Chip-Firing and Rotor-Routing on Directed Graphs
Alexander E. Holroyd, Lionel Levine, Karola Meszaros, Yuval Peres, James Propp, David B. Wilson
本文对有限有向图上的阿贝尔沙堆模型和转子路由器模型进行了严格而完备的研究，并强调了它们之间的联系。我们提出了几个有趣的开放问题。
We give a rigorous and self-contained survey of the abelian sandpile model and rotor-router model on finite directed graphs, highlighting the connections between them. We present several intriguing open problems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Rotor-routing reachability is easy, chip-firing reachability is hard
芯片发射和转子路由是阿贝尔网络的两个研究得很好的例子。我们研究各自的可达性问题的复杂性。我们表明，转子路由的可达性问题是在多项式时间内可判定的，我们给出了一个简单的表征时，芯片和转子配置是从另一个可达。对于Chip-firing，已知如果我们有一类周期长度为多项式的图（例如，欧拉有向图），则可达性问题在P中。在这里，我们表明，在一般情况下，芯片发射的可达性是很难的意义上说，如果芯片发射的可达性问题是在P一般有向图，那么多项式层次将崩溃NP。我们通过图形的邻接矩阵对图形进行编码，并且我们“简洁地”对带状结构进行编码，只记住连续平行边的数量。
Lattices in Chip-Firing
我们分析了偏序集的移动芯片发射，定义由Klivans和Liscio。通过讨论Propp的一个问题，证明了移动偏序集构成了构形偏序集的并不可约集。证明涉及的图形增强和分析的配置中，只有一个发射移动是可用的。然后，我们使用这个框架来分析问题的芯片发射线上，移动偏序集是相关的标记芯片发射的问题。
Root system chip-firing II: Central-firing
Jim Propp最近提出了一个在线切屑点火的标记版本，并证明了这个过程是从一些初始配置融合而来的。这是由Hopkins-McConville-Propp证明的。我们重新解释Propp的标记芯片发射移动的根系：一个“中心发射”移动包括取代重量$λ$为$λ+α$的任何正根$α$是正交的$λ$。我们证明了中心点火在经过外尔群修改后，从任何初始权重开始总是汇合的，从而将直线上的无标号芯片点火推广到其他类型。对于简单的根系，我们将这种未标记的切屑发射描述为Dynkin图上的数字游戏。我们还提供了一个从起源或基本重量的中心燃烧时汇合的结构分类。
Confluence in Labeled Chip-Firing
2016年，霍普金斯、麦康维尔和普罗普证明了，如果芯片的数量是偶数，那么在一条线上标记芯片的发射总是使芯片按排序顺序排列。我们提出了一个新的证明这一结果。然后，我们应用我们的方法来解决一些相关的approachtures标记芯片发射系统的融合。
Periods and atomic firing sequences of parallel chip-firing games on directed graphs
本文研究有向图上并行筹码点火博弈的周期与原子发射序列，证明无向图核心结果的有向图对应版本，并给出强连通有向图中顶点原子发射序列的完整刻画。
Chip-firing on general invertible matrices
我们提出了一个泛化的图形芯片发射模型，允许再分配动态由任何可逆整数矩阵，同时保持长期的关键，超稳定，和能量最小化行为的经典模型。
Labeled Chip-firing on Binary Trees with $2^n-1$ Chips
研究二叉树上带 $2^n-1$ 个芯片的标记芯片发射，证明终止构型的排序性质及终局移动偏序集为模格。
Sorting via chip-firing
我们研究了无限路径图上的芯片发射过程的一个变体：而不是将芯片视为不可区分的，我们用正整数标记它们。为了激发一个不稳定的顶点，即一个顶点有多个芯片，我们选择该顶点上的任何两个芯片，并将标记较少的芯片移到左边，标记较多的芯片移到右边。这个标记版本的芯片发射过程表现出显着的汇合属性，类似于但比未标记芯片发射的汇合更微妙：当所有芯片从原点开始并且芯片的数量是偶数时，芯片总是以排序顺序结束。我们的排序证明依赖于一个独立有趣的引理，关于未标记的芯片发射说，稳定保持一个自然的偏序配置。我们还讨论了这种排序现象的一些扩展到其他图（无限路径的变体），其他初始配置，和其他Cartan Killing类型。
Focusing on gap lengths in the noisy violinist chip-firing problem
该研究将噪声小提琴家芯片激发问题的状态编码为间隙长度序列，并以此视角重新证明了平坦簇子最终状态的相关命题。
Chip-Firing and Fractional Bases
我们研究了无限路径图上的一个特殊的切屑点火过程。在顶点处存在至少$a+b$芯片的任何时间，$a$芯片向左激发，而$b$芯片向右激发。我们描述了这个过程的最终状态时，我们开始与$n$芯片在原点。
Labeled Chip-Firing on Star Graphs
本文研究无限细分k-星图上标记点火游戏的稳定配置，证明其排序性质，并分析与标准杨表对应的特殊稳定配置。
On the minimum number of chips allowing an infinite Chip-firing game
本文针对强连通无环有向多重图，给出了计算导致无限筹码发射游戏所需最小初始筹码数的三个公式，推广了欧拉情形下的已知结果。
On the complexity of the chip-firing reachability problem
在本文中，我们研究了芯片点火可达性问题的复杂性。我们证明了对于欧拉有向图，即使有重边，可达性问题也可以在强多项式时间内得到判定。我们还展示了一个特殊的情况下，可达性问题可以决定在多项式时间一般有向图：如果目标分布是经常性的限制到每个强连通组件。作为进一步的积极结果，我们表明，芯片发射可达性问题是在一般的有向图的co-NP。我们还表明，芯片发射停机问题是在co-NP的欧拉有向图。
Algorithms for Chip-Firing on Weighted Graphs
本文将筹码点火及相关算法推广到加权图，给出q-约化除子数量的上界，并提出寻找所有最大不可赢除子的方法。
Root system chip-firing I: Interval-firing
Jim Propp最近在一条线上引入了一种芯片触发的变体，其中芯片被赋予不同的整数标签。Hopkins、McConville和Propp表明，这个过程是从一些（但不是所有）芯片的初始配置融合而来的。我们根据根系统重新构建了它们的设置：标记的芯片发射可以被看作是一个根发射过程，该过程允许$α\in Φ^{+}$的移动$λ\to λ+ α$，只要$\langleλ,α^\vee\rangle = 0$，其中$Φ^{+}$是A型根系的正根的集合，$λ$是该根系的权重。因此，我们的动机是研究完全相同的根放电过程中的任意根系。实际上，这个中央神经根放电过程是本文后续部分的主题。在本文中，我们反而研究了$λ\to λ+ α$为$α\in Φ^{+}$确定的间隔根放电过程，无论何时$\langleλ,α^\vee\rangle \in [-k-1,k-1]$或$\langleλ,α^\vee\rangle \in [-k,k-1]$，对于任何$k \geq 0$。我们证明，这些间隔射击过程总是合流，从任何初始重量。我们还表明，有一个自然的方式来始终标记这些间隔射击过程的稳定点在所有值的$k$，使给定的稳定的权重的数量是一个多项式在$k$。我们猜想，这些Ehrhart-like多项式有非负整数系数。
On Chip-Firing on Undirected Binary Trees
本文研究无限二叉树上的芯片点火游戏，给出根节点放置2^ℓ - 1个带标签芯片时稳定配置数的上界，并确定任意正整数N个芯片时各顶点点火次数及总点火次数。
Chip Firing on Directed $k$-ary Trees
该研究针对无限根有向$k$叉树的芯片射击变体，在根置$k^\ell$个可区分芯片、顶点满$k$个芯片即向出邻接点各分散1个的规则下，明确了稳定构型的精确数量与性质。
Finite record sets of chip-firing games
本文研究 chip-firing 博弈的记录集，在记录集有限且仅发射两个顶点的假设下，发现了两个新性质以刻画图的记录集。
Chip-firing on the Lattice of Nonnegative Integer Points
本文研究了在非负整数点格子的有向图上进行芯片发射游戏，分析了中间配置的结构及稳定配置的性质。
Chip-firing based methods in the Riemann--Roch theory of directed graphs
Baker和Norine证明了无向图上因子的Riemann-Roch定理。图因子理论的概念与比约纳、洛瓦兹和肖尔的掷筹码游戏的概念是对偶的。我们利用这种联系证明了有向图上的Riemann-Roch型结果。给出了欧拉有向图上Riemann-Roch不等式的一个简单证明，改进了Amini和Manjunath的一个结果.我们还研究了强连通有向图中Riemann-Roch型等式的可能性和不可能性，并给出了例子。我们打算通过使用芯片发射框架，使这一理论的连接，图论的概念更加明确。
On z-Superstable and Critical Configurations of Chip Firing Pairs
本研究将图的超稳定与临界构型的对偶映射，从M-矩阵进一步自然推广到(L,M)-芯片发射对，并研究了该映射的相关性质，拓展了芯片发射理论的适用范围。
Chip-firing on trees of loops
Cools、Draisma、Payne和Robeva证明了作为“循环的路径”的一般度量图是Brill-Noether一般的。我们表明，Brill-Noether的一般性不适用于“树的循环”：只有树的循环是Brill-Noether一般的路径的循环。我们研究各种概念的一般性和检查这些图满足他们。
Rotor-routing orbits in directed graphs and the Picard group
在文献[5]中，Holroyd，Levine，Mészáros，Peres，Propp和Wilson刻画了强连通有向图的常返chip-and-rotor构形.然而，递归所需的步数和轨道数对于一般的有向图是开放的。最近，Pham [6]使用线性代数方法回答了这些问题。我们给新的，纯粹的组合证明这些公式。我们还将转子路由器轨道与芯片发射游戏联系起来：循环转子路由器单循环轨道的数量等于图的Picard群的阶数，定义在[1]的意义上，并且在一个周期内，发生相同的芯片移动，就像在芯片发射游戏中发射周期向量一样。
Permutation-based Strategies for Labeled Chip-Firing on $k$-ary Trees
本文研究了在k叉树上基于排列的标记芯片点燃策略，探讨了稳定配置的排列性质及逆序数和下降数等特征。
$G$-strongly positive scripts and critical configurations of chip firing games on digraphs
我们展示了一系列的脚本，称为$G$ -强正脚本，这是用来识别关键配置的芯片发射游戏（CFG）上的多有向图与全球汇。为了减少由于稳定化而引起的识别时间，我们提出了一种寻找最小G-强正脚本的算法。从我们证明的非稳定性的配置从一个关键的配置，通过反向发射任何非空的多子集的顶点。这个结果是Aval \emph{et.al}最近的一个结果的推广，该结果应用于无向图上的CFG。最后，我们给出了临界组态与超稳定组态的对偶性的组合证明。
Labeled Chip-Firing on Directed $k$-ary Trees and Where Chips Land
本文研究无限有根有向 $k$-ary 树上的有标记 chip-firing 变体，证明稳定配置中 chip 落点呈区间分布及其长度等性质，并描述每个 chip 可能落点以刻画可能的稳定配置。
Integral flow and cycle chip-firing on graphs
受可平面图的对偶图上的芯片点火概念的启发，我们考虑任意图$G$上的“积分流芯片点火”。芯片点火规则由${\mathcal L}^*(G)$控制，${\mathcal L}^*(G)$是$G$的对偶拉普拉斯算子，通过为$G$上的积分流的晶格选择基来确定。我们发现，任何图形承认这样的基础，使${\mathcal L}^*(G)$是一个$M$矩阵，导致这些基础元素的发射规则是雪崩有限的。这是从一个更一般的结果基础上的积分格，可能是独立的利益。我们的研究结果提供了一个概念的$z$ -超稳定流配置是在双射的一组生成树的$G$。我们表明，可平面图，以及为图$K_5$和$K_{3,3}$，可以找到这样的流M-基础，包括循环的基础图。我们考虑任意图的问题，并解决一些悬而未决的问题。
Chip-Firing on Infinite $k$-ary Trees
该研究针对根带自环的无限$k$叉树芯片发射过程，刻画稳定构型、计算各顶点及总发射次数，并分析根发射次数与总发射次数随芯片数$N$变化的序列性质。
The Middle Stair for Complete Bipartite Parallel Chip-Firing
该研究证明完全二部并行芯片点火的中间楼梯猜想，引入双参数共轭方法，得出特定构型下游戏最终周期为2的结论。
Non-Stabilizing Parallel Chip-Firing Games
本文研究了并行点火博弈的非稳定化条件，证明了在2|E|-|V|<|σ|<2|E|范围内博弈周期不为3或4，并扩展共轭配置方法证明了完全二部图上的相关猜想。
Labeled Chip-Firing on Undirected $k$-ary Trees
本文研究无向 $k$-叉树上的标记芯片发射，推广二叉树结果，提出稳定配置数的之字形上界及新下界。
Chip-firing game and partial Tutte polynomial for Eulerian digraphs
芯片发射游戏是一个离散的动力系统在一个图上玩，其中芯片沿着边缘移动根据一个简单的本地规则。底层图的性质当然有助于理解游戏，但自从比格斯的猜想被Merino López证明以来，我们也知道对Chip-firing游戏的研究可以提供对图的见解。特别是，部分Tutte多项式$T_G(1,y)$和一个芯片发射游戏（具有一个独特的汇点）的递归配置的集合之间的强关系已经建立了无向图。一个直接的结果是，一组经常性的配置的生成函数是独立的选择水槽的游戏，因为它的特点是潜在的图形本身。在本文中，我们证明了这一性质也适用于欧拉有向图（有向图），一类的方式从无向图一般有向图。从这个性质可以看出，欧拉有向图的递归构形集的生成函数是将部分Tutte多项式$T_G(1,y)$推广到这类的一个自然而令人信服的候选者。我们的工作也给出了一些有希望的方向寻找推广的Tutte多项式一般有向图。
Chip-firing and critical groups of signed graphs
该研究将可逆矩阵芯片发射理论应用于带符号图，定义其芯片发射规则、临界群及相关构型，给出性质验证方法并计算多类带符号图的临界群，推广了已有结果。
Chip-Firing Games, $G$-Parking Functions, and an Efficient Bijective Proof of the Matrix-Tree Theorem
Kirchhoff矩阵树定理指出，图G的生成树的数目等于$G$的约化拉普拉斯算子的行列式的值。通过研究一个标准有限阿贝尔群，它附着在$G$上，其阶等于同一矩阵行列式的值，我们给出了这个定理的一个有效的双射证明。更具体地说，我们展示了如何可以有效地计算群元素和图的生成树之间的双射。用于计算双射的主要成分是用于在由芯片发射游戏定义的线性等价类中找到唯一的$G$ -停车函数（简化除子）的有效算法。我们也给出了应用，包括一个新的和完全代数算法生成随机生成树。其他应用包括与芯片射击游戏和沙堆群定律相关的算法，以及有关图上Riemann-Roch理论的某些算法问题。
A Three-Regime Theorem for Flow-Firing
本文研究 2 维胞腔复形上的流重路由点火系统，借鉴前人工作，回答了该过程是否终止及终止是否唯一的问题，提出了完全判定系统终止性的三区域定理。
Ending States of a Special Variant of the Chip-Firing Algorithm
我们研究一个特殊的变体芯片发射，在其中我们考虑一个无限集的房间上的数线，其中一些被小提琴家。在一次移动中，我们在相邻的房间里找了两个小提琴手，把其中一个送到离左边最近的空房间，另一个送到离右边最近的空房间。我们对重复执行此操作的不同可能的最终状态进行分类。我们引入了数$R(N,\ell,x)$来计算具有$N$顶点、$\ell$叶子和以$x$结尾的最小根路径的标记递归有根树。我们描述了这些数字的属性，并将它们与排列联系起来。我们猜想，这些数字描述了概率结束时，不同的最终状态的移动是一致的选择。
Chip-Firing Games and Critical Groups
在这篇文章中，旨在为本科生，我们介绍了一个有限阿贝尔群，可以与任何有限连通图。这个群可以用一种基本的组合方式来定义，即芯片发射操作，并且一直是组合学、代数几何、统计物理和其他几个数学领域感兴趣的对象。我们将从基本的定义和例子开始，并从不同的角度研究这个群，从而得出一些性质。在整个过程中，我们将给出练习，其中一些是直接的，其中一些是开放性问题。我们还将试图强调一些大学生在这一领域所做的许多贡献
On lengths of burn-off chip-firing games
我们继续我们的研究烧毁芯片射击游戏[离散数学。Comput. Sci. 15（2013），no. 1，121-132; MR 3040546]和[Australas. J. Combin。68（2017），no. 3，330-345; MR3656659]。后一篇文章通过从图$G$的顶点集中均匀地选择连续种子来引入随机性。游戏的长度是当一个兴奋的筹码配置进入放松状态时，触发的顶点数（通过向每个邻居发送一个筹码并消灭一个筹码）。本文确定了一个长序列的燃尽博弈中博弈长度的概率分布。我们的主要结果给出了精确的计数对$(C,v)$，与$C$一个宽松的法律配置和$v$种子，对应于每个可能的长度。在支持下，我们给我们自己的著名的equidendinality的集合$\mathcal{R}$的宽松的法律配置$G$和一组生成树的锥$G^*$的$G$的证明。我们提出了一个算法，双射证明这种对应关系。
A positive formula for the Ehrhart-like polynomials from root system chip-firing
在与Pavel Galashin和Thomas McConville合作的早期工作中，我们介绍了一种用于根系的芯片发射版本。我们对根系切屑燃烧的研究使我们定义了某些类似于格多面体的Ehrhart多项式的多项式，我们称之为对称截断的Ehrhart-like多项式。证明了这些多项式具有非负整数系数。在这里，我们肯定的“一半”，这是积极的猜想，提供了一个积极的，组合公式的系数对称埃尔哈特多项式。这个公式取决于一个微妙的完整性财产的切片permutohedra，并反过来引理有关膨胀的投影根多面体，这两个可能是独立的利益。我们还讨论了我们的公式如何非常自然地提出了一个猜想的截断埃尔哈特多项式的系数，原来是假的一般情况下，但在某些情况下可能持有。
Chip-Firing and the Sandpile Group of the $R_{10}$ Matroid
本文通过复数在五边形顶点上描述了 $R_{10}$ 矩阵的 chip-firing 动力学，并提供了 162 个等价类的代表集。
Chip-Firing Games on Banana Trees
本文研究香蕉树上的芯片发射博弈，给出香蕉路径除子亏格的多项式算法及香蕉树 scramble number、screewidth 公式，并证明删边可任意改变亏格且亏格猜想对香蕉树成立。
Chip-firing and energy minimization on M-matrices
我们考虑由任意M-矩阵定义的芯片发射动力学。M-矩阵推广了图拉普拉斯算子，Gabrielov证明了M-矩阵可以产生雪崩有限系统。贝克和Shokrieh的工作的基础上，我们扩展了能量最小化芯片配置的概念。给出一个M-矩阵，证明了在由矩阵定义的每个等价类中存在唯一的能量最小配置。我们定义了一类$z$ -超稳定构型，它满足比超稳定构型严格更强的稳定性要求（等价于$G$ -停车函数或简化除子）.我们证明了对于任意M矩阵，$z$ -超稳定组态与能量最小组态是一致的.证明了$z$ -超稳定组态与临界组态具有简单的对偶性。因此，对于所有的雪崩有限系统（包括所有的有向图与全球汇）存在唯一的临界，能量最小化和$z$ -超稳定的配置。临界组态是简单的对偶与能量极小值符合$z$ -超稳定的配置。
Chip-firing games, potential theory on graphs, and spanning trees
我们研究了芯片发射游戏和位势论之间的相互作用的图形，表征减少因子（$G$停车功能）的解决方案的能量（或潜在的）最小化问题，并提供了一个算法来有效地计算简化除子的图形。应用程序包括基尔霍夫矩阵树定理的“有效双射”证明和寻找随机生成树的新算法。我们的算法的运行时间进行了分析，使用位势论，我们表明，从而得到的界推广和改进文献中的一些结果。我们还扩展了这些考虑度量图。
Motors and Impossible Firing Patterns in the Parallel Chip-Firing Game
并行芯片发射游戏是图上的自动机，其中顶点在有足够的芯片时向其邻居“发射”芯片。这个博弈总是周期性的，我们关心的是顶点的发射序列。我们引入了电动平行芯片发射游戏和电机顶点的概念，研究了电机连接到一棵树的效果，并表明，电动游戏可以转化为普通游戏，如果电机的发射序列发生在一些普通的游戏。然后，我们准确地描述了周期性的射击模式可以发生在一个普通的游戏和状态的发现的一些影响。
Parking functions and chip-firing on hypergraphs
本文将图上的停车函数与筹码发射概念扩展至超图，定义了超图停车函数，证明其极大序列由无环定向刻画，且可由$q$-根生成树计数，并揭示了其与超图筹码发射超稳定构型的等价关系。
Chip-firing games, Jacobians, and Prym varieties
该研究对度量图芯片射击游戏理论与热带Prym簇理论做自成体系的介绍，探讨二者和代数对应概念的关联，提出未来研究方向。
Chip-firing groups of iterated cones
令$Γ$是有限图，并且令$Γ_n$是“$Γ$上的$n$第th锥“（即，$Γ$和完全图$K_n$的连接）。本文研究了切屑点火群$\text{Pic}^0(Γ_n)$的渐近结构。
Diffusion on graphs is eventually periodic
我们研究了一个名为\emph{diffusion}的芯片射击游戏的变体。在图上的扩散中，图的每个顶点最初被标记为一个整数，该整数被解释为该顶点处的芯片数量，并且在每个后续步骤中，每个顶点同时向其具有较少芯片的每个邻居发射一个芯片。由于这种发射规则可能会导致负面标签，扩散，不像平行芯片发射游戏，不是明显的周期性。然而，在2016年，Duffy、Lidbetter、Messinger和Nowakowski证明扩散最终总是周期性的，而且这个过程最终有周期1或2。在这里，我们建立这个猜想。
Primitive periods in greedy chip-firing games
本文研究贪心芯片博弈的周期性质，证明饥饿博弈及单调得分推广中所有周期轨道的最小周期均为 T，并解决了 Li 和 Propp 的两个猜想，同时揭示了与主席分配问题的联系。
Quantized rational chip-firing
本文提出一种量化芯片 firing 模型，与有理格路和有理停车函数理论相关。通过定义 superstable、k-stable 和 k-skeletal 配置，建立 combinatorial 理论，并证明其与芯片配置的群结构等价。
Skeletal generalizations of Dyck paths, parking functions, and chip-firing games
该研究引入由Catalan数计数的k-骨架路径与对应生成树数的k-骨架停车函数，将其推广到非整数参数的梯形路径族，建立参数变化下的双射，关联芯片射击、组合表示论与热带几何。
Chip-firing games on Eulerian digraphs and NP-hardness of computing the rank of a divisor on a graph
Baker和Norine介绍了Riemann-Roch理论的图论模拟。这个理论的一个中心概念是除数的秩。在本文中，我们证明了计算图上的因子的秩是NP-困难的。除数的秩的确定可以转化为关于在相同的底层图上的筹码射击游戏的问题。我们证明了NP-困难的这个问题有关芯片发射有向和无向图。
On the Period Lengths of the Parallel Chip-Firing Game
并行芯片发射游戏是图上的周期自动机，其中顶点“发射”芯片给它们的邻居。在1989年，Bitar证明了一个有n个顶点的平行的芯片发射游戏的周期至多是n。虽然这个猜想在1994年被Kiwi et.例如，它已经被证明用于特定类别的图，特别是树（Bitar和Goles，1992）和完全图K_n（Levine，2008）。证明了完全二部图的Bitar猜想，并刻画了这类图上平行掷片博弈位置的所有可能周期。此外，我们将二部图上博弈的所有可能周期的构造推广到完全c部图（c>2）上，并证明了一般简单连通图上博弈的一些相关引理。
Parallel Chip-Firing on the Complete Graph: Devil's Staircase and Poincare Rotation Number
我们研究了完全图K_n上的并行芯片发射如何随着芯片总数的变化而改变行为。令人惊讶的是，系统的活动，定义为每个时间步长的平均触发次数，并没有平稳地增加芯片的数量;相反，它在很长的时间间隔内保持不变，被突然的跳跃打断。在大的n限制，我们发现一个"魔鬼的楼梯"依赖于芯片的数量上的活动。通过将芯片发射动力学简化为循环S^1的自映射的迭代，从而使得芯片发射状态的活动等于循环映射的庞加莱旋转数，从而继续进行证明。魔鬼阶梯的阶梯对应于小周期的周期性芯片发射状态。
A Bijection Between the Recurrent Configurations of a Hereditary Chip-Firing Model and Spanning Trees
遗传芯片发射模型推广阿贝尔沙堆模型和集群发射模型的指数族的游戏诱导的覆盖的顶点集。这种推广保留了一些理想的性质，例如，稳定性与所选择的点火无关，并且每个芯片点火等价类包含唯一的递归配置。在本文中，我们提出了一个显式的双射之间的递归配置的遗传芯片点火模型的图和它的生成树。
A Variation on Chip-Firing: the diffusion game
本文提出并行芯片触发游戏的变体——扩散游戏，研究其周期性，证明了若干图类上的周期性，并提出了未来研究问题。
A maximizing characteristic for critical configurations of chip-firing games on digraphs
Aval等人证明了从一个无向图上的筹码发射博弈的临界配置开始，人们永远不可能通过反向发射其顶点的任何非空子集来实现稳定配置。在本文中，我们推广的结果与一个整体的sink的有向图中的顶点的反向发射子集被替换为反向发射多个顶点子集。从而给出了有向图上临界构形与超稳定构形之间对偶性的一个组合证明。最后，通过引入能量矢量的概念，我们证明了临界和超稳组态是唯一的具有最大和最小（w.r.t.）包含次序）分别计算它们的每个等价类中的能量向量。
Chip-Firing and Riemann-Roch Theory for Directed Graphs
研究了有向图的Riemann-Roch理论。将Amini和Manjunath的Riemann-Roch准则推广到与某个正向量正交的所有整数格。利用推广的$v_0$ -简化除子的概念和Dhar算法，我们研究了两个来自强连通有向图的Laplacian的行和列的掷筹码游戏.我们讨论了如何“列”芯片发射游戏是相关的有向$\vec{G}$停车功能和“行”芯片发射游戏是相关的沙堆模型。最后，我们讨论算术图，经过简单的变换后，可以被视为一类特殊的有向图，它将始终具有列芯片发射游戏的黎曼-洛克性质。算术图的例子表明，其中之一，两个，或两个黎曼-罗奇条件可以满足行芯片发射游戏。
Formalizing chip-firing and Riemann--Roch for graphs in Lean 4
使用 Lean 4 定理证明器形式化了 Baker-Norine 的图 Riemann-Roch 定理，包括 q-约化除子的存在唯一性、Dhar 燃烧算法、无环定向与超稳定构型的双射以及 Clifford 定理。
Enumeration and Quasipolynomiality of Chip-Firing Configurations
本文研究了有限连通图G上的筹码射击游戏中可达构形个数的计数问题。我们定义了一个辅助概念的债务可达性，并证明了债务可达的配置从一个初始配置与c芯片在一个顶点上的数量是一个拟多项式在c。对于圈图C_n，我们应用这些结果计算了债可达构形个数的近似显式公式。然后，我们推导出多项式渐近界的债务可达和可达配置的数量，并最终提供证据的拟多项式猜想的可达配置的数量。
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