Discrete Riemann surfaces, linear and non-linear
Christian Mercat
3页的介绍理论的离散保形参数化使用圆模式或其线性化理论。主要成果和想法。
3 pages presentation of the theory of discrete conformal parameterization using circle patterns or its linearized theory. Principal results and ideas.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Discrete Riemann Surfaces
我们详细介绍了离散黎曼曲面的理论。它发生在一个表面的细胞分解，连同其庞加莱对偶，配备了一个离散的共形结构。连续理论中的许多定理都可以推广到离散情形，我们定义了周期矩阵的离散模拟、黎曼双线性关系、常宗量指数和级数。我们提出了临界性的概念及其与可积性的关系。
Discrete Riemann Surfaces and the Ising model
本文定义了一个新的离散黎曼曲面理论，并给出了它的基本结果。其关键思想是不仅要考虑曲面的胞元分解，还要考虑曲面与其对偶曲面的结合。离散全纯由柯西-黎曼方程的直接离散化定义。Riemann理论中的许多经典结果都有离散的对应，Hodge星，调和性，Hodge定理，Weyl引理，柯西积分公式，具有规定完整性的全纯形式的存在性。给出一个几何意义上的黎曼曲面上的建设，我们定义了一个概念，我们证明了一个连续的极限定理的临界。我们研究它与临界伊辛模型的连接。在离散的普遍自旋结构上建立了Dirac方程，证明了Dirac旋量的存在性等价于临界性。
Discrete period matrices and related topics
我们继续我们的调查与讨论的离散类似的周期矩阵，黎曼的双线性关系，指数的常数的论点，系列和电气移动的离散黎曼曲面。我们证明了给定临界映射的精化序列，离散周期矩阵收敛到连续周期矩阵。
Riemann-Hilbert problem and the discrete Bessel kernel
我们利用离散模拟的黎曼-希尔伯特问题的方法导出了描述对称群的泊松化Plancherel测度的离散Bessel核.要做到这一点，我们定义离散模拟物的黎曼-希尔伯特问题和可积积分算子，并表明计算的预解的离散可积算子可以减少到解决相应的离散黎曼-希尔伯特问题。我们还给出了一个例子，显式可解的经典特殊函数，当一个离散的黎曼-希尔伯特问题收敛在一定的缩放限制到一个传统的一个例子，起源于无限对称群的表示论。
Discrete Dirac operators on Riemann surfaces and Kasteleyn matrices
设S是亏格为g的具有锥型奇点的平坦曲面。给定一个等距嵌入到S中的二分图G，我们定义了S上2^{2g} Dirac算子的离散类似物。这些离散的对象，然后收敛到连续的，在某种适当的意义上。最后，我们得到了关于（S，G）的离散Dirac算子是图G的Kasteleyn矩阵的充要条件。因此，如果满足这些条件，则G上二聚体模型的配分函数可以明确地表示为这2^{2g}个离散狄拉克算子的行列式的交替和。
Sampling Theorem and Discrete Fourier Transform on the Riemann Sphere
使用相干态技术，我们证明了一个采样定理的Majorana的（全纯）功能的黎曼球面上，我们提供了一个精确的重建公式作为卷积产品的$N$样本和一个给定的重建内核（一个正弦型功能）。我们还讨论了过采样和欠采样的影响。样本点是单位根，这一事实允许通过循环矩阵和矩形傅立叶矩阵理论的分辨率和重叠核算子的显式反演公式。带限函数的情况下的黎曼球面，自旋高达$J$，也被认为是。与标准的欧拉角图片，在球谐函数方面，建立通过离散巴格曼变换。
Riemann--Hilbert problems, matrix orthogonal polynomials and discrete matrix equations with singularity confinement
本文用一个黎曼-希尔伯特问题来描述实直线上的矩阵正交多项式。这种方法提供了一个简单的推导相应的矩阵递归系数的离散方程。离散方程是显式推导出的矩阵弗洛伊德的情况下，与矩阵四次电位。结果表明，当初始条件和测度同时可三角化时，该矩阵离散方程具有奇异禁闭性质，与所考虑的解是否由四次Freud矩阵正交多项式的递推系数给出无关.
Klein foams as families of real forms of Riemann surfaces
克莱因泡沫是黎曼曲面的类似物，用于具有一维奇点的曲面。它们最早出现在数学物理（弦理论等）中。根据定义，Klein泡沫是由Klein曲面通过在其边界上粘合段来构造的。我们证明了Klein泡沫等价于具有某些结构的复代数曲线的实型族。这种对应减少调查克莱因泡沫调查的真正形式的黎曼曲面。我们使用已知的性质的实形式的黎曼曲面来描述一些拓扑和分析性质的克莱因泡沫。
Riemann-Hilbert Problem for the Matrix Laguerre Biorthogonal Polynomials: Eigenvalue Problems and the Matrix Discrete Painlevé IV
本文利用原点为有限端点的复平面上的一条适当曲线上支持跳跃的黎曼-希尔伯特问题，研究了由给定的矩阵Pearson方程构造的权Laguerre型矩阵所对应的矩阵双正交多项式.给出了基本矩阵的一阶和二阶微分方程组，以及上述黎曼-希尔伯特问题的解.一个明确的和一般的例子来说明工作的理论结果。讨论了二阶矩阵微分算子的相关矩阵本征值问题和一类离散Painlevé IV型方程的非Abel扩张.
Lectures notes on compact Riemann surfaces
这是一个介绍几何紧凑黎曼曲面，主要是以下书籍法卡斯，克拉，费伊，芒福德塔塔讲座。1)定义黎曼曲面与地图集的图表，并作为轨迹的解决方案的代数方程。2)亚纯函数和亚纯形的空间，我们用牛顿多边形对它们进行了分类。3)Abel映射，Jacobian和Theta函数。4)黎曼-罗克定理，计算具有给定的极点和零点阶数的函数和形式的空间的维数。5)黎曼曲面的模空间，其组合表示为Strebel图，以及将黎曼曲面映射为双曲曲面的一致化定理。6)黎曼曲面在可积系统中的应用，更精确地说是在黎曼曲面上求特征向量丛的截面，这就是可积系统中的“代数重建”方法，我们还提到了它与Baker-Akhiezer函数和Tau函数的关系。
A Hardy inequality on Riemannian manifolds and classification of discrete Dirichlet spectra
证明了任意黎曼流形（M，g）中具有分片光滑边界的区域$Ω$上的一致椭圆算子在Dirichlet或混合边界条件下的Hardy不等式.采用E.B. Davies的欧氏情形，我们证明了一个充分的几何准则，在此准则下，具有Dirichlet边界条件的Laplace- Beltrami算子$Δ^D$在$Ω$上具有纯离散谱.我们继续分类所有的非紧$Ω$与离散谱的边界正则性条件，并表明这些包括例如多边形的理想顶点流形的负曲率。这是非常曲率的新结果。
CFTs on Riemann Surfaces of genus $g\geq 1$: Dependence on moduli
研究了Virasoro- $N$ -点函数对黎曼曲面模的依赖性.我们提出了一个代数几何方法，适用于任何超椭圆黎曼曲面。
Rational CFTs on Riemann surfaces
黎曼曲面上有理共形场论的配分函数应满足Gauss-Manin型常微分方程。我们研究了超椭圆曲面的情形，并导出了$(2,5)$极小模型的常微分方程组。
Period matrices and homological quasi-trees on discrete Riemann surfaces
本文研究离散周期矩阵与同调近树的关系，推导了Teichmüller空间上的Weil-Petersson势的组合类比，并探讨了其在圆平面网络中的作用。
Super Riemann surfaces, metrics, and gravitinos
超黎曼曲面的基本偶流形是具有旋量值微分形式的黎曼曲面，称为引力子。因此，超黎曼曲面的无穷小变形是黎曼曲面和引力子的某种无穷小变形。此外，非线性超对称西格玛模型的作用泛函，弦论的基础作用泛函，可以从超黎曼曲面上的几何作用泛函得到。超对称作用泛函的所有不变性都用超几何术语来解释，且作用泛函是超黎曼曲面的模空间上的泛函。
Asymptotics of Discrete $q$-Freud $\mathrm{II}$ orthogonal polynomials from the $q$-Riemann Hilbert Problem
本文基于Riemann-Hilbert问题研究离散q-Freud II正交多项式，通过RHP理论导出多项式次数趋于无穷时的渐近性，并分析了q-离散格平移下的变化及相关q-Painlevé方程的渐近行为。
On smooth moduli space of Riemann surfaces
本文研究闭黎曼曲面的光滑模空间。这种光滑模是闭Riemann曲面的通常模空间$\mathscr{M}_g$的无限覆盖，并与秩为$g.$的Schottky空间相一致。本文的主要定理是：闭Riemann曲面可由豪斯多夫维数小于1的Schottky群一致化。本文是目前文献中唯一研究Riemann曲面单值化及其豪斯多夫维数的论文。我们发展了Riemann曲面同调标记的有理范数和概率测度分解的新技巧来证明我们的结果。作为定理的应用，我们得到了光滑模空间坐标系中黎曼曲面周期矩阵的存在性。
Solutions for Toda systems on Riemann surfaces
本文研究了Toda方程组在Riemann曲面上的临界解，证明了Toda方程组解存在的一个充分条件。
Matrix biorthogonal polynomials in the unit circle: Riemann-Hilbert problem and matrix discrete Painleve II system
研究了测度拟定矩阵的Szego双正交多项式。对于Holder权矩阵，利用矩阵Szego多项式及其Cauchy变换唯一地解决了一个黎曼-希尔伯特问题.给出了黎曼-希尔伯特问题作为讨论Szego矩阵和矩阵正交多项式及其柯西变换的Szego递归关系的适当框架。研究了权矩阵的Pearson型微分系统。这些是线性系统的常微分方程，要求是monodromy自由。导出了矩阵Szego多项式及其Cauchy变换的线性常微分方程。它示出了这些皮尔逊系统如何导致非线性差分方程的Verblunsky矩阵和两个例子，Fuchsian和非Fuchsian型，被认为是。对于这两种情况，我们发现了离散Painlevé II方程的一个新的矩阵形式，并讨论了这些矩阵离散Painlevé II系统的约化.
Trace formula and spectral Riemann surfaces for a class of tri-diagonal matrices
对于简化Jaynes-Cummings模型中的三对角矩阵，我们给出了特征值的渐近性，证明了迹公式，并证明了谱Riemann曲面是不可约的。
Generalized orthogonal polynomials, discrete KP and Riemann-Hilbert problems
传统上，一个单一的重量上的一个区间的实数线导致的时刻，正交多项式和三对角矩阵。随着时间t=（t_1，t_2，.）适当地变形该权重，导出了标准的Toda格和τ函数，表示为厄米矩阵积分。本文讨论的是t-扰动权序列，而不是单个权。这个序列导致矩，多项式和（更充分的）矩阵演变根据离散KP-层次。相关的τ函数有积分和顶点算子表示。在考虑的例子中，我们提到：嵌套的Calogero-Moser系统，级联孤子和m-周期序列的权重。后者导致2 m +1带矩阵和广义正交多项式，也出现在黎曼-希尔伯特问题的背景下。我们证明了Riemann-Hilbert分解等价于矩矩阵分解为一个低次上三角矩阵的乘积。
Deforming super Riemann surfaces with gravitinos and super Schottky groups
简要回顾了紧致（超）黎曼曲面的（超）肖特基均匀化。利用超Schottky群上同调理论，对引力子和Beltrami参数引起的超黎曼面形变进行了重新描述。它是检查的超肖特基群公式的周期矩阵的非分裂表面匹配其表达式的引力子和贝尔特拉米参数分裂表面。在附录中讨论了（超）肖特基群和通过粘合穿孔对来构造表面之间的关系。
Relative energy gap for harmonic maps of Riemann surfaces into real analytic Riemannian manifolds
我们将著名的Sacks-Uhlenbeck能隙结果（1981）从闭黎曼曲面到闭黎曼流形的调和映射从具有小能量的映射（因此接近常数映射）推广到具有高绝对能量但相对于参考调和映射具有小能量的调和映射。
SU(2) Flat Connection on Riemann Surface and Twisted Geometry with Cosmological Constant
证明了二维黎曼曲面上的SU（2）平坦联络与三维空间中具有宇宙学常数的广义扭曲几何有关。将黎曼曲面上的各种平坦连通量映射为离散三维空间中的几何量。我们提出黎曼曲面上SU（2）平坦联络的模空间推广了扭曲几何或圈量子引力的相空间，使之包含了宇宙学常数。
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