发表机构
South China University of Technology（华南理工大学）
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本文研究有限域上多项式 f 可表示为不可约多项式与给定多项式幂之和的条件，证明在特定条件下正比例的多项式具有多个表示，并推广到多重幂和情形。
AI 中文摘要
给定有限域上一个次数为 δ>0 的多项式 g，我们研究次数为 n 的首一多项式 f，其可写成 f=h+g^k，其中 h 是次数为 n 的首一不可约多项式，且 k∈N 满足 δk<n。继 Erdős 之后，我们证明某些 f 至少具有 c log n 个这样的表示。若 δρ_g<1，其中 ρ_g=φ_q(g)/|g|，则正比例的次数为 n 的多项式至少具有两个这样的表示。更一般地，对于幂和 g^{⌊k_i^{r_i}⌋}，我们证明当 ∑_{i=1}^{t} r_i^{-1} ≥ 1 时，正比例的次数为 n 的多项式可表示，而某些模某个不可约多项式的剩余类中不包含可表示的多项式。
英文摘要
Given a polynomial \(g\) of degree \(δ>0\) over a finite field, we study monic polynomials \(f\) of degree \(n\) that can be written as \(f=h+g^k\), where \(h\) is a monic irreducible polynomial of degree \(n\) and \(k\in\mathbb{N}\) with \(δk<n\). Following Erdős, we show that some \(f\) admit at least \(c\log n\) such representations. If \(δρ_g<1\), where \(ρ_g=φ_q(g)/|g|\), then a positive proportion of degree-\(n\) polynomials admits at least two such representations. More generally, for sums of powers \(g^{\lfloor k_i^{r_i}\rfloor}\), we prove that a positive proportion of polynomials of degree \(n\) is representable whenever \(\sum_{i=1}^{t}r_i^{-1}\ge 1\), while certain residue classes modulo some irreducible polynomial contain no representable polynomial.
Comments17 pages
