c$ -近似的核心，其中$c$是一个正实数。例如，通过使用核心集的$2$ -近似~ \cite{feder-greene-1988}，我们的算法给出了使用$O(k\log k)$时间的$(2+2\sqrt{3} + ε)$ -近似（$\approx 5.465$）。这是对Cohen-Addad等人的$(6+ε)$的近似因子的改进。\cite{cohen-2016}具有相同的空间复杂度和更小的每点更新时间。此外，我们删除的假设…
2020-01-04 cs.CG cs.DS
A $(3+ε)$-approximation algorithm for the minimum sum of radii problem with outliers and extensions for generalized lower bounds
本文提出原始-对偶算法，将带离群点的最小半径和问题的近似比从3.389和12.365改进至3+ε，并推广至广义下界设置，实现3.5+ε近似。
2023-11-10 cs.CG cs.DS
Stochastic $k$-Center and $j$-Flat-Center Problems
求解不确定数据上的几何优化问题在许多应用中变得越来越重要，近年来引起了人们的广泛关注。本文研究了欧几里得空间中随机/不确定数据点上的两个重要几何优化问题：$k$ -中心问题和$j$ -平坦中心问题。对于随机$k$ -中心问题，我们希望在固定维的欧氏空间中找到$k$点，使得$k$ -中心目标的期望值最小化。对于随机$j$ -平坦中心问题，我们寻求一个$j$ -平坦（即，$j$维仿射子空间），使得从任何点到$j$ -平坦的最大距离的期望值最小化。我们考虑两个流行的随机几何模型，存在的不确定性模型，其中每个点的存在可能是不确定的，和位置的不确定性模型，其中每个点的位置可能是不确定的问题。在这两种模型下，我们为这两个问题提供了第一个PTAS（多项式时间近似方案）。我们的结果推广了以前关于随机最小封闭球和随机封闭柱的结果。
2016-09-10 cs.CG
Euclidean k-center Fair Clusterings
Gunma University（群马大学）
本文定义了一种带颜色上下界约束的欧几里得 k-中心公平聚类问题，并设计了多项式时间算法来求解最优公平聚类。
2025-11-10 cs.CG
A Sub-linear Time Framework for Geometric Optimization with Outliers in High Dimensions
许多现实世界的问题可以表述为高维的几何优化问题，特别是在机器学习和数据采掘领域。此外，在优化目标函数时，我们经常需要考虑离群值。然而，离群值的存在可能使问题比普通版本更具挑战性。本文首先研究了带离群点的基本最小包围球问题，部分受Besiddoiu和Clarkson的核心集方法的启发，提出了一种基于均匀自适应采样方法和三明治引理的次线性时间双准则近似算法.据我们所知，我们的结果是第一个次线性时间算法，其样本大小为（{ \em，即，}采样点的数量），与输入点的数量$n$和维数$d$无关。此外，我们还发现这两种方法可以推广到更广泛的高维离群点几何优化问题，包括平面拟合、$k$ -中心聚类和离群点支持向量机，并分别实现了这些问题的次线性时间算法.
2020-05-01 cs.CG cs.DS
On Approximating the Riemannian 1-Center
本文将Badoiu和Clarkson（2003）的简单欧氏1-中心近似算法推广到黎曼几何，并研究了其收敛速度.然后，我们展示了如何将这个通用算法实例化到两个特定的情况：（1）双曲几何，和（2）对称正定矩阵的黎曼流形。
2012-04-18 cs.CG
Fine-Grained Complexity of Continuous Euclidean k-Center
University of Bonn（波恩大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Saarland University（萨尔兰大学）；Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克计算机科学研究所）；The University of Sheffield（谢菲尔德大学）；Rutgers University（罗格斯大学）；Hausdorff Center for Mathematics（豪斯多夫数学中心）；Lamarr Institute for Machine Learning and Artificial Intelligence（拉玛尔机器学习与人工智能研究所）；University of Massachusetts, Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Aalto University（阿尔托大学）
本文研究了连续欧几里得k中心问题的细粒度复杂度，基于ETH和3-SUM假设，建立了该问题在常数维度下的时间下界，证明了现有算法的最优性，并解决了2-中心和6-中心问题的开放问题。
2026-03-30 cs.CC cs.CG cs.DS
Algorithms for Tverberg's theorem via centerpoint theorems
我们得到的算法计算Tverberg分区的中心点近似的基础上。这适用于广泛的凸性空间，从经典的欧几里得设置到图中的测地凸性。在欧几里德的设置，我们提出的概率算法是弱多项式的点数和维数。对于图的测地凸性，我们得到了仙人掌图的确定性算法，并证明了求Radon数的一般问题是NP-困难的。
2017-11-01 cs.CG math.CO
On Metric DBSCAN with Low Doubling Dimension
基于密度的聚类方法{ \em Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise（DBSCAN）}是一种流行的孤立点识别方法，受到了许多不同领域的关注。原始DBSCAN的一个主要问题是时间复杂度可能与二次方一样大。现有的DBSCAN算法大多致力于在低维欧氏空间中开发高效的索引结构以加快搜索速度。然而，目前在高维欧氏空间或一般度量空间中的DBSCAN算法的研究还很有限。在本文中，我们考虑度量DBSCAN问题的假设下，内点（不包括离群点）有一个低的双倍维数。我们采用了一种新的随机$k$中心聚类的思想，以减少范围查询的复杂性，这是整个DBSCAN过程中最耗时的步骤。本文提出的算法不需要建立复杂的数据结构，易于实现。实验结果表明，我们的算法可以显着优于现有的DBSCAN算法的运行时间。
2020-02-27 cs.CG cs.DS
The Effectiveness of Johnson-Lindenstrauss Transform for High Dimensional Optimization With Adversarial Outliers, and the Recovery
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文研究高维鲁棒优化问题。由于真实世界的数据集可能包含大量的噪声，甚至是来自某些攻击者的特制样本，因此我们对具有任意（和潜在对抗性）离群值的优化问题特别感兴趣。我们专注于两个基本的优化问题：{ \em SVM与离群值}和{ \em $k$ -中心聚类与离群值}。它们实际上是极具挑战性的组合优化问题，因为我们不能对对抗性离群值施加任何限制。因此，它们的计算复杂性相当高，特别是当我们考虑高维空间中的实例时。{ \em Johnson-Lindenstrauss（JL）Transform}是最流行的降维方法之一。虽然JL变换在过去几十年中得到了广泛的研究，但其处理对抗性离群值的有效性以前从未被研究过（据我们所知）。基于一些新的见解，从几何，我们证明了这两个问题的复杂性可以显着降低通过JL变换。此外，我们证明了在降维空间的解决方案可以有效地恢复在原来的$\mathbb{R}^d$，而质量仍然保留。在实验中，我们将JL变换与其他几种常用的降维方法进行了比较，并研究了它们在合成数据集和真实数据集上的性能。
2021-02-21 cs.CG cs.LG
Sublinear Time Algorithms for Several Geometric Optimization (With Outliers) Problems In Machine Learning
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文研究了机器学习中几个重要的几何优化问题。首先，我们重新审视欧氏空间$\mathbb{R}^d$中的最小包围球（MEB）问题。这个问题以前已经被广泛研究过，但是现实世界的机器学习任务通常需要处理大规模的数据集，以至于我们甚至负担不起线性时间算法。受最近关于{ \em beyond the worst case analysis}的研究的启发，我们引入了MEB稳定性的概念，这是自然的，易于理解的。粗略地说，MEB的实例是稳定的，如果结果球的半径不能通过移除一小部分输入点来显著减小。在稳定性假设下，我们提出了两种计算半径近似MEB的采样算法，其采样复杂度与输入点的数目无关$n$。特别地，第二算法具有甚至独立于维度$d$的样本复杂度。我们还考虑了没有稳定性假设的一般情况。我们提出了一种混合算法，可以输出半径近似MEB或覆盖近似MEB。我们的算法改善了以前的次线性MEB算法的运行时间和通过次数。我们的方法依赖于两个新的技术，均匀自适应采样方法和三明治引理。此外，我们观察到，这两种技术可以推广到设计次线性时间算法的更广泛的几何优化问题的离群值在高维，包括MEB离群值，一类和二类线性支持向量机离群值，$k$中心聚类离群值，和平坦拟合离群值。我们提出的算法也适用于内核。
2023-01-07 cs.CG cs.DS cs.LG
A Refined Approximation for Euclidean k-Means
在欧几里德$k$ -均值问题中，我们给出了欧几里德空间中的$n$点的集合$D$和正整数$k$。我们的目标是在同一空间（中心）中识别一组$k$点，以最小化$D$中每个点与最近中心之间的欧氏距离平方和。已知该问题是APX困难的，并且当前最佳近似比是基于该问题的标准LP的原始-对偶$6.357$近似[Ahmadian et al. FOCS'17，SICOMP'20]。在本说明中，我们将展示如何一个小的修改艾哈迈迪等。的分析导致略微改进的$6.12903$近似。作为相关结果，我们还证明了所述线性规划至少具有$\frac{16+\sqrt{5}}{15}>1.2157$的完整性间隙.
2021-09-20 cs.CG cs.DS
$k$-PCA for (non-squared) Euclidean Distances: Polynomial Time Approximation
Robotics & Big Data Labs, University of Haifa, Israel（机器人与大数据实验室，海法大学）
本文针对欧氏空间中 $k$-子空间中位数（非平方距离和最小化）问题，提出首个运行时间与近似因子均不随 $k$ 指数增长的多项式时间确定性算法，近似因子为 $\sqrt{d}$，并给出代码与实验验证。
2025-07-19 cs.CG cs.DS cs.LG
Hardness of Approximation of Euclidean $k$-Median
Indian Statistical Institute Kolkata（印度统计学院加尔各答）；Indian Institute of Technology Delhi（印度理工学院德里分校）
欧几里德$k$ -中位数问题定义如下：给定$\mathbb{R}^{d}$中的$n$点的集合$\mathcal{X}$和整数$k$，找到$k$点（称为中心）的集合$C \subset \mathbb{R}^{d}$，使得成本函数$Φ(C,\mathcal{X}) \equiv \sum_{x \in \mathcal{X}} \min_{c \in C} \|x-c\|_{2}$最小化。欧几里得$k$ -均值问题的定义类似于用代价函数中的平方距离代替距离。已知欧几里得$k$ -均值问题的各种近似结果的困难度。然而，对于欧几里得$k$ -中值问题，没有已知的近似结果的硬度。在唯一对策猜想（UGC）的假设下，给出了欧氏$k$ -中值问题近似结果的第一难性.此外，我们研究的硬度近似的欧几里得$k$ -手段/ $k$ -中位数的问题，在双标准设置的算法是允许选择多个$k$中心。也就是说，允许双标准近似算法输出$βk$中心（对于常数$β>1$），并且相对于最佳$k$ -均值/ $k$ -中值成本计算近似比。在此设置中，我们显示了第一个硬度的近似结果的欧几里德$k$ -中位数问题的任何$β< 1.015$，假设UGC。我们还显示了一个类似的双准则硬度的近似结果的欧几里德$k$ -手段问题的$β< 1.28$，再次假设UGC的更强的界。
2020-11-09 cs.CC cs.CG cs.DS
Computing the $L_1$ Geodesic Diameter and Center of a Polygonal Domain
对于具有$h$孔洞和$n$顶点的多边形区域，我们分别给出了在$O(n^2+h^4)$时间计算$L_1$测地直径和在$O((n^4+n^2 h^4)α(n))$时间计算$L_1$测地中心的算法，其中$α(\cdot)$表示逆Ackermann函数.以前没有已知的算法来解决这些问题。对于欧几里得对应体，最好的算法在$O(n^{7.73})$或$O(n^7(h+\log n))$时间内计算测地线直径，并在$O(n^{11}\log n)$时间内计算测地线中心。因此，我们的算法是显着快于欧几里德问题的算法。我们的算法是基于几个有趣的观察$L_1$最短路径的多边形域。
2016-11-09 cs.CG cs.DS
Improved Coresets for Euclidean $k$-Means
给定$d$维度中的一组$n$点，欧几里德$k$ -均值问题（分别为：欧几里德$k$ -中值问题）包括找到$k$中心，使得平方距离（分别为距离之和）被最小化。在大数据环境中处理这个问题最流行的方法是首先通过计算一个称为coreset的加权子集来压缩数据，然后在这个子集上运行任何算法。核心集的保证是，对于任何候选解决方案，核心集成本与原始实例成本之间的比率小于$(1\pm \varepsilon)$因子。当前技术水平的核心集大小是$\tilde O(\min(k^{2} \cdot \varepsilon^{-2},k\cdot \varepsilon^{-4}))$（用于Euclidean $k$ -均值）和$\tilde O(\min(k^{2} \cdot \varepsilon^{-2},k\cdot \varepsilon^{-3}))$（用于Euclidean $k$ -中值）。这两个问题最著名的下界是$Ω(k \varepsilon^{-2})$。本文改进了$k$ -means的上界$\tilde O(\min(k^{3/2} \cdot \varepsilon^{-2},k\cdot \varepsilon^{-4}))$和$k$ -median的上界$\tilde O(\min(k^{4/3} \cdot \varepsilon^{-2},k\cdot \vareps…
2022-11-16 cs.CG cs.LG
Minimum Enclosing Ball Revisited: Stability and Sub-linear Time Algorithms
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文在欧氏空间$\mathbb{R}^d$中重新讨论了最小包围球问题及其鲁棒版本，带离群点的最小包围球问题。虽然这个问题已经被广泛研究之前，大多数现有的算法需要至少线性时间（在输入点$n$和维数$d$的数量），以实现$(1+ε)$ -近似。受最坏情况分析之外的一些最新发展的启发，我们引入了MEB（具有离群值）稳定性的概念，这是自然的，易于理解的。粗略地说，MEB的实例是稳定的，如果结果球的半径不能通过移除一小部分输入点来显著减小。在稳定性假设下，我们提出了两种计算近似MEB的采样算法，其采样复杂度与输入点的数目无关$n$。特别地，第二算法具有甚至独立于维度$d$的样本复杂度。此外，我们扩展的想法，实现一个次线性时间近似算法的MEB与离群值问题。注意，大多数现有的次线性时间算法的问题的MEB和MEB与离群值通常会导致双标准近似，其中“双标准”意味着解决方案必须允许的半径和覆盖点的数量的近似。因此，本文提出的所有算法都产生单准则近似（相对于半径）。我们希望我们提出的稳定性和技术的概念将适用于设计其他优化问题的次线性时间算法。
2020-05-01 cs.CG cs.LG
Tight Lower Bounds for Approximate & Exact $k$-Center in $\mathbb{R}^d$
在离散$k$ -中心问题中，我们给出了一个度量空间$(P,\texttt{dist})$，其中$|P|=n$和目标是选择一组$C\subseteq P$的$k$中心，使$P$中的一点到其最近中心的最大距离最小。对于任何$ε>0$，Agarwal和Procopiuc [SODA '98，Escherichia'02]设计了一个$(1+ε)$ -近似算法，这个问题在$d$维欧几里德空间运行在$O(dn\log k) + \left(\dfrac{k}ε\right)^{O\left(k^{1-1/d}\right)}\cdot n^{O(1)}$时间。在本文中，我们表明，他们的算法本质上是最优的：如果一些$d\geq 2$和一些可计算的功能$f$，有一个$f(k)\cdot \left(\dfrac{1}ε\right)^{o\left(k^{1-1/d}\right)} \cdot n^{o\left(k^{1-1/d}\right)}$时间算法$(1+ε)$ -近似的离散$k$ -中心的$n$点在$d$维欧几里德空间然后指数时间假设（ETH）失败。我们通过设计从Marx和Sidiropoulos [SoCG '14]定义的$d$ -维约束满足问题（CSP）到离散$d$ -维$k$ -中心的间隙减少来获得我们的下界。作为我们的减少的副产品，我们还得到了Agarwal和Procopiu…
2022-03-16 cs.CC cs.CG cs.DM
Fully Dynamic $k$-Center in Low Dimensions via Approximate Furthest Neighbors
设$P$是度量空间中的点集。近似最远邻居问题是，给定第二点集$C,$，以找到作为来自$C.$的$(1+ε)$近似最远邻居的点$p \in P$。动态版本是在点的插入和删除上保持$P,$，在某种程度上，允许有效地解决目前的$P.$的近似最远邻居问题，我们提供了第一个算法，解决这个问题的度量空间有限倍维度我们的算法是建立在导航网数据结构之上的。一个直接的应用是解决动态$k$中心问题的两个新算法。第一种方法是在有界双维的一般度量空间中动态地保持$(2+ε)$近似$k$ -中心，第二种方法是保持$(1+ε)$近似欧氏$k$ -中心.这两种动态算法的工作原理是从一个已知的相应的静态算法求解近似$k$ -中心，并取代静态的精确最远邻居子程序所使用的算法与我们新的动态近似最远邻居。与以前的算法动态$k$ -中心与这些相同的近似比，我们的新的不需要知道$k$或$ε$提前。在欧几里德的情况下，我们的算法似乎也是第一个确定性的解决方案。
2023-02-20 cs.CG cs.DS
(k, l)-Medians Clustering of Trajectories Using Continuous Dynamic Time Warping
University of Sydney（悉尼大学）；TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）；Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克信息学研究所）
由于可用地理空间数据的数量大量增加，并且需要以可理解的方式呈现它，因此对这些数据进行聚类比以往任何时候都更加重要。由于集群可能包含大量的对象，因此为每个集群提供一个代表可以极大地促进对集群的理解。依赖于这些代表的聚类方法被称为基于中心的。在这项工作中，我们考虑基于中心的轨迹聚类的问题。在这种情况下，集群的代表再次是轨迹。为了获得聚类的紧凑表示并避免过拟合，我们通过参数l来限制代表性轨迹的复杂性。然而，这种限制使得离散距离测量（如动态时间规整（DTW））不太适合。最近的工作是基于中心的聚类的轨迹与连续的距离测量，即弗雷谢距离。虽然Fréchet距离允许限制中心复杂度，但它也可能对离群值敏感，而平均型距离度量，如DTW，则不那么敏感。为了获得一个轨迹聚类算法，允许限制中心的复杂性，是更强大的离群值，我们建议使用连续版本的DTW作为距离度量，我们称之为连续动态时间规整（CDTW）。我们的贡献是双重的：1。针对CDTW缺乏实用算法的问题，提出了一种计算CDTW的近似算法。我们开发的第一个聚类算法下的距离测量，并显示一个实用的方法来计算一组轨迹的中心，随后迭代地改进it. To获得深入了解下的实际数据的CDTW聚类结果，我们进行了广泛的实验。
2020-12-01 cs.CG cs.LG
Near-Linear Time Approximation Schemes for Clustering in Doubling Metrics
本文研究了双维度量空间$d$中的经典设施选址、$k$ -Median和$k$ -Means问题。我们给每个问题的近线性时间近似方案。我们的算法的复杂性是$2^{(\log(1/\eps)/\eps)^{O(d^2)}} n \log^4 n + 2^{O(d)} n \log^9 n$，使一个显着的改进，在时间上运行的最先进的算法$n^{(d/\eps)^{O(d)}}$。此外，我们展示了如何扩展的技术，用于获得第一个有效的近似方案的问题，奖金收集$k$ -中位数和$k$ -手段，和有效的双准则近似方案$k$ -中位数与离群值，$k$ -均值与离群值和$k$ -中心。
2020-05-20 cs.CG cs.DS
