关于t-可表示和的Pollard定理的推广
On Extending Pollard's Theorem for t-Representable Sums
摘要：
令$t\geq 1$，令$A$和$B$是阿贝尔群$G$的有限非空子集，令$A\pp{i} B$表示至少具有$c=a+b$形式的$i$表示的所有元素$c$，其中$a\in A$和$b\in B$。对于$|A|, |B|\geq t$，我们证明了\be \label{almost} \Sum{i=1}{t}| A \pp{i} B| \geq t |A| +t |B|-2 t ^2 + 1，\ee或存在$A'\subseteq A$和$B'\subseteq B$，其中\ber \nn 1 &：=&|一个\setminus A'|+| B \setminus B'| \leq t-1，\nn A' \pp{t} B'&=& A '+ B'= A \pp{t} B，{and} \nn \Sum{i=1}{t}| A \pp{i} B|其中$H$是$A\pp{t} B$和$ρ=|A'+H|-|A'|+|B'+H|-|B'|$的（非平凡的）稳定子。在$t=2$的情况下，我们将（\ref{almost}）改进为$|A\pp{1}B|+|A\pp{2}B|\geq 2|A|+2|B|-4$。
英文摘要：
Let $t\geq 1$, let $A$ and $B$ be finite, nonempty subsets of an abelian group $G$, and let $A\pp{i} B$ denote all the elements $c$ with at least $i$ representations of the form $c=a+b$, with $a\in A$ and $b\in B$. For $|A|, |B|\geq t$, we show that either \be\label{almost}\Sum{i=1}{t}|A\pp{i} B|\geq t|A|+t|B|-2t^2+1,\ee or else there exist $A'\subseteq A$ and $B'\subseteq B$ with \ber \nn l&:=&|A\setminus A'|+|B\setminus B'|\leq t-1, \nn A'\pp{t}B'&=&A'+B'=A\pp{t}B,{and} \nn \Sum{i=1}{t}|A\pp{i}B|&\geq& t|A|+t|B|-(t-l)(|H|-ρ)-tl\geq t|A|+t|B|-t|H|,\eer where $H$ is the (nontrivial) stabilizer of $A\pp{t} B$ and $ρ=|A'+H|-|A'|+|B'+H|-|B'|$. In the case $t=2$, we improve (\ref{almost}) to $|A\pp{1}B|+|A\pp{2}B|\geq 2|A|+2|B|-4$.
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